一類具有非線性信號(hào)產(chǎn)生的趨化性模型解的存在性

孫傲霜

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009）

生物趨化性是細(xì)胞、細(xì)菌等生物根據(jù)環(huán)境中某些化學(xué)物質(zhì)的濃度梯度做出的一種趨利避害的方向性運(yùn)動(dòng)，趨化性現(xiàn)象在自然界中普遍存在，其研究不僅能讓人們了解到自然界中生物的許多奧秘，同時(shí)在生產(chǎn)生活、醫(yī)療衛(wèi)生等方面都有重要作用. 因此，生物趨化性引起了學(xué)者們極大地研究興趣.

上世紀(jì)70 年代，美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家提出了著名的Keller-Segel 趨化模型用以研究變形蟲(chóng)的趨化聚集行為［1］.經(jīng)典Keller-Segel 趨化模型一個(gè)顯著特征是：當(dāng)空間維數(shù)n ≥ 2 時(shí)，模型的解可能會(huì)發(fā)生有限時(shí)間爆破.由于爆破現(xiàn)象不符合生物實(shí)際，沒(méi)有考慮細(xì)胞的增長(zhǎng)和死亡，因此，需要對(duì)該模型進(jìn)行修正，各種變體模式也因此應(yīng)運(yùn)而生［2-5］. 該模型的第二個(gè)特點(diǎn)是化學(xué)信號(hào)濃度對(duì)于細(xì)胞密度的依賴關(guān)系是線性的，而在自然界中信號(hào)對(duì)于細(xì)胞的依賴關(guān)系往往很復(fù)雜［6］.該模型的第三個(gè)特點(diǎn)是信號(hào)是由細(xì)胞自身直接產(chǎn)生，而在實(shí)際的很多生物環(huán)境中，信號(hào)也有可能間接產(chǎn)生［7］.

由以上研究啟發(fā)，本文主要對(duì)以下具有非線性間接信號(hào)產(chǎn)生的趨化模型進(jìn)行研究：

其中Ω?Rn（n ≥ 2）是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，u（x，t）、w（x，t）分別表示飛行的山松甲蟲(chóng)密度和樹(shù)上的山松甲蟲(chóng)密度，v（x，t）表示樹(shù)上的山松甲蟲(chóng)分泌的甲蟲(chóng)信息素濃度，μu（1-u）刻畫(huà)了山松甲蟲(chóng)的增值和死亡，信號(hào)v 并不是由飛行的山松甲蟲(chóng)u 產(chǎn)生而是由樹(shù)上的山松甲蟲(chóng)w 所產(chǎn)生，δ，τ 是正常數(shù).該模型是文獻(xiàn)［7］中模型的推廣，區(qū)別是假設(shè)趨化信號(hào)v 對(duì)于樹(shù)上的山松甲蟲(chóng)w 的依賴關(guān)系不是一般的線性依賴關(guān)系，即假設(shè)f（s）∈C1（［0，+∞））滿足：

其中k，a 都是正實(shí)數(shù)，該模型更能確切地描述山松甲蟲(chóng)在自然中分泌信號(hào)的現(xiàn)象.本文主要考慮μ=0 的情況下，參數(shù)α 對(duì)模型解的全局存在性的影響，其實(shí)際意義是研究當(dāng)山松甲蟲(chóng)的增值量和死亡量持平時(shí)，樹(shù)上山松甲蟲(chóng)分泌信號(hào)的速率對(duì)整個(gè)模型的影響，也可用于描述此類型其他物種和細(xì)胞的現(xiàn)象.

1 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)μ=0，Ω?Rn，n ≥ 2 是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，和是已知的非負(fù)函數(shù)，f（w）滿足（2），則當(dāng)：

時(shí)，模型（1）存在唯一的非負(fù)有界經(jīng)典解（u，v，w）.

2 預(yù)備知識(shí)

首先敘述模型（1）解的局部存在性，其證明方法與文獻(xiàn)［6-7］中類似，本文略去了相應(yīng)的證明.

