考慮螺栓連接剛度不確定性的帶法蘭-圓柱殼結構頻響函數(shù)分析

李坤 曾勁 于明月 馬輝 柴清東

摘要：提出了一種利用Chebyshev多項式代理模型來分析螺栓連接帶法蘭-圓柱殼結構頻響函數(shù)不確定性的區(qū)間分析法。首先，利用8節(jié)點退化殼單元，通過有限元方法建立了帶法蘭-圓柱殼結構的動力學模型，從而求解系統(tǒng)的頻響函數(shù)，并與實驗測試的頻響函數(shù)進行對比，驗證了所建模型的有效性。然后，基于區(qū)間分析法建立了含區(qū)間參數(shù)的頻響函數(shù)Chebyshev多項式代理模型。最后，考慮法蘭處螺栓連接剛度不確定性，得到了單方向和多方向的連接剛度存在不確定性時的頻響函數(shù)區(qū)間范圍，并通過Monte-Carlo抽樣法進行了驗證。研究結果表明：Cheby-shev多項式代理模型具有較高的求解精度和計算效率，軸向連接剛度不確定性對系統(tǒng)的頻響函數(shù)影響最大;螺栓連接剛度不確定性主要導致頻響函數(shù)在系統(tǒng)第1階和第3階固有頻率處形成較寬的共振帶。

關鍵詞：圓柱殼;連接剛度;不確定性;區(qū)間分析法;頻響函數(shù)

中圖分類號：O326;THll3.1文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0517-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.010

引言

圓柱殼由于具有結構強度高、剛度大和質(zhì)量輕等優(yōu)點，因而在航空航天、海洋工程、管道、大型水壩和冷卻塔等領域得到了廣泛應用。在實際工程中，圓柱殼一般通過螺栓進行連接，但螺栓連接結構存在多種不確定性源，導致其動力學特性變得更加復雜，因此，對螺栓連接不確定性研究具有重要意義。其中，螺栓的預緊力、接觸面的制造誤差和螺栓松動等都是不確定性源，最終導致其連接剛度具有不確定性。

目前，對于圓柱殼的動力學確定性研究較多，在建模方法上多采用有限元法、解析法與傳遞矩陣法。此外，也有學者對采用螺栓連接的圓柱殼結構進行了相關動力學特性研究。Yao等基于有限元法，采用薄層單元進行螺栓連接結構參數(shù)化建模，從而降低了多螺栓連接的航空發(fā)動機機匣有限元模型的復雜度。Marc-Antoine等提出了一種新的塊狀模型，用于航空發(fā)動機機匣中螺栓法蘭非線性動力學分析，所提出的模型較基于接觸單元建立的模型，其計算效率更高。Tang等采用半解析法，建立了螺栓連接圓柱殼結構非線性動力學模型，并分析了邊界連接參數(shù)對其動力學特性的影響。

然而，在實際工作中，隨著運行環(huán)境的變化，圓柱殼動力學模型中很多參數(shù)具有不確定性，使得其動力學特性也存在相應的不確定性。Silva等基于概率法，分析了物理和幾何參數(shù)不確定性對簡支圓柱殼非線性振動和穩(wěn)定性的影響。Hakula等利用隨機方法求解不確定性參數(shù)下復雜殼體的頻響函數(shù)，并用Monte Carlo仿真對其進行了驗證。需要說明的是，當采用概率法進行不確定性分析時，不確定性參數(shù)的精確概率分布是很難獲取的。因此，一種非概率方法-區(qū)間分析法被很多學者提出，并將其用于對轉子、車輛、齒輪等的動力學不確定性分析。區(qū)間分析法對其具體的概率分布情況不做任何假設，只需知道不確定性參數(shù)上下界，即參數(shù)具有“不確定但有界”特點。

基于文獻[2-19]可知，對圓柱殼的確定性動力學研究較多，只有少量文獻[11-19]基于概率法對其進行了不確定性研究，較少有文獻采用區(qū)間分析法對圓柱殼的振動特性進行不確定性研究。本文采用8節(jié)點退化殼單元，通過有限元方法建立了螺栓連接帶法蘭一圓柱殼的動力學模型，利用彈簧單元離散化建模模擬螺栓連接，并通過模態(tài)試驗來驗證所建模型的有效性。然后，考慮螺栓連接剛度的不確定性，基于Chcbyshev多項式代理模型和區(qū)間分析法，分別求解了柱坐標系下5個方向的連接剛度為不確定性參數(shù)時的頻響函數(shù)區(qū)間范圍，在確定性固有頻率下，采用M0ntC-Carlo抽樣法求解其頻響函數(shù)區(qū)間范圍，并對比了兩種方法的求解精度和效率。最后，求解了多參數(shù)不確定性的系統(tǒng)頻響函數(shù)區(qū)間范圍。

