模型化方法及物理圖像在推導(dǎo)平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)中的作用

譚興毅 賀葉露

[摘 要] 該文利用物理學(xué)中特有的模型化方法和物理圖像定性地給出了介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)頻率、振幅等于波源頻率、振幅，同時(shí)也說(shuō)明了波源相位與介質(zhì)質(zhì)元相位間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，利用時(shí)間落后法推導(dǎo)了平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。

[關(guān)鍵詞] 模型化方法;物理圖像;平面簡(jiǎn)諧波;波函數(shù)

[作者簡(jiǎn)介] 譚興毅（1982—），男，博士，重慶三峽學(xué)院物理系副教授，主要從事物理教育與研究。

[中圖分類號(hào)] G451.2? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）23-0261-02? ? [收稿日期] 2020-01-06

一、引言

波動(dòng)是自然界最常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，眼見(jiàn)的波動(dòng)如可見(jiàn)光、水波，而耳聽(tīng)的波動(dòng)就是聲波，這是我們認(rèn)知自然界最基本的兩種手段。所以，了解學(xué)習(xí)波動(dòng)極其重要。大學(xué)物理中波動(dòng)的學(xué)習(xí)是以平面簡(jiǎn)諧波知識(shí)作為載體，而描述平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)特征是平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，顯然具有極其重要的地位[1-6]。實(shí)際上，平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)不僅描述了平面波的各種特征，如振幅、圓頻率、波速和相位，還是后續(xù)知識(shí)如能量、能量密度、能流甚至波的干涉和衍射的基礎(chǔ)，所以能否理解、掌握平面簡(jiǎn)諧波的物理意義，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。現(xiàn)行的大學(xué)物理教材對(duì)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)的推導(dǎo)主要有時(shí)間落后法、相位落后法、動(dòng)力學(xué)法[7-10 ]。然而，現(xiàn)行教材中的時(shí)間落后法、相位落后法大都是直接認(rèn)為波的頻率、振幅應(yīng)該等于波源的頻率、振幅，并沒(méi)有相應(yīng)地論述，致使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中很難理解;而動(dòng)力學(xué)法雖然能給出二者間振幅和頻率的關(guān)系，但是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)，并沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法，所以很難給出正確的解。本文利用物理學(xué)中特有的模型化方法和物理圖像定性地給出了介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)頻率、振幅等于波源頻率、振幅，同時(shí)也說(shuō)明了波源相位與介質(zhì)質(zhì)元相位間的關(guān)系，然后利用時(shí)間落后法推導(dǎo)了平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。

二、物理圖像與彈性介質(zhì)模型

生活中，人們一提到“波”的概念，你可能馬上就想到一顆石子掉入水中激發(fā)的粼粼微波，或者會(huì)想到繩子抖動(dòng)蛇狀向前的圖像，又或者是馬上會(huì)聯(lián)想到聽(tīng)到的美妙音樂(lè)——聲波。無(wú)論是看到的水波、繩波，還是聽(tīng)到的聲波，其實(shí)我們都在頭腦中構(gòu)造了一幅圖像，從物理學(xué)的角度看，這就是物理圖像。

那么波的物理圖像是什么樣的呢？我們?yōu)榱吮容^準(zhǔn)確地給出波的物理圖像，還得借助一個(gè)理想化模型——彈性介質(zhì)。所謂理想化模型方法，其實(shí)就是哲學(xué)里面的抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。此處，我們以彈性細(xì)繩給出彈性介質(zhì)模型。首先，我們把彈性細(xì)繩看作是很多微小的質(zhì)量微元（質(zhì)元，圖中黑色小球）組成，如圖1所示（以橫波為例），相鄰質(zhì)元之間的作用力為彈性力，即可以認(rèn)為中間用不計(jì)質(zhì)量的輕彈簧（圖中箭頭短線）連接，T為簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)元（可看作波源）向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第一個(gè)質(zhì)元和第二個(gè)質(zhì)元之間出現(xiàn)相對(duì)位移，中間不計(jì)質(zhì)量的輕彈簧發(fā)生形變，第二個(gè)質(zhì)元受到第一個(gè)質(zhì)元對(duì)它的彈性力作用，在該彈性力的作用下，第二個(gè)質(zhì)元也向上運(yùn)動(dòng)，就這樣，第二個(gè)質(zhì)元帶動(dòng)第三個(gè)質(zhì)元，第三個(gè)質(zhì)元帶動(dòng)第四個(gè)質(zhì)元……就和多米諾骨牌一樣，振動(dòng)就從波源傳播出去，形成了波。我們對(duì)該圖像用物理語(yǔ)言稍加整理：（1）機(jī)械簡(jiǎn)諧波，即波源的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。顯然，機(jī)械簡(jiǎn)諧波的兩個(gè)條件：波源做簡(jiǎn)諧振動(dòng)和彈性介質(zhì)，二者缺一不可。（2）彈性介質(zhì)中的每個(gè)質(zhì)元只將波源的振動(dòng)沿著波的傳播方向進(jìn)行傳播，形成波動(dòng)圖像，所有質(zhì)元只在自身平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并不隨波發(fā)生整體位移。這樣看來(lái)，波動(dòng)其實(shí)是波傳播方向上，介質(zhì)質(zhì)元的集體振動(dòng)。由于每個(gè)質(zhì)元都是由前一個(gè)質(zhì)元帶動(dòng)的，也即所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)原因都在于波源的振動(dòng)，而波源是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以每一個(gè)質(zhì)元都在上一個(gè)質(zhì)元的周期性的驅(qū)動(dòng)力運(yùn)動(dòng)，故介質(zhì)質(zhì)元的集體振動(dòng)時(shí)一種受迫振動(dòng)。根據(jù)受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在穩(wěn)態(tài)情形下，受迫振動(dòng)的頻率等于周期性驅(qū)動(dòng)力的頻率，所以波的頻率和波源的頻率相同;若波源和介質(zhì)是同種物質(zhì)，且不考慮能量損失情形下，則有介質(zhì)質(zhì)元的振幅等于波源簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅。實(shí)際上，波源和介質(zhì)一般不是同一種物質(zhì)，這種情況下，我們可以把和波源接觸的第一個(gè)介質(zhì)質(zhì)元當(dāng)作波源即可。（3）既然介質(zhì)質(zhì)元在波的傳播過(guò)程中做頻率相同，振幅相同的集體的受迫振動(dòng)，那么它們之間的區(qū)別在于什么地方？由圖1看出，不同質(zhì)元開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，波源最先振動(dòng)，然后沿著波的傳播方向，各質(zhì)元依次振動(dòng)。假定波在介質(zhì)中傳播速度為u，某一質(zhì)元距離波源為x，那么該質(zhì)元振動(dòng)落后波源振動(dòng)的時(shí)間Δt=。

三、平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的推導(dǎo)

有前面的波的物理圖像做鋪墊，顯然利用時(shí)間落后法推導(dǎo)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)比較簡(jiǎn)單。設(shè)一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播，如圖2所示，波的傳播速度為u，波源（坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)處質(zhì)元）的振動(dòng)方程為：

y=Acos（ωt+φ）（1）

其中y為波源偏離平衡位置的位移，A為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，ω是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率，t是時(shí)間變量，是波源的初相位。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x，如前所述，波源處（O點(diǎn)）的振動(dòng)狀態(tài)傳播到P點(diǎn)所需要的時(shí)間為

因波沿x軸正向傳播，因此P點(diǎn)的振動(dòng)就落后于O點(diǎn)，即P點(diǎn)在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)是O點(diǎn)處于t-Δt=t-時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)，于是P點(diǎn)的振動(dòng)方程可以寫(xiě)成：

由于P點(diǎn)任意給定，即P點(diǎn)為x軸上的任意一點(diǎn)，則方程（3）就是平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。

四、結(jié)論

本文利用彈性介質(zhì)理想模型和波動(dòng)的物理圖像，將波動(dòng)看作是介質(zhì)質(zhì)元集體的受迫振動(dòng)，故可定性地給出介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)頻率、振幅等于波源頻率、振幅，同時(shí)也說(shuō)明波源相位與介質(zhì)質(zhì)元相位間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，利用時(shí)間落后法推導(dǎo)了平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。

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On the Effect of Modeling and Physical Image in Deducing the Plane Simple Harmonic Wave Function

TAN Xing-yi，HE Ye-lu

（Department of Physics，Three Gorges University，Chongqing 404100，China）

Abstract：This article qualitatively gives the vibration frequency and amplitude of the medium mass element equal to the wave source frequency and amplitude using the unique modeling method and physical image in physics，and also explains the relationship between the wave source phase and the medium mass element phase.On this basis，the time-lag method is used to derive the wave function of the plane simple harmonic.

Key words：modeling method;physical image;plane simple harmonic;wave function