引理1（解的局部存在性）設(shè)Ω?Rn，n ≥ 2 是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，μ ≥ 0，δ ＞ 0，τ ＞ 0，則對(duì)任一的非負(fù)初始值（u0，v0，w0）∈C0（Ω—）×W1,∞（Ω）×C1（Ω—），任一的p＞n，存在Tmax∈（0，∞）（Tmax表示最大存在時(shí)間）使得模型（1）在Ω×（0，Tmax） 上存在唯一的非負(fù)經(jīng)典解（u，v，w）滿足：

若Tmax＜∞，則有

下面的引理2 是非齊次線性方程的正則化性質(zhì)，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］中的定理4.1、文獻(xiàn)［9］中的定理1.

引理2設(shè)Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域，T ＞0，考慮拋物方程的初邊值問(wèn)題：

假設(shè)v0∈W1,∞（Ω）且存在常數(shù)C1＞0 使對(duì)任意t∈（0，T），都有‖f（·，t）‖Ls（Ω）≤C1，其中s ≥ 1.則存在正常數(shù)C2（q），對(duì)于任意t∈（0，T），該方程的解都滿足：

接下來(lái)建立u，w 的L1估計(jì).

引理3（建立u，w 的L1 估計(jì)）假設(shè)μ=0，δ ＞ 0，τ ＞ 0，且u0∈C0（Ω—）和w0∈C0（Ω—）和都是非負(fù)的，則對(duì)于所有的t∈（0，Tmax），有：

證對(duì)（1）中的第一個(gè)方程關(guān)于x 在區(qū)域Ω 上進(jìn)行積分，利用散度定理可得：再利用齊次Neumann 邊界條件（即x∈Ω，t＞0），可得到，因此推出（5）.

3 定理證明

引理4假設(shè)是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域和w0∈C1（Ω—）是已知的非負(fù)函數(shù)，并且假設(shè)0＜α＜則存在常數(shù)C＞0，使對(duì)?t∈（0，Tmax），模型（1）的經(jīng)典解都滿足：

證首先斷言存在q＞n 和c1：=c1（q）＞0，使得：

接下來(lái)利用文獻(xiàn)［10-11］中所用方法證明（7）. 由（8）可找到r 滿足n＜r＜q 和使得：

由引理1 不難發(fā)現(xiàn)，B（T）是有界的.下面證明B（T）并不依賴于T.首先利用常數(shù)變易法，得到：

由極大值原理，存在C2＞0 且不依賴于T，使得：

為了估計(jì)u2（t）的L∞模的上界，假設(shè)λ1是-△在Neumann 邊界條件下在x∈Ω 中的第一非零特征值，對(duì)任意p∈（1，∞），A 表示-Δ+在空間LP（Ω）中的形式.則對(duì)任意θ∈（0，1），A 有分?jǐn)?shù)冪Aθ.由文獻(xiàn)［11］中的定理1.3 和2θ-＞0 可知：

對(duì)?t∈［0，T］都成立，其中C3，…C6是不依賴于T 的正常數(shù).需要進(jìn)一步估計(jì)（12）中最后一個(gè)積分.為此，假設(shè)ξ'：=利用H?lder 不等式有由于r＞1 和ξ'＞1，利用插值不等式不難得到其中從而進(jìn)一步得到：

再結(jié)合引理2 和（9），即得：

其中C7：=C1‖u0‖ . 綜合不等式（10）～（14），可得C8：=max{C2，C6，C7}＞0 和C8＞0 滿足：

由于0＜β＜1，由楊式不等式不難得到對(duì)于常數(shù)C10＞0，有結(jié)合（15）得到B（T）≤ 2C10.因此‖u（·，t）‖L∞（Ω）≤ 2C11，?t∈（0，Tmax），則證得引理3.

定理1 的證明：由引理4，再結(jié)合引理1 中解的延拓準(zhǔn)則，即得Tmax=∞.這就得到了在Ω×（0，∞）上模型（1）的解具有全局存在性和有界性.