薛定諤型分?jǐn)?shù)次p拉普拉斯方程正解的對(duì)稱性

周曉芳，瞿 萌，張夢(mèng)婷

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

1 相關(guān)定理

考慮分?jǐn)?shù)次p拉普拉斯算子定義如下：

從數(shù)學(xué)上看，為了克服分?jǐn)?shù)次拉普拉斯的非局性帶來的困難，Caffarelli[18]等發(fā)展了一種將分?jǐn)?shù)次拉普拉斯非局部問題轉(zhuǎn)化到高維的局部問題的延拓法，隨后，這種方法得到了廣泛的應(yīng)用[19-20]。另外，移動(dòng)平面法[21-24]和正則性提升法[25-26]將分?jǐn)?shù)次拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程[25,27]。但上述方法并不適用于非線性非局部算子，如完全非線性非局部算子[4]和分?jǐn)?shù)次p(p≠2)上。最近，Jarohs[28]等發(fā)展了一套直接和移動(dòng)平面法處理非線性非局部算子,這一方法也得到了一些應(yīng)用[1-5，7，10，13，29]。

研究考慮通過建立一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減性定理，結(jié)合窄區(qū)域原理[34]建立了分?jǐn)?shù)次p拉普拉斯薛定諤方程正解的對(duì)稱性，單調(diào)性和上半空間上解的不存在性。

(1)

(2)

式中，γ>0,則u(x)一定關(guān)于某點(diǎn)徑向?qū)ΨQ且單調(diào)遞減。即存在某點(diǎn)x*使得u(x-x*)=u(|x-x*|),若|x-x*|≥|y-x*|,則u(x-x*)≤u(y-x*)。

(3)

的非負(fù)解。若對(duì)某常數(shù)q>1,且

(4)

則u(x)≡0。

2 相關(guān)引理及證明

引理1[1]對(duì)于函數(shù)G(t)=|t|p-2t,由中值定理可得

G(t2)-G(t1)=G′(ξ)(t2-t1),

則存在一正常數(shù)c0,使得

|ξ|≥c0max{|t1|,|t2|}。

(5)

(1)若存在y0∈Σλ,使得wλ(y0)>0,則當(dāng)l充分小時(shí)有

wλ(x)≥0,x∈Ω。

(2)進(jìn)一步，在結(jié)論(1)下，若wλ(x)在某處為0,則

(3)若Ω是一無(wú)界區(qū)域，在條件

下，上述結(jié)論仍成立。

引理3(無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減性)

(6)

以及

(7)

這里γ同定理1要求，并且

(8)

則存在一個(gè)常數(shù)R0>0,使得若滿足

(9)

必有

|x0|≤R0。

(10)

注1 上述引理在定理1以及定理2的證明中扮演著重要的角色。另一方面，引理3具有獨(dú)立性，存在潛在的應(yīng)用價(jià)值。

引理3的證明

用反證法。若不然，對(duì)充分大的R>0,總有|x0|>R成立。結(jié)合算子的定義和中值定理有

本研究采取SPSS21.0統(tǒng)計(jì)軟件整合和分析數(shù)據(jù)，計(jì)數(shù)資料用百分比表示，χ2檢驗(yàn)，P＜0.05差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

(11)

其中η(y)介于uλ(x0)-uλ(y)與u(x0)-uλ(y)之間，ξ(y)介于uλ(x0)-u(y)與u(x0)-u(y)之間。對(duì)I1進(jìn)行估計(jì)。一方面，容易驗(yàn)證

|x0-y|≤|x0-yλ|,y∈Σλ,

故

(12)

另一方面，由中值定理可得

G(uλ(x0)-uλ(y))-G(u(x0)-u(y))=G′(·)(wλ(x0)-wλ(y)),y∈Σλ,

(13)

結(jié)合式(9)、式(12)、式(13)及G′(t)≥0,知

I1≤0。

(14)

再對(duì)I2進(jìn)行估計(jì)，令R=|x0|>R0,選一點(diǎn)xR∈Σλ,滿足BR(xR)?Σλ且|xR|=3R,結(jié)合式(7)有：對(duì)任意的y∈BR(xR),

