求索數(shù)學(xué)之道
——記南京大學(xué)數(shù)學(xué)系教授宗潤弘

杜月嬌

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)眾多的分支學(xué)科中，代數(shù)幾何是一門非常重要又特別的基礎(chǔ)學(xué)科，它與數(shù)學(xué)中其他分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，并且被深刻地應(yīng)用到理論物理及其他的科學(xué)技術(shù)中，而在大多數(shù)20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)重大進(jìn)步的背后，或多或少都有代數(shù)幾何的身影。

在很多人的印象當(dāng)中，數(shù)學(xué)家的工作場景就是每天埋頭在草紙堆里演算，枯燥且乏味。但對于數(shù)學(xué)研究者來說，數(shù)字以及幾何模型背后所隱藏的是無窮的科學(xué)奧秘以及鮮有人發(fā)現(xiàn)的“美”。在21世紀(jì)各類高新技術(shù)科學(xué)發(fā)展的大背景下，代數(shù)幾何學(xué)研究領(lǐng)域也并沒有被現(xiàn)代科學(xué)潮流所淹沒，且有越來越多的科研人選擇投身其中，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系宗潤弘教授就是其中之一。與代數(shù)幾何領(lǐng)域結(jié)緣以來，他在代數(shù)幾何的主要分支領(lǐng)域——雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中不斷探索，在窮極數(shù)理研究中，實現(xiàn)著思維的蛻變，實現(xiàn)著一次又一次的科研突破。

走進(jìn)代數(shù)幾何世界

中國宋明時代理學(xué)家有“格物致知、窮理明辨”的說法，Physics（物理學(xué)）最初被翻譯成“格致”便是由此而來。高中時期，宗潤弘就對物理這一“格萬物而致窮理”的學(xué)科產(chǎn)生了極大興趣。2006年，宗潤弘考入中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)。但因為高考分?jǐn)?shù)的客觀因素，他不得不放棄當(dāng)年競爭激烈的物理專業(yè)，正式步入了電子學(xué)專業(yè)開始學(xué)習(xí)。

俗話說：“數(shù)理不分家?！币苍S是冥冥中緣分使然，大學(xué)一年級期間，宗潤弘在偶然旁聽數(shù)學(xué)系的拓?fù)鋵W(xué)課程時，被授課老師發(fā)現(xiàn)其極大的數(shù)學(xué)天賦，并建議其轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系，進(jìn)行今后的深度研究。再三考慮之后，宗潤弘接受了這一提議，并順利轉(zhuǎn)入了中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系，從此開啟了在代數(shù)幾何領(lǐng)域的研究之旅。

宗潤弘

代數(shù)幾何是一門古老的學(xué)科，其中所蘊(yùn)含的代數(shù)推理一般都比較精巧，而其研究對象又具有幾何的直觀，深入到這一學(xué)科之中，宗潤弘對這一領(lǐng)域的研究興趣也越來越深。整個本科期間，宗潤弘系統(tǒng)學(xué)習(xí)了代數(shù)幾何這一領(lǐng)域相關(guān)的知識，本科畢業(yè)之后，他順利被導(dǎo)師推薦到普林斯頓大學(xué)從事代數(shù)幾何研究，踏上了國外的漫漫求學(xué)之路。

代數(shù)幾何領(lǐng)域于2010年左右在我國掀起了研究高潮，當(dāng)時國內(nèi)涌現(xiàn)了約10位左右的青年數(shù)學(xué)研究者，做出了一系列優(yōu)秀的科研成果。而那時，正是宗潤弘即將前往國外攻讀博士的時期，這一學(xué)科在新時期的研究趨勢與背景，也在潛移默化中激發(fā)了他走向更大的平臺，深耕更深奧的代數(shù)幾何領(lǐng)域問題的決心。

從2010年—2019年，在國外9年時間，宗潤弘先后在美國普林斯頓大學(xué)、美國普林斯頓高等研究院以及德國美因茨大學(xué)等學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)中進(jìn)行科學(xué)研究。在國外21世紀(jì)掀起的金融風(fēng)潮中，他不僅沒有丟失自己的科研初心，還投身于自己真正感興趣的代數(shù)幾何領(lǐng)域的科研問題中，孜孜不倦求索，從未放棄。

