環(huán)R+vR 上的常循環(huán)碼

王艷萍，李 杰

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000）

1994 年，Hammons 等研究二元碼，并將其看成Z4碼對(duì)應(yīng)Gray 映射下的像，使得環(huán)上的碼引起編碼學(xué)者的注意［1］.許多研究學(xué)者對(duì)有限環(huán)產(chǎn)生了很大的興趣.文獻(xiàn)［2］研究鏈環(huán)F2+uF2上的循環(huán)碼及其一類常循環(huán)碼的一些性質(zhì)；文獻(xiàn)［3-7］進(jìn)行了推廣，分別研究了對(duì)應(yīng)推廣環(huán)上的常循環(huán)碼、負(fù)循環(huán)碼的性質(zhì).文獻(xiàn)［8-9］研究非鏈環(huán)上，不同長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)以及它們所對(duì)應(yīng)的性質(zhì).通過(guò)構(gòu)造映射，得出環(huán)上的結(jié)構(gòu).本文先介紹環(huán)R+vR（v2=v），給出其冪等正交元，進(jìn)而建立該環(huán)上碼與R 上碼的關(guān)系；其次給出該環(huán)上的Gray 映射，研究對(duì)應(yīng)性質(zhì)；最后給出該環(huán)上θ-常循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式與環(huán)R 上碼的結(jié)構(gòu)的關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

令? ＝R+vR，其中v2=v.且R 滿足以＜r＞為極大理想，其中rl=0. p＞2 是R/＜r＞的特征.設(shè)n=psk，（p，k）=1.令e1=v，e2=（1-v），易知e12=e1，e22=e2，e1e2=0，且＜e1＞={e1a│a∈?}，＜e2＞={e2a│a∈?}是互素的理想，則? ≌＜e1＞⊕＜e2＞.因此，對(duì)?c∈? 唯一表示：c=e1a+e2b 其中a，b∈R.本文規(guī)定θ=η1e1+η2e2為? 上的單位，而η1，η2∈R.

定義?n→?n的θ-常循環(huán)置換τ：τ（y0，y1，…，yn-1）=（θyn-1，y0，…，yn-2）.特：θ=1，環(huán)上的碼為循環(huán)的；θ=-1，為負(fù)循環(huán)碼.

定義C 為? 上長(zhǎng)為n 的線性碼：如果C 是?n上的非空子集，且是?n的子模.

定義Rn上的θ-準(zhǔn)常循環(huán)置換σ：σ（a0，a1，…，an-1，a'0，a'1，…，a'n-1）=（η1an-1，a0，…，an-2，η2a'n-1，a'0，…，a'n-2）；稱碼C 為θ-準(zhǔn)常循環(huán)碼，如果有σ（C）=C；θ=-1，為準(zhǔn)循環(huán)碼.

?c∈R，wHom其中

引理1設(shè)C 是?n上的線性碼，它的長(zhǎng)為n，可定義：

易證：（1）C1、C2為R 上的線性碼；（2）C 唯一表示：C=e1C1⊕e2C2.

引理2θ=η1e1+η2e2為? 上的單位?η1，η2為R 上的單位.

證“?”如果θ=η1e1+η2e2，則必有θ'=η1'e1+η2'e2∈?，η1'，η2'∈R 滿足θθ'=（η1e1+η2e2）（η1'e1+η2'e2）=1，即η1η1'e1+η2η2'e2=1，（η1η1'-η2η2'）v+η2η2'=1，所以有η1η1'=η2η2'=1，即證；

“?”如果 η1，η2為R上的單位，即?η1"，η2"，η1η1"=η2η2"=1. 設(shè)θ"=η1"e1+η2"e2∈?，因（η1η1"-η2η2"）v+ η2η2"=1，即θθ"=（η1e1+η2e2）（η1"e1+η2"e2）=1，即證.

2 ? 上的Gray 映射及常循環(huán)碼

定義? →R2的Gray 映射φ：對(duì)?c=e1a+e2b∈?，a，b∈R，有φ（c）=（a，b），且是雙射.φ 擴(kuò)展?n上，有?n→R2n的Gray 映射Φ：對(duì)?c=（c0，c1，…，cn）∈?n，ci=e1ai+e2bi，ai，bi∈R，i=0，1，…，n-1，有Φ（c）=（a0，a1，…，an-1，b0，b1，…，bn-1）.定義c 的Gray 重量wG（c）=wHom（a，b），碼C 的Gray 距離：dG（C）=min{wG（c）│c≠0，c∈C}，（?n，Gray 距離）→（R2n，齊次距離）：保距映射.

定理1設(shè)C 是?n上的線性碼，它的長(zhǎng)為n，則C 為θ-常循環(huán)碼的充要條件，C1為η1-常循環(huán)碼，C2為η2-常循環(huán)碼.