(15)

由引理1知，存在常數(shù)C>0,使得

G′(ξ(y))=(p-1)|ξ(y)|p-2≥C(p-1)|u(x0)-u(y)|p-2≥

(16)

結(jié)合G′(·)的非負(fù)性，式(15)和式(16)有

(17)

由式(11)、式(14)、式(17)可得到

(18)

(19)

結(jié)合wλ(x0)的定義可得C+c(x0)Rγ(p-2)+sp≤0,而當(dāng)R充分大時(shí)，結(jié)合式(8)得C+c(x0)Rγ(p-2)+sp>0,得到矛盾，從而式(10)得證，引理得證。

3 定理1與定理2的證明

3.1 定理1的證明

令Tλ,Σλ,uλ,wλ與前面部分的定義相同，則在wλ為負(fù)值的點(diǎn)處，可以得到

(20)

第一步：從-∞附近開始移動(dòng)平面。當(dāng)λ充分負(fù)時(shí)，

wλ(x)≥0,x∈Σλ。

(21)

如果式(21)不成立，則wλ在某點(diǎn)處取到負(fù)的極小值，設(shè)該點(diǎn)為x0。結(jié)合式(2)，有

滿足引理3的條件。因此，存在R0(與λ無(wú)關(guān))使得

|x0|≤R0。

即當(dāng)λ<-R0,有

wλ(x)≥0,x∈Σλ。

第二步：在保證式(21)成立的條件下，沿x1正方向移動(dòng)Tλ,一直移動(dòng)到極限平面Tλ0。

定義λ0=sup{λ|wμ(x)≥0,x∈Σμ,μ≤λ}。根據(jù)u(x)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的衰減性，可知λ0<∞。接著證明

wλ0(x)≡0,x∈Σλ0。

(22)

假設(shè)式(22)不成立，結(jié)合wλ0的定義及引理2(3),則有

wλ0(x)>0,x∈Σλ0。

(23)

在此情況下，將證Tλ仍可繼續(xù)向右移動(dòng)。即存在足夠小的ε>0,使得對(duì)任意λ∈(λ0,λ0+ε)有

wλ(x)≥0,x∈Σλ。

(24)

這與λ0的定義相矛盾，從而式(22)成立。接下來將利用引理2來證明式(24)。對(duì)ε>0,由wλ(x)關(guān)于λ的連續(xù)性，可得存在常數(shù)c,使得wλ0(x)>c>0,x∈Σλ0-ε。進(jìn)一步可得

wλ(x)≥0,x∈Σλ0-ε。

(25)

令Ωδ=Σλ+δΣλ0-ε∩BR(0),其中δ表示“窄區(qū)域原理”的狹窄區(qū)域的最大寬度?？芍鼭M足

由引理2，知wλ(x)≥0,x∈Ωδ。

即式(24)得證，這與λ0的定義相矛盾，從而式(22)得證。因?yàn)槿〉膞1的方向是任意的，也就意味著u關(guān)于某點(diǎn)是徑向?qū)ΨQ的。再由wλ(x)的定義以及證明過程可得,u是關(guān)于某點(diǎn)徑向?qū)ΨQ且單調(diào)減的。定理證畢。

3.2 定理2的證明

根據(jù)u(x)的非負(fù)性，可以斷言

(26)

uq(x0)-u(x0)=0。

wλ(x)=uλ(x)-u(x)。

與定理1的證明類似，可驗(yàn)算知，在wλ為負(fù)值的點(diǎn)處，有

并且滿足引理2及引理3的條件。第一步，將證當(dāng)λ充分小時(shí)，

(27)

λ0=∞。

(28)

若λ0<∞,與定理1中第二步證明類似，則存在δ0>0,對(duì)任意0<δ<δ0,

這與λ0的定義矛盾，從而式(28)肯定成立。即u(x)在xn方向上是嚴(yán)格單調(diào)增的，這與式(4)矛盾，表明u(x)>0是不成立的。因此u(x)≡0。定理2證明完成。