一道最值題的解法研究與思考

方積糧

[摘要]研究典型題目的解法，尋找一題多解，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

[關(guān)鍵詞]最值;研究;思考

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)]1674-6058（2020）14-0015-02

題目：如圖1，已知A、B分別是X軸和y軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上，且→AP=t→PB（t是不為0的常數(shù)），設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為C，求點(diǎn)P的軌跡方程C，且若t=2，點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3/2，3）（如圖2），求△QMN的面積S的最大值.

點(diǎn)評(píng)：上述解法將三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率k的函數(shù)，然后利用分離變量借助基本不等式求出三角形的最大值.

點(diǎn)評(píng)：上述解法充分利用橢圓對(duì)稱性，將△MNQ面積分割成兩個(gè)面積相等的三角形，從而先求S²_△MNQ的最大值，最后得到（S_△MNQ）_max=2（√2）.

點(diǎn)評(píng)：上述解法主要利用坐標(biāo)系變換，將橢圓變?yōu)橐粋€(gè)單位圓，求出在新坐標(biāo)系下的三角形最大值，然后利用行列式得到新舊坐標(biāo)系下三角形面積關(guān)系，從而求出在原坐標(biāo)系下三角形的最大值.

點(diǎn)評(píng)：上述方法根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，以及弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式得到△MNQ面積關(guān)于點(diǎn)M坐標(biāo)的二元函數(shù)，然后借助橢圓的參數(shù)方程，利用三角函數(shù)中輔助角公式直接求出（S_△MNQ）_max=2（√2）.

點(diǎn)評(píng)：上述方法利用平面點(diǎn)的坐標(biāo)以及行列式表示三角形面積，然后利用橢圓參數(shù)方程和三角函數(shù)中輔助角公式，很容易就求出了（S_△MNQ）_max=2（√2）.

點(diǎn)評(píng)：上述方法先將△MNQ面積分割成兩個(gè)面積相等的△MOQ和△NOQ，而△MOQ和△NOQ的底邊OQ的長(zhǎng)度為定值，從而只需在橢圓上找到動(dòng)點(diǎn)M、N在何處△MOQ和△NOQ的底邊OQ的高為最大值時(shí)S_△MNQ才有最大值.數(shù)形結(jié)合易知過點(diǎn)M、N分別作橢圓切線平行于OQ，此時(shí)兩切線距離就是高的最大值.

點(diǎn)評(píng)：上述方法先構(gòu)造三角形MNQ的面積表達(dá)式為。x，y的多元函數(shù)，然后借助利用高中線性規(guī)劃知識(shí)，通過平移直線求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）