雙約束非負矩陣分解的復(fù)合故障信號分離方法

王華慶 王夢陽 宋瀏陽 郝彥嵩 任幫月 董方

摘要：為了分離復(fù)合故障振動信號，提出了一種采用雙約束非負矩陣分解算法的信號分離方法。首先對原始振動信號采用短時傅里葉變換，通過時頻分布信息來描述信號的局部故障特征;其次在傳統(tǒng)非負矩陣分解算法中引人β散度約束與行列式約束，構(gòu)成雙約束非負矩陣分解算法，利用雙約束非負矩陣分解算法實現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維，并從低維空間中分離出特征分量;然后通過特征分量重構(gòu)出時域波形，同時提出加權(quán)峰值因子的影響參數(shù)篩選重構(gòu)信號;最后將篩選出的分離信號進行包絡(luò)頻譜分析，提取故障特征。仿真及軸承復(fù)合故障實驗結(jié)果表明：所提出的方法可以有效分離并提取出外圈與滾動體沖擊性特征，實現(xiàn)了軸承的復(fù)合故障診斷。

關(guān)鍵詞：故障診斷;軸承;非負矩陣分解算法;β散度約束;行列式約束

中圖分類號：TH165+。3;TH133.3文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-059@07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.018

引言

基于振動信號分析法已被廣泛地應(yīng)用在機械設(shè)備的故障診斷中，因為振動信號通常包含設(shè)備運行狀態(tài)的主要信息，且容易獲取。復(fù)合故障表明多個故障同時出現(xiàn)，由于故障特征相互耦合，復(fù)合故障診斷方法相對較少，診斷難度較大。與單一故障條件相比，復(fù)合故障在實際應(yīng)用中很常見，造成的危害更嚴重。因此，有效地從振動信號中分離并提取出復(fù)合故障特征，對機械設(shè)備正常運行和系統(tǒng)健康管理具有重要意義。

對于包含多源信息的信號來說，通常可以采用變換域分解方法實現(xiàn)多源分量的分離。如：采用小波分解、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解、變分模態(tài)分解、稀疏分量分析等方法實現(xiàn)多源信號的分解。非負矩陣分解（Non-negative Matrix FactorizationNMF）作為一種新的特征提取方法，其實現(xiàn)簡單且分解形式和分解結(jié)果更具物理意義，克服了一些傳統(tǒng)算法的缺陷，在數(shù)字圖像處理、機器學習、計算機視覺和信息檢索等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

隨著研究的不斷深入，NMF算法更多集中在盲源分離問題上。相比于獨立分量分析和稀疏分量分析，非負矩陣分解需要的約束較少，收斂較快，分解效率更高。如在文獻中，采用局部非負矩陣分解算法并結(jié)合內(nèi)稟特征尺度分解，實現(xiàn)了軸承信號的盲分離;文獻中研究了聯(lián)合非負矩陣分解算法，通過增加稀疏性約束，實現(xiàn)了欠定模型下的盲源分離;文獻提出基于正則化約束的非負矩陣分解算法，成功分離了音樂混合信號。然而在旋轉(zhuǎn)機械領(lǐng)域，由于軸承實際信號復(fù)雜，信噪比低，特征信息較微弱，多源分量信息相互干擾，傳統(tǒng)NMF算法缺少相關(guān)約束，導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余性較大，特征提取的效果并不理想。綜上，本文在傳統(tǒng)非負矩陣分解算法中引人β散度約束與行列式約束，構(gòu)成雙約束非負矩陣分解算法模型，利用其局部學習能力，有效地將復(fù)合故障特征分量分離;同時構(gòu)建加權(quán)峰值因子（Correlation Crest Factor，CCF）影響參數(shù)判別重構(gòu)信號，減少信號的冗余成分。實際軸承復(fù)合故障數(shù)據(jù)分析結(jié)果驗證了所提出方法的有效性，成功分離了軸承復(fù)合故障信號。

1NMF算法理論

式中 m為矩陣的維數(shù)，n為樣本個數(shù)，r為矩陣的秩。由于m》r，從而實現(xiàn)了矩陣維數(shù)的約減。自NMF算法提出以來，已有大量文獻針對損失函數(shù)，對NMF算法進行優(yōu)化改進。傳統(tǒng)的NMF算法采用歐式距離作為其損失函數(shù)，構(gòu)成如下式的優(yōu)化模型