1 模型建立與實驗驗證

1.1 有限元模型

圖1為8節(jié)點退化殼單元，殼體內(nèi)任一點的整體坐標可通過各節(jié)點的整體坐標（x_i，y_i，Z_i）和自然坐標（ξ，η，ξ）的插值形式表示為

1.2 動力學建模與頻響函數(shù)分析

如圖2所示為螺栓連接法蘭-圓柱殼邊界條件模擬示意圖。其中圖2（b）為用殼單元模擬法蘭-圓柱殼結構時，將結構離散為有限個單元體示意圖。此外，本文通過在法蘭上的每個節(jié)點施加空間彈簧單元來模擬螺栓連接。法蘭殼體上所施加的空間彈簧在柱坐標系下有3個平動剛度和2個轉動剛度，分別為徑向u'軸、切向v'軸和軸向w'軸的平動剛度，以及繞u軸和v'軸的轉動剛度。由于本文的殼體理論在柱坐標系下是5個自由度，而空間彈簧單元對應的每個節(jié)點是6個自由度，所以另外一個轉動方向在彈簧單元剛度矩陣中對應的行和列用0來填充。

振型矩陣的每一列是一個振型向量，且作歸一化處理，則模態(tài)質(zhì)量矩陣為單位矩陣，即

1.3 實驗驗證

為驗證所建模型的有效性，本文對頻響函數(shù)進行了試驗驗證，采用錘擊法進行模態(tài)測試，實驗主要使用東華振動測試系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)的采集和分析。圖3為模態(tài)測試的試驗件和測試系統(tǒng)，法蘭與底座通過12個螺栓連接，并對每個螺栓施加同等大小的預緊力。

帶法蘭-圓柱殼結構的示意圖如圖4所示，這里忽略了法蘭上螺栓孔的影響，圓柱殼的中面半徑為R=（r₁+r₂）/2，結構的材料參數(shù)為：彈性模量E=200GPa，泊松比u=0.26，密度P=7850kg/m³。

實驗中使用單向加速度傳感器采集信號，采用單點輸入單點輸出對其進行模態(tài)測試，從而得到帶法蘭-圓柱殼結構的頻響函數(shù)。此外，本文也采用ANSYS中的shell281單元驗證了所建模型的有效性（如表1所示），ANSYS軟件中也是在單元的柱坐標系下施加Matrix27單元模擬邊界條件。需要說明的是，柱坐標系下（如圖2（c）所示）每個彈簧各方向剛度為k_u'=9.5×10⁷N/m，k_v'=7.36×10⁶N/m，k_u'=9.8×10⁶N/m，k_v'=1.8×10⁴N·m/rad，k_θv'=1.1×10⁴N·m/rad。表1為前7階固有頻率對比，圖5為本文與實驗測試的頻響函數(shù)對比，實驗中加速度傳感器的坐標位置為（R，0，L），激振點的位置也為（R，0，L）。

由表1可知，本文與實驗的固有頻率最大誤差為第3階，誤差僅為1.4%，與ANSYS的最大誤差為0.51%，從而驗證了本文彈簧單元離散化建模模擬螺栓連接的有效性。

由圖5可知，本文仿真與實驗測試所得頻響函數(shù)趨勢吻合較好，僅在峰值上存在一定誤差，這主要是因為本文使用的是比例阻尼，較難真實反映系統(tǒng)各階模態(tài)阻尼，從而導致頻響函數(shù)峰值存在誤差。

2 基于Chebyshev多項式的不確定性參數(shù)區(qū)間分析

2.1 多維Chebyshev多項式

將式（23）的多重積分轉化為數(shù)值積分，采用Gauss-Chebyshev數(shù)值積分，將復雜的多重積分轉化為數(shù)值積分，而數(shù)值積分適合MATLAB數(shù)值計算軟件進行運算，在保證求解精度的條件下，求解速度也得到明顯提高，可得：

2.2 頻響函數(shù)區(qū)間分析

考慮參數(shù)向量a具有不確定性，可用區(qū)間來表示不確定性參數(shù)的波動范圍，對其具體的概率分布情況不做任何的假設，只需給定不確定性參數(shù)上下界，即參數(shù)具有“不確定但有界”特點。利用區(qū)間表示系統(tǒng)不確定性向量，g維不確定性參數(shù)可表示為

因此，可以通過式（25）來取得對應的配置點數(shù)，然后通過Chebyshev多項式求得頻響函數(shù)代理模型?？紤]到Chebyshev多項式逼近函數(shù)是在標準區(qū)間[-1，1]進行分析的，而旋轉圓柱殼中的不確定性參數(shù)是任意區(qū)間的，所以可通過區(qū)間變換把不確定性參數(shù)區(qū)間[a_m，a_m]轉變?yōu)閰^(qū)間[-1，1]，為

直接求解頻響函數(shù)的區(qū)間范圍比較困難，而利用Chebyshev多項式代理模型只需要少量的樣本，從而把求解式（29）和（30）轉化為求解式（22）的極值。

2.3 模型分析

螺栓連接帶