深入極小模型綱領(lǐng)研究

數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)。在宗潤弘眼中，代數(shù)幾何領(lǐng)域所存在的諸多問題，都對他有著極大的吸引力。多年來，他就將研究扎根在純粹數(shù)學(xué)中代數(shù)幾何方向的理論研究中，特別是在作為代數(shù)幾何的幾個主要分支領(lǐng)域之一的雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中，與相關(guān)研究者合作，實現(xiàn)了諸多科研創(chuàng)新突破。

20世紀(jì)80年代，雙有理幾何中最核心的綱領(lǐng)——極小模型綱領(lǐng)，是數(shù)學(xué)界里一個活躍的研究方向，1990年，日本數(shù)學(xué)家森重文因其在此領(lǐng)域的研究成果，獲得了國際數(shù)學(xué)界最高獎菲爾茲獎。遺憾的是，此后10年間，這個領(lǐng)域的研究略微有些沉寂。直到2000年后，數(shù)學(xué)家們才取得重大進(jìn)展。

零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)，是極小模型綱領(lǐng)的一個基本思想。在這一思想的指導(dǎo)下，人們普遍猜測任何一個定義在代數(shù)閉域上的不可化歸為有理連通代數(shù)簇的纖維化的代數(shù)簇都可雙有理等價于一個極小模型代數(shù)簇。對于代數(shù)閉域的特征為零的情形，在雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)中已經(jīng)有了由Prof.Birka、Prof. Cascini、Prof. Hacon以及Prof. Mckernan所證明的如下著名結(jié)論：對于一個射影的奇異性為Kawamata Log Terminal的對數(shù)偶（Log Pair）（X,D），如果其邊界除子D是Big的且其對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)從KX+D是Pseudo-Effective的，則KX+D一定有一個奇異性為Log Terminal的模型。這項結(jié)論可以蘊(yùn)含零特征代數(shù)閉域上屬于General Type的代數(shù)簇或者屬于Log General Type的對數(shù)偶的極小模型的存在性。

雖然已經(jīng)有了如上著名結(jié)果，但在零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)中還有很多基本和重要問題尚未解決。比如，雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)的著名專家Prof. Shokurov曾提出如下猜想：給定一種來自鏡像對稱的零特征的代數(shù)閉域上的對數(shù)偶（X，D）的復(fù)雜度和絕對復(fù)雜度的定義（此種定義主要來自對邊界除子D的在數(shù)量等價下的有效分解的分析），則當(dāng)此對數(shù)偶（X，D）的奇異性為Log Canonical且其復(fù)雜度小于1時，代數(shù)簇X一定是一個Toric代數(shù)簇，而當(dāng)此奇異性為Log Canonical的對數(shù)偶（X，D）的絕對復(fù)雜度小于2時，代數(shù)簇X一定是幾何有理代數(shù)簇。運用零特征的代數(shù)閉域上的極小模型綱領(lǐng)的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)，以及一些關(guān)于對數(shù)偶上的錐的奇異性與對數(shù)偶的幾何特性之關(guān)系的特殊觀察及技巧，宗潤弘與團(tuán)隊合作一起完全解決了如上由Prof.Shokurov提出的猜想。

目前，這項成果已經(jīng)被他們在多場學(xué)術(shù)會議及多所高校及其他學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)的研討班中予以報告，并且廣受與會者及聽眾好評，有關(guān)的一篇論文“A Geometric Characterisation of Toric Varieties”已經(jīng)被Duke Mathematical Journal發(fā)表。

有理連通代數(shù)簇的性質(zhì)探索

所有科學(xué)都來自人們對有趣的、非常規(guī)道路的發(fā)掘，代數(shù)幾何領(lǐng)域也是如此。術(shù)語“簇”取自拉丁語族中詞源的概念，有基于“同源”而“變形”之意。代數(shù)幾何學(xué)上，代數(shù)簇是多項式集合的公共零點解的集合，是經(jīng)典（某種程度上也是現(xiàn)代）代數(shù)幾何的中心研究對象，而這一研究對象對于扎根在代數(shù)幾何領(lǐng)域的宗潤弘來說有著極大的探索空間。在興趣的驅(qū)使下，他不斷深入有理連通代數(shù)簇研究中，試圖通過研究解析其中所蘊(yùn)藏的幾何、拓?fù)渑c算術(shù)性質(zhì)奧秘。