因為在上述迭代規(guī)則下，歐式距離||V-WH||²單調(diào)不增，所以當矩陣W和H達到最優(yōu)點時，算法收斂。

2 雙約束NMF復(fù)合故障信號分離方法

2.1 雙約束NMF算法模型

NMF算法損失函數(shù)的選取由處理的數(shù)據(jù)類型及應(yīng)用環(huán)境決定，在對多源信號特征提取的過程中，如果源信號之間的相關(guān)性越差，則表現(xiàn)出來的局部性越強，分解降維效果就越好。在機械設(shè)備的故障診斷中，若源信號之間彼此特征信息差異不明顯，那么分解降維后基向量就會存在冗余，導(dǎo)致重構(gòu)信號不能完全表達故障特征。針對故障信號特征，選擇β散度約束與行列式約束雙重約束作為非負矩陣分解的損失函數(shù)。β散度約束可以減少數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的限制，適應(yīng)性更強;行列式約束可以保證矩陣分解時基矩陣W的唯一性。雙重約束有效地增強局部特征，更有利于后續(xù)信號的重構(gòu)。β散度的表達式如下尺度入無關(guān)。這種尺度移不變性表明在進行NMF算法分解時，幅度譜y中高、低能量成分擁有同等的權(quán)重值，而當β≠0時，則過度依賴y中能量較高的成分，不利于耦合信號的分離，所以這里選擇β=0.

為了保證分解后的基矩陣W具有唯一性，同時也為了得到更好的重構(gòu)效果，增加行列式約束。定義由n個m維列矢量W₁，W₂，…，W_n張成的空間記為P（w），則P（w）的體積可由下式表示

由于β散度約束與行列式約束是加入到NMF算法目標函數(shù)優(yōu)化方程中，所以通過梯度下降法不斷迭代更新矩陣W和H，直到目標函數(shù)收斂，即可實現(xiàn)約束項的優(yōu)化。具體算法步驟如下：

（1）隨機初始化非負矩陣W，H;

（2）由式（7）計算目標函數(shù)初始值;

（3）根據(jù)式（8）和（9），交替迭代更新矩陣W，H;

（4）若目標函數(shù)收斂則停止迭代，輸出矩陣W，H;否則循環(huán)執(zhí)行步驟（2）和（3）。

2.2 加權(quán)峰值因子

峰值因子是用來檢測振動信號中有無沖擊的指標，反映了峰值在波形中的極端程度。相關(guān)系數(shù)可以表征兩個信號的相似程度?？紤]到這兩個指標的優(yōu)缺點，構(gòu)建兩個指標的綜合影響參數(shù)稱為加權(quán)峰值因子（Correlation Crest Factor，CCF），定義如下：式中

CF（Crest Factor）為信號x（n）的峰值因子，N為信號的長度，C為信號x和y的相關(guān)系數(shù)，E[·]代表數(shù)學期望。根據(jù)Schwartz不等式，可知|C |≤1.

因此，它可以看成是峰值因子的權(quán)重，故CCF可稱為加權(quán)峰值因子。由于滾動軸承的故障為沖擊性特征，相關(guān)系數(shù)可以反映重構(gòu)信號與原信號的相關(guān)性，所以根據(jù)式（10）可知，CCF值越大，重構(gòu)信號所包含的特征信息越豐富，更能表征故障特征信號，故此值可作為篩選重構(gòu)信號的標準。

2.3 雙約束NMF復(fù)合故障信號分離方法

基于上述分析，針對旋轉(zhuǎn)機械中軸承復(fù)合故障信號，提出了一種雙約束非負矩陣分解的復(fù)合故障信號分離方法，具體實現(xiàn)步驟如下，流程圖如圖1所示。

（1）對原始振動信號采用短時傅里葉變換（STFT），這里的窗函數(shù)選用常見的矩形窗，獲得表征局部信息的高維特征矩陣;

（2）取特征矩陣的能量值，對其采用雙約束NMF算法進行降維，得到基矩陣W和系數(shù)矩陣H;

