匯率與通脹風險下跨國投資問題研究

王昆侖，芮亞運，梁 勇

(安徽工程大學 數(shù)理學院，安徽 蕪湖 241000)

最優(yōu)投資組合問題是金融工程領域的一個重要研究課題。在現(xiàn)實經(jīng)濟活動中，由于受通貨膨脹的影響，投資者通常會隨著投資環(huán)境的變化適時地調(diào)整其投資策略，從而實現(xiàn)以最低的風險獲得最大化的收益。Brennan[1]等在關于通貨膨脹環(huán)境下的投資組合研究中，分析了名義資產(chǎn)可交易情形下投資者的最優(yōu)資產(chǎn)分配問題。在通脹不確定下，Bensoussan[2]等探討了通脹對最優(yōu)消費和投資決策的影響。Hsiao[3]引入隨機價格指數(shù)來研究通脹風險下跨期資產(chǎn)分配問題。利用α-極大極小期望效用偏好模型,梁勇[4]等研究了Knight不確定及機制轉換環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)投資問題。費為銀[5]等研究了通脹服從均值回復過程的最優(yōu)消費和投資問題。

跨國投資在經(jīng)濟全球化的背景下已經(jīng)顯得越來越重要。但跨國投資者本幣表示的投資收益會面臨外匯匯率變動的影響。Andriansyah[6]等研究了匯率對跨國投資的影響。Kozo[7]等研究了匯率及其波動率對跨國直接投資的影響。Wheeler[8]等研究了當外商在加拿大、日本、英國和美國進行直接投資時，匯率波動對其投資的影響。王相寧[9]等的研究發(fā)現(xiàn)，隨著投資所在國貨幣的升值，外商的投資逐漸減少。張瑜[10]從實證的角度研究了人民幣匯率和外商直接投資的內(nèi)在關系。結果表明，人民幣升值對我國外商直接投資在短期內(nèi)會產(chǎn)生一定的抑制作用，但從長期來看則起到促進作用。費為銀[11]等研究了跳擴散下匯率變動的外商直接投資問題，從經(jīng)濟學角度分析了跳和匯率變動對投資者最優(yōu)資產(chǎn)配置策略的影響。近年來，呂誠倫[12]等通過對企業(yè)跨國投資問題的研究，發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定的匯率制度對企業(yè)持久發(fā)展的重要性。鄭建明[13]等研究了匯率變動情況和跨國企業(yè)投資彈性的相關性。嚴成樑[14]提出通貨膨脹會影響企業(yè)的預期收益。費為銀[15]等通過構建通脹條件下委托代理的契約模型，認為通貨膨脹會對代理人的努力水平產(chǎn)生影響。Martijn[16]等通過設計消費的資產(chǎn)定價模型，發(fā)現(xiàn)了通貨風險是隨著時間和股票價格變動的。綜上所述，將在匯率變動和通脹風險下研究企業(yè)的跨國投資問題。

分析匯率變動風險和通貨膨脹風險對跨國投資者最優(yōu)資產(chǎn)配置的影響。建立了跨國投資者真實財富動力學所滿足的隨機微分方程，利用隨機微分方程和隨機控制理論得到了匯率變動和通脹風險作用下跨國投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略，最后對所得理論結果作了數(shù)值模擬分析，進而給出結果的經(jīng)濟學解釋。

1 模型構建

假設一家中國企業(yè)的代理人計劃在美國市場上進行投資，那么他將面臨匯率變動以及通脹(美國市場)所引起的投資收益變動的風險。

假設投資者面臨投資所在國的通脹風險由通脹指數(shù)It來刻畫

(1)

式中，即期預期通脹率由πt表示；通脹波動率由σI表示。

假設驅動風險債券價格的兩個因子即期實際利率rt和即期預期通脹率πt分別滿足均值-回復過程

(2)

(3)

Pn(t,T,rt,πt)=exp(-An(T-t)-Bnr(T-t)rt-Bnπ(T-t)πt),

(4)