根據(jù)雙有理幾何或極小模型綱領(lǐng)對定義在代數(shù)閉域上的代數(shù)簇的雙有理分類的基本思路，有理連通代數(shù)簇是有理曲線或有理曲面在高維數(shù)的自然推廣，并且是高維代數(shù)簇的基本構(gòu)成部分之一。

從幾何和拓?fù)涞闹庇^上看，有理連通代數(shù)簇是有足夠多有理曲線的代數(shù)簇?；诖朔N直觀，在有理連通代數(shù)簇的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)方面，代數(shù)幾何的著名專家Prof. Iskovski曾提出如下問題：對于一個定義在復(fù)數(shù)域上的射影且光滑的高維Fano代數(shù)簇（注：一種最具代表性的有理連通代數(shù)簇），是否其上的所有一維代數(shù)閉鏈都拓?fù)渫{(diào)等價于一些整系數(shù)的有理曲線之和。而代數(shù)幾何的著名專家Prof. Totaro也曾提出如下問題：對于一個定義在復(fù)數(shù)域上的射影且光滑的三維有理連通代數(shù)簇，是否其上的所有（2，2）型的整系數(shù)Hodge類都拓?fù)涞葍r于一些整系數(shù)的有理曲線之和？

在這一背景之下，宗潤弘及其團(tuán)隊通過運用一種對形變理論的新穎應(yīng)用，特別地推廣有理連通代數(shù)簇上的Smoothing of Comb技術(shù)及對于穩(wěn)定曲線及有關(guān)的穩(wěn)定映射的?？臻g之間的遺忘映射之幾何性質(zhì)的觀察，宗潤弘和合作者一起證明了：對于一個定義在代數(shù)閉域上的恰當(dāng)且光滑的可分有理連通代數(shù)簇，其上的所有一維代數(shù)閉鏈都有理等價于一些整系數(shù)的有理曲線之和。特別的是，此結(jié)論以一種更強(qiáng)的形式解決了如上由Prof.Iskovski提出的問題，同時結(jié)合代數(shù)幾何的著名專家Prof. Voisin之前的結(jié)論，也解決了如上由Prof. Totaro提出的問題。進(jìn)一步地，對于一個由Prof. Voisin及代數(shù)幾何的著名專家Prof. Kollár提出的可作為如上Prof. Tataro提出的問題之高維推廣的一個更加一般的問題，結(jié)合Prof. Voisin的一個之前的結(jié)論，宗潤弘及其合作者的上述結(jié)論也可將其劃歸到有限域上的代數(shù)曲面的Tate猜想。目前，與此成果有關(guān)的一篇論文“One Cycles on Rationally Connected Varieties”已經(jīng)被Composition Mathematical發(fā)表。

作為數(shù)域上的有理代數(shù)簇總有足夠多有理點的算術(shù)性質(zhì)的自然類比，在與有理連通代數(shù)簇相關(guān)的算術(shù)性質(zhì)方面，代數(shù)幾何的著名專家Prof. Hassett和Prof.Tschinkel曾提出如下弱逼近猜想：考慮一個定義在復(fù)數(shù)域上的有理連通代數(shù)簇的族，其中底空間為一個射影且光滑的代數(shù)曲線，則此族的Generic Fiber作為一個定義在底空間曲線的函數(shù)域上的代數(shù)簇一定滿足弱逼近性質(zhì)，亦即其有理點的集合在其函數(shù)域的Adele環(huán)的整點集上是稠密的。

在這一現(xiàn)狀下，宗潤弘及其合作者通過進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用，在上一個關(guān)于有理連通代數(shù)簇的幾何與拓?fù)湫再|(zhì)的工作中的方法和技術(shù)，首先解決了如下一個由代數(shù)幾何的著名專家Prof. Starr提出的問題：對于一個定義在代數(shù)閉域上的恰當(dāng)且光滑的可分有理連通代數(shù)簇，若其上有一個其階數(shù)在定義域上可除的有限循環(huán)群的非平凡作用，則此代數(shù)簇上的任何兩個在此群作用下的不動點都可被一條在此群作用下協(xié)變（Equivariant）的有理曲線所連接。