（3）利用基矩陣W和系數(shù)矩陣H在低維空間中重構(gòu)，并采用短時傅里葉逆變換（ISTFT）將時頻信息變換到時域中，得到特征分量的重構(gòu)波形;

（4）計算每一個重構(gòu)信號的CCF值;

（5）篩選出CCF值較大的重構(gòu)信號進行包絡(luò)頻譜分析，提取軸承的故障特征。

3 仿真信號分析

為了驗證所提出方法的特征分離效果，采用如下的模型來模擬軸承復(fù)合故障的振動信號：

式中 g=0.1為阻尼系數(shù)，源信號S₁（t）和s₂（t）分別取以下參數(shù)：固有頻率f_n分別取3000和5000Hz，特征頻率f=1/T分別取73和207Hz，采樣頻率f_s為100kHz，分析點數(shù)取0.5s時間片段。A=[0.8147，0.9058]為一個隨機產(chǎn)生的混合矩陣，通過式（14）混合得到信號s（t），圖2所示為混合信號歸一化后的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖。

對于混合的仿真信號，采用所提出的方法進行分析，首先通過短時傅里葉變換獲得特征矩陣x，對其取能量值X_²;采用雙約束NMF算法對能量值矩陣x[²]降維分解，得到維數(shù)均為10的基矩陣W和系數(shù)矩陣H;將矩陣W和H在子空間重構(gòu)，并采用短時傅里葉逆變換將其變換到時域中，得到10組重構(gòu)信號;計算10組重構(gòu)信號的CCF值，如表1所示。

由表1可知，第7組與第9組的CCF值較大，表明這兩組重構(gòu)信號中所包含的特征信息較豐富，選擇這兩組重構(gòu)信號作其包絡(luò)頻譜圖，歸一化處理后如圖3所示。

從圖3可以看出，包含于源信號的兩種特征成分73與207Hz經(jīng)所提出方法處理后可以分離得到。因此，從仿真信號的分析中可以得出結(jié)論，本文所提出的方法可以有效地從混合信號中分離得到源信號，在包絡(luò)頻譜中也可以提取源信號特征頻率，驗證了該方法的有效性。值得注意的是，當選擇表1中第三大CCF值，即第6組信號進行重構(gòu)，并作其包絡(luò)頻譜圖，如圖4所示。從圖4中也可以發(fā)現(xiàn)207Hz及其高次諧波頻率成分，與圖3（b）相似，說明原始信號已得到有效分離，同時也表明原始信號中僅包含兩種特征頻率成分。

4 應(yīng)用實例

4.1 實驗驗證與分析

為了驗證所提出方法的有效性，采用實測的復(fù)合故障軸承信號為研究對象。利用線切割加工技術(shù)，分別在軸承的外圈和滾動體上加工寬度為0.5mm、深度為0.15mm的缺陷，軸承型號為NTNN204型圓柱滾子軸承。實驗過程中，通過安置在軸承座上的加速度傳感器對豎直方向的振動信號進行采集，旋轉(zhuǎn)機械的模擬實驗臺如圖5所示，其中采樣頻率為100kHz，采樣時間為10s。將電機轉(zhuǎn)速分別設(shè)為1300和900r/min，根據(jù)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)（如表2所示）及下式計算得到滾動軸承各部件的理論特征頻率，如表3所示。

將模擬實驗臺采集到的1300r/min外圈與滾動體復(fù)合故障信號，截取0.5s數(shù)據(jù)片段作歸一化處理后的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖6所示。

從時域波形圖可以明顯看出沖擊脈沖成分，表明該軸承已發(fā)生故障，但周期特性并不明顯，無法獲取軸承有用的狀態(tài)信息。包絡(luò)頻譜圖中，外圈缺陷特征可以明顯識別出來，但滾動體缺陷特征被噪聲成分淹沒，難以識別。

根據(jù)所提出的方法，對原始信號進行短時傅里葉變換，得到129×392的特征矩陣x，對其取能量值x²;采用雙約束NMF算法對能量值矩陣x²降維分解，得到維數(shù)均為10的基矩陣W和系數(shù)矩陣H;將矩陣W和H在子空間重構(gòu)，并采用短時傅里葉逆變換將其變換到時域中，得到10組重構(gòu)信號;計算10組重構(gòu)信號的CCF值，如表4所示。