式中，τ=T-t,An(τ),Bnr(τ)和Bnπ(τ)為Duffie-Kan系數(shù)，且滿足

終端條件為：An(0)=0,Bnr(0)=0,Bnπ(0)=0,λr,λπ為風險的市場價格，ξ0由研究假設條件(2)給出。

對式(4)運用伊藤公式，給出名義債券的價格動力學方程如下:

(5)

其中，

名義收益定義為

(6)

Pr(t,T)=exp(-Ar(T-t)-Brr(T-t)rt),

其中，Duffie-Kan系數(shù)Ar(τ)和Brr(τ)分別滿足

類似地，利用伊藤公式，可以給出T時刻到期的通脹指數(shù)債券(ⅡB)的價格動力學方程如下[3]:

(7)

其中，μI(t,T-t)=μr(t,T-t)+πt-Brr(T-t)βrσIρIr。

(8)

現(xiàn)在假設名義債券收益式(5)、通脹指數(shù)債券收益式(7)和貨幣賬單實際價格式(8)滿足3個無套利條件：

μn(t,τ)-Rt=-Bnr(τ)βrλr-Bnπ(τ)βπλπ,?τ>0,

(9)

μI(t,τ)-Rt=-Brr(τ)βrλr+λIσI,?τ>0,

(10)

πt+rt-Rt=λIσI,

(11)

其中，風險的市場價格λr,λπ和λI都是常數(shù)，有λr<0,λπ<0和λI>0。

在上述假設條件下，有

(1)即期名義利率有下式給出:

Rt=ξ0+rt+πt。

(12)

(2)當投資機會集包含通脹指數(shù)債券時，有

ξ0=-λIσI。

2 含有匯率和通脹風險的跨國最優(yōu)投資策略

定義投資商所在國的貨幣(即人民幣)為本幣，投資所在國的貨幣(即美元)為外幣，假設時刻t的匯率(美元/人民幣)動力學可表示為:

(13)

式中，h和δ為正常數(shù)，h表示即期預期匯率，δ表示匯率波動率，H0已知。

跨國投資者的投資機會集中包含四種投資所在國的風險資產(chǎn)：期滿日是T1和T2的兩種名義債券、期滿日是T3的通脹指數(shù)債券和一只風險股票；名義貨幣賬單表示無風險資產(chǎn)。股票價格由幾何布朗運動加以刻畫

(14)

綜合式(5)、式(7)和式(14)，投資機會集中風險資產(chǎn)價格動力學

(15)

其中，

(16)

根據(jù)無套利條件式(9)、式(10)和股票動力學式(14)、式(15)中的預期即期收益μt滿足

μt=Rr1+Σtλ,

(17)

式中，Rt由式(12)給出，1=(1,1,1,1)T,λ=(λr,λπ,λI,λS)T。

在t時刻跨國投資者所擁有的以外幣表示的名義財富為Vt，由式(6)和式(15)可得

(18)

(19)

wt=vtHt為跨國投資者以本幣表示的實際財富，結合式(13)和式(19)，由伊藤公式可得投資者以本幣表示的真實財富方程

令Xt=(rt,πt)T,結合式(2)和式(3)，將因子動力學以向量的形式改寫為

(20)

這里，對于因子Xt，作如下假設

假設1 隨機微分方程式(20)的弱解存在。

假設2 隨機過程Xt具有平穩(wěn)的分布。

令J(t,T,wt,Xt)表示跨國投資者在投資區(qū)間[t,T]上給定初始實際財富wt和因子狀態(tài)Xt下的值函數(shù)，θ為主觀貼現(xiàn)率，投資者的目標是使得其終端財富效用最大化，即

同時，假設代理人的效用函數(shù)U為常值，是相對風險厭惡型(CRRA)的，即

式中，γ為相對風險厭惡系數(shù)。

根據(jù)最優(yōu)化原理，可以得到相應的HJB方程如下：

(21)

式中，Git是Gt的第i行;JXiXj是J關于X的二階導。

這里假設值函數(shù)J(t,T,wt,Xt)=e-θtU(wt)Φ(t,T,Xt)γ。可以得到以下命題。

命題1 給定跨國投資者的投資機會集，投資者最優(yōu)資產(chǎn)配置策略:

(22)