證“?”對(duì)?（a0，a1，…，an-1）∈C1，（b0，b1，…，bn-1）∈C2，c=（c0，c1，…，cn）∈C，ci=aie1+bie2，則τ（c）=（θcn-1，c0，…，cn-2）∈C，θcn-1=an-1η1e1+bn-1η2e2，則有（η1an-1，a0，…，an-2）∈C1，（η2bn-1，b0，…，bn-2）∈C2，即證；

“?”對(duì)?c=（c0，c1，…，cn）∈C，ci=aie1+bie2，則（a0，a1，…，an-1）∈C1，（b0，b1，…，bn-1）∈C2.

又（η1an-1，a0，…，an-2）∈C1，（η2bn-1，b0，…，bn-2）∈C2，則（an-1η1e1+bn-1η2e2，c0，…，cn-2）∈C，即（θcn-1，c0，…，cn-2）∈C，即證.

推論1環(huán)? 上的線性碼C 是θ-常循環(huán)碼的充要條件C⊥為? 的θ-1-常循環(huán)碼；C 是循環(huán)碼的充要條件C1，C2是R 的循環(huán)碼.

定理2對(duì)上述τ，σ，Φ，有Φτ=σΦ 成立.

證?c=（c0，c1，…，cn）∈?，ci=aie1+bie2，有τ（c）=（θcn-1，c0，…，cn-2）=（an-1η1e1+bn-1η2e2，c0，…，cn-2），則Φτ（c）=（η1an-1，a0，…，an-2，η2bn-1，b0，…，bn-2）；而Φ（c）=（a0，a1，…，an-1，b0，b1，…，bn-1），又σΦ（c）=（η1an-1，a0，…，an-2，η2bn-1，b0，…，bn-2），即證.

注：由定理2 可知，? 上長(zhǎng)為n 的θ-常循環(huán)碼C?Φ（C）為R 上的θ-準(zhǔn)常循環(huán)碼，且長(zhǎng)為2n.

定理3［10］設(shè)C=e1C1⊕e2C2是? 上的線性碼，長(zhǎng)為n，則：

（1）C⊥=e1C1⊥⊕e2C2⊥；

（2）Φ（C）=C1?C2，│Φ（C）│=│C1│·│C2│；

（3）Φ（C⊥）=C1⊥?C2⊥.

證（1）定義：l1⊥={a∈Rn│?b∈Rn，e1a+e2b∈C⊥}，l2⊥={b∈Rn│?a∈Rn，e1a+e2b∈C⊥}，則對(duì)?a∈l1⊥，有e1a+e2b=c'∈C⊥，則?a'∈C1，有e1a'+e2b'=c∈C，且＜c，c'＞=e1aa'=0?aa'=0，即有l(wèi)1⊥?C1⊥.另，a∈C1⊥，有c'=e1a'+e2b'∈C⊥滿足＜e1a，c'＞=e1aa'=0?aa'=0，則證l1⊥=C1⊥.同理可得，l2⊥=C2⊥.即證.

（2）易 知Φ（C）?C1?C2. 又?c（a，b）=C1?C2，有r=e1a+e2b∈C 且Φ（r）=c=（a，b），即 有C1?C2? Φ（C），則Φ（C）=C1?C2.而Φ 是雙射，則│Φ（C）│=│C1│·│C2│.

（3）由前述可知Φ（C⊥）?Φ（C）⊥，Φ 為雙射，則│Φ（C⊥）│=│C⊥│=│?2n│/│C│=│Φ（C）⊥│，即Φ（C⊥）? Φ（C）⊥.類似（1）可證Φ（C⊥）=C1⊥?C2⊥.

定理4設(shè)? 上長(zhǎng)為n 的θ-常循環(huán)碼C，對(duì)于C1，C2，如果它們?cè)赗［x］/（xn-η1），R［x］/（xn-η2）有C1=（f），C2=（g），其中f，g 首一的多項(xiàng)式，則有C=（e1f+e2g）.

證因C1=（f），C2=（g），則有C=（e1f，e2g）.假設(shè)e=e1f+e2g，則e∈（e1f，e2g），即有（e）?（e1f，e2g）；又e1e=e1f，e2e=e2g，則（e）?（e1f，e2g），即證.

注：上述定理對(duì)應(yīng)于C⊥也有類似結(jié)論.

3 結(jié)語(yǔ)

本文先介紹環(huán)?=R+vR（v2=v），給出其冪等正交元，得出碼C 與環(huán)R 上碼的關(guān)系；然后定義了?=R+vR（v2=v）的Gray 映射，研究其性質(zhì)，并給出了? 上長(zhǎng)θ-常循環(huán)碼C 的生成多項(xiàng)式.本文的研究，可以為后續(xù)環(huán)上尋求好碼提供基礎(chǔ)，為編碼學(xué)提供參考.