基于對此結(jié)論的應(yīng)用，宗潤弘和合作者對一大類具有一般性的情形驗證了上述由Prof. Hassett和Prof. Tschinkel提出的弱逼近猜想：特別地，他們證明了上述弱逼近猜想中的有理連通代數(shù)簇的族在具有Potentially Good Reduction的Place處均滿足弱逼近性質(zhì)，特別地，上述弱逼近猜想對所有滿足Iso-Trivial性質(zhì)的族均成立。此結(jié)論包含了幾乎全部之前已知的對上述弱逼近猜想所滿足的特殊情形，并且可以蘊(yùn)含上述弱逼近猜想對于一種由Prof. Hassett提出的被認(rèn)為特別困難的一種三次曲面的情形成立。與此成果有關(guān)的一篇論文“Weak Approximation of Iso-Trivial Families”已經(jīng)被J.Reine Angew.Math. (Crelle’s Journal)發(fā)表。

突破領(lǐng)域限制的自主創(chuàng)新

法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉格朗日曾說過：“只要代數(shù)和幾何沿著各自的途徑去發(fā)展，它們的進(jìn)展將是緩慢的，他們的應(yīng)用也是很有限的。但是，當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)成伴侶，它們都將從對方身上獲得新鮮的活力，因此，以快速的步伐猛進(jìn)，趨于完美?！痹谧跐櫤肟磥恚还苁乾F(xiàn)在還是未來，代數(shù)幾何領(lǐng)域都存在很多未解謎題等待著科學(xué)家們深入探索，未來，這一領(lǐng)域研究仍然會是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的主流所在。

在他的介紹下，記者了解到：除卻代數(shù)幾何本身是一門很有意義的學(xué)科，其應(yīng)用意義也是不容忽視的。雖然代數(shù)幾何學(xué)科最初很難有直接的應(yīng)用，但是純粹數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值一旦被發(fā)現(xiàn)，就會有非常大的基礎(chǔ)性突破，并且有深遠(yuǎn)的應(yīng)用價值影響。

創(chuàng)新是數(shù)學(xué)的靈魂。雖然，近些年來我國代數(shù)幾何領(lǐng)域的研究發(fā)展迅速，但其發(fā)展的瓶頸在于還沒有真正具有引領(lǐng)性的原創(chuàng)成果出現(xiàn)。在未來，宗潤弘也希望能夠與中國在代數(shù)幾何領(lǐng)域的科學(xué)家們一起探索前行，致力于開創(chuàng)更多具有獨創(chuàng)性及引領(lǐng)性的科研成果，在國際代數(shù)幾何領(lǐng)域發(fā)出屬于中國科學(xué)家的聲音。

要成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國，對年輕人才的培養(yǎng)尤為重要，數(shù)學(xué)家的思維活動往往都是在很年輕的時候非?；钴S。一路走來，宗潤弘遇到了很多良師益友，他的本科以及博士生導(dǎo)師、博士期間的學(xué)長，都對其的研究之路的引領(lǐng)與成長有著極大的幫助。如今，作為一名大學(xué)教師，宗潤弘也希望自己的學(xué)生在具有扎實科研根基的基礎(chǔ)上，不受思維所限，發(fā)揮主觀能動性，做出更多原創(chuàng)性的科研創(chuàng)新成果。

自由思考、厚積薄發(fā)，一直是宗潤弘喜歡的學(xué)術(shù)氛圍，他所追求的不是多發(fā)表文章，而是能攀登科學(xué)高峰，對人類文明做出貢獻(xiàn)。多年來，他對于代數(shù)幾何領(lǐng)域的熱愛之情歷久彌堅。未來，他還將繼續(xù)扎根在代數(shù)幾何領(lǐng)域，把對學(xué)術(shù)的熱愛內(nèi)化到一絲不茍的學(xué)習(xí)和實踐中，不懈耕耘，求索數(shù)學(xué)之道。