式中，IX是n維的單位陣。

于是可以得到以下的一個線性二次偏微分方程

其中

(23)

(24)

(25)

其中，λ滿足式(17)。

利用Feymann-Kac公式，可以求得Φ(t,T,Xt)的解。

命題2 在上述假設下，有

(26)

其中，

而且

(27)

(28)

(29)

證明運用文獻[3]中的命題1的期望算子表達式(3.25)來進行證明。與文獻[3]中的命題11的證明類似。從式(24)、式(25)可以看出，jt和gt均與t無關，即二者為恒定的。因此，可以省略t。此外，基于無套利條件式(11)的替換，在式(23)和式(25)中沒有出現(xiàn)πt，因此，可以看出Φ(t,T,rt,πt)獨立于πt。

由于g是恒定的，所以根據(jù)文獻[3]中的命題1的式(3.26)，有

rt的解由下式給出

結合Fubini定理可得

Φ(t,T,rt)=Et,x[exp∏(t,T)],

其中，

這里，∏(t,T)服從正態(tài)分布，其均值和方差分別為

根據(jù)

就得到了式(26)。證畢。

(30)

將式(30)代入式(22)中，可以得到具體的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。

命題3 在上述投資機會集下，跨國投資者最優(yōu)資產(chǎn)配置策略的顯式解由式(31)給出。

(31)

式中，記ρAH=(ρrH,ρπH,ρIH,ρSH)T,Σt滿足式(16)，Br(T-t)滿足式(27)，λ=(λr,λπ,λI,λS)T。

3 數(shù)值分析

根據(jù)式(31)的結果，研究進行數(shù)值模擬并給出相應的經(jīng)濟學解釋。研究給出如下部分參數(shù)值并通過Matlab作圖。

αr=0.124 1,απ=0.401 6,βr=0.010 1,βπ=0.006 7,σI=0.139 1,σS=0.011 5，

λr=-516 8,λπ=-1.568 1,λI=0.101 4,λS=0.866 9,ρrπ=-0.508 2

ρrI=0.060 9,ρIπ=-0.068 8,ρrS=-0.174 4,ρSπ=-0.022 1,ρIS=-0.058 7,

ρrH=-0.02,ρπH=-0.03,ρIH=-0.015,ρSH=-0.04,t=0,T1=3,T2=10,T3=10。

圖1 風險厭惡系數(shù)γ對最優(yōu)投資策略的影響

風險厭惡系數(shù)γ對于最優(yōu)投資策略的影響如圖1所示(NB3Y表示3年期短期債券，NB10Y表示10年期長期債券)。設定跨國投資期限為10年，投資者風險厭惡系數(shù)γ∈[4,1 000]。從圖1可以看出，當風險厭惡系數(shù)增大時，跨國投資者在3年期短期債券上的頭寸逐漸減小，同時在10年期長期債券上的持有頭寸會逐漸增大。原因是長期債券比短期債券更為安全。但又會發(fā)現(xiàn)短期債券的頭寸始終高于長期債券頭寸，原因是通脹指數(shù)債券對沖作用減緩了通脹風險；在通脹指數(shù)債券上的頭寸保持穩(wěn)定，原因是通脹指數(shù)債券相對于其他資產(chǎn)來說，是一種更為安全的資產(chǎn)，相對保守的投資者更青睞此種債券；由于跨國投資者的風險厭惡系數(shù)較大，所以在風險股票上的頭寸很小。

4 結語

由于匯率變動和通脹風險對跨國投資者的投資收益有著顯著的影響，所以，跨國投資的投資者需要根據(jù)匯率的變動和通脹水平適時地調(diào)整其資產(chǎn)配置頭寸，以降低風險，獲得更大的實際收益。研究風險債券的價格由雙因子模型刻畫，借助隨機分析和隨機控制等理論，導出最優(yōu)策略所滿足的HJB方程，進而獲得了跨國投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。利用數(shù)值模擬分析方法，分析研究了風險厭惡系數(shù)對跨國投資者最優(yōu)投資策略的影響，并對所得結果進行了相應的經(jīng)濟學解釋。所得結果對跨國投資者的投資決策有一定的參考價值。