無錫中考熱門壓軸題型之翻折類隱圓問題

孫宇

【摘 要】 幾何的三種全等變換中（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)），翻折和旋轉(zhuǎn)是無錫中考考查的重點。其中，翻折類的變換在近幾年無錫中考真題和模擬題中反復(fù)出現(xiàn)，讓很多學(xué)生都難以找到準(zhǔn)確方向，本文針對這一類問題，給出最常用、最基本的解答方法。

【關(guān)鍵詞】 翻折;中考;隱圓

一、翻折類隱圓問題的提出

翻折是一種全等變換，翻折前后的對應(yīng)線段和對應(yīng)角是相等的。由于這樣的性質(zhì)，當(dāng)沿著同一端點的某條射線進行折疊，那么對應(yīng)線段之間必然有一個公共的端點。根據(jù)圓的定義，我們可以判斷，對應(yīng)線段的另一個端點必然在一個圓上，這個圓就是折疊過程中形成的“隱圓”。下面我們通過典型例題的分析，來充分理解這一類問題的具體含義和求解方法。

二、重點例題詳細理解與分析

例1：如圖1，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m。動點P從點D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動，連接CP，作點D關(guān)于直線PC的對稱點E，設(shè)點P的運動時間為t（秒）。

（1）若m=6，求當(dāng)P，E，B三點在同一直線上時對應(yīng)的t的值;

（2）已知m滿足：在動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t，使點E到直線BC的距離等于3。求所有這樣的m的取值范圍。

理解分析：這一題是2017年無錫市中考壓軸題。該題目的背景設(shè)置為矩形的翻折類問題。在矩形的翻折類問題中，我們常用的方法就是如上文所述的勾股定理和“K型”相似。第一問比較常規(guī)，連接PB，由翻折的性質(zhì)可以得到PD=PE=t，由PC為∠DPE的角平分線，AD∥BC，則∠DPC=∠BPC=∠BCP，因此PB=PC=6，即△PBC為等腰三角形）（這里利用的“平行、平分、等腰”的關(guān)系，是無錫中考的重點方法之一，在2015年的25題、2018年27題等壓軸題中均有相關(guān)應(yīng)用），然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以輕松求解。

第二問是我們研究的最重要題型。由題意可得，PD的長即為m的取值范圍。由于翻折前后的線段長度不變，即CE始終與CD相等。從而可以確定E點的運動軌跡是以C為圓心，CD為半徑的一個圓。理解到這一步，對于題目的最終解答就比較清晰了。畫出這個圓，如圖2所示，當(dāng)點E在BC上方，恰好距離BC的長為3時，作垂線，分別交AD、BC于點M、N，由于∠PEC=90°，可以輕松求得PE的長，也就是m的第一個臨界點值。當(dāng)點E到E'位置時，是其第二個距離BC長度為3的時刻。此時E在BC下方，如圖3所示，畫出輔助線（虛線部分），依然利用“K型”相似即△P'M'E'∽△E'N'C'，可以得到第二個解（也可以利用勾股定理求解，相對而言，“K型”相似計算更加簡便）。充分理解第二小問的解題過程，我們發(fā)現(xiàn)翻折類的隱圓問題畫出動點的軌跡（隱藏的圓）是一個關(guān)鍵的突破口。只要能充分理解到這一點，這一類題目的解答思路就會變得很明晰。

例2：如圖4，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=m，點E是邊BC上一點，BE=1，連接AE。沿AE翻折△ABE，使點B落在點F處。

（1）連接CF，若CF∥AE，求m的值;

（2）連接DF，若≤DF≤，求m的取值范圍。

理解分析：這一題是無錫2019年的模擬題。這一題的題目背景和例1幾乎一樣，問題的設(shè)置也有著相似的地方。根據(jù)例1的解析方法，首先畫出F點的軌跡：以A為圓心，AB為半徑的圓。第一問，在此不進行贅述。在第二小問中，設(shè)QE=x，由于∠AFE=90°，利用“K型”相似可以得到PF=2x，則FQ=2-2x，在Rt△FEQ中，利用勾股定理求得x=，由此可以求得PD2和PD1的長（D1和D2關(guān)于點P對稱），從而可以得到最終的m的取值范圍（即AD1和AD2的長）?；仡櫩偨Y(jié)這一題的突破點，依然在于這一“隱圓”的重要思路，后續(xù)的解答，基本上是很常規(guī)方法的使用。

例3：已知平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，BC=m，E為BC邊上的動點，連接AE，作點B關(guān)于直線AE的對稱點F。當(dāng)點F到直線BC的距離d滿足條件：-2≤d≤+4，求m的取值范圍。

理解分析：這一題是2019年無錫模擬試題，我們發(fā)現(xiàn)和上面的兩道例題很類似，只不過題設(shè)的背景變?yōu)橐粋€含特殊角（60°）的平行四邊形。根據(jù)上面的解答思路，我們畫出F的軌跡：以A為圓心、AB為半徑的圓。如圖5，過點A作BC垂線，分別交圓A于點F'，交BC于點H，則AH=，F(xiàn)'H=+4，我們發(fā)現(xiàn)，這一長度也是F點距離BC的最大距離。而由題意可知，（如圖6）不論m取何值，F(xiàn)點始終在弧BFB'上（不能達到B'），所以這一題的解答就會變得更加清晰：只需要求解最小值的臨界點就可以了。過點F作垂線，分別交AD、BC于點P、M，從而得到PF=2，而AP=4，所以∠PAF=30°。后續(xù)的解答比較常規(guī)，讀者可自行探究。

通過以上三道例題的詳細分析理解，我們可以充分體會到翻折類問題最大的突破口就在于畫出題目中的“隱藏的圓”，讓該圓“現(xiàn)出真面目”，這一類題目也就會“現(xiàn)出真思路”。當(dāng)然在畫出圓后的解答過程中，我們的基本功要扎實，“K型”相似和“勾股定理”的運用要相當(dāng)熟練，另外，翻折是一種幾何全等變換，其前后對應(yīng)的等量關(guān)系（對應(yīng)角和對應(yīng)線段都是相等的）一定要時刻把握住。數(shù)據(jù)的處理與分析，也是一個小考驗。對于壓軸題的理解與分析，要注重數(shù)學(xué)方法運用，不能過于關(guān)注“述”，而輕視“法”、忽略“道”，才能真正做到一通百通。

【參考文獻】

[1]董磊.數(shù)學(xué)思想方法的價值和意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（10）：46-48.