由表4可知，第2組與第9組的CCF值較大，表明這兩組重構(gòu)信號中所包含的特征信息較豐富，選擇這兩組重構(gòu)信號作其包絡(luò)頻譜圖，歸一化處理后如圖7所示。同時選擇第三大CCF值（表4中第4組信號）信號作對比分析，包絡(luò)頻譜如圖8所示。

由圖7可以看出，經(jīng)所提出的方法處理后得到兩種源信號成分分別對應(yīng)滾動體故障特征頻率圖7（a）和外圈故障特征頻率圖7（b），這與理論計算出的特征值相吻合，并且各自的高次諧波成分也被明顯地提取出來。另外，保持架特征頻率（8Hz）也出現(xiàn)在包絡(luò)頻譜圖7（a）中，且出現(xiàn)以保持架特征頻率分布的故障特征頻率的邊頻帶，這與滾動體出現(xiàn)故障時的特征相一致。與圖8對比可知，當選擇第三大CCF值重構(gòu)信號作包絡(luò)頻譜圖時，和圖7（b）相似，說明實驗信號已得到有效分離，也表明實驗信號中僅包含兩種特征頻率成分。所以，結(jié)果表明所提出的方法可以有效地從混合信號中分離出故障源信號，在包絡(luò)頻譜圖中也可以提取出故障特征頻率，驗證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

同樣地，對900r/min外圈與滾動體復(fù)合故障數(shù)據(jù)進行驗證。取0.5s數(shù)據(jù)片段作歸一化后的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖9所示。采用所提出的方法對實驗數(shù)據(jù)處理，得到歸一化的包絡(luò)頻譜圖如圖10所示。

根據(jù)圖10可以發(fā)現(xiàn)，用所提出的方法處理后，可以分離得到與理論值相吻合的外圈故障和滾動體故障特征頻率，并且各自的高次諧波也被明顯地提取出來。驗證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

4.2 對比傳統(tǒng)NMF算法

為了驗證所提出方法在軸承復(fù)合故障診斷的優(yōu)勢，與傳統(tǒng)采用歐式距離模型的非負矩陣分解算法進行對比。選用1300r/min的實驗數(shù)據(jù)，將短時傅里葉變換得到的特征矩陣取能量值，用傳統(tǒng)歐式距離模型的非負矩陣分解降維，并對分解后的矩陣W和H在子空間重構(gòu)，選擇CCF值較大的重構(gòu)信號作包絡(luò)頻譜，如圖11所示。

從圖11可以看出，經(jīng)過傳統(tǒng)NMF算法處理后，并未對軸承復(fù)合故障信號實現(xiàn)有效分離，僅外圈故障特征被提取出來，滾動體故障特征成分被淹沒，未能準確描述故障源信號。而通過所提出算法可以有效地提取出外圈與滾動體故障特征成分。對比圖11和7可知，由于雙約束NMF算法增強了特征分量的局部特征，且加權(quán)峰值因子可以減少重構(gòu)信號的冗余信息，因而可以分離出源信號，提取故障特征頻率。從而驗證了所提出的方法在軸承復(fù)合故障診斷中的獨特優(yōu)勢。

5 結(jié)論

本文針對旋轉(zhuǎn)機械中復(fù)合故障信號特征信息微弱、難以分離提取的問題，提出了雙約束NMF的復(fù)合故障信號分離方法。通過在傳統(tǒng)非負矩陣分解算法中引人β散度約束與行列式約束，并利用雙約束非負矩陣算法本身具有的局部學習能力，可以將復(fù)合故障特征分量分離;同時，構(gòu)建了加權(quán)峰值因子（CCF），對重構(gòu)后的信號進行選擇，在數(shù)據(jù)實現(xiàn)有效降維的基礎(chǔ)上，減少了分解后的冗余分量。將所提出的方法應(yīng)用在實際軸承信號中，有效分離并提取出了耦合故障特征信息，實現(xiàn)了軸承的復(fù)合故障診斷。因此，所提出的方法對旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備的復(fù)合故障診斷具有重要的意義，具有一定的工程應(yīng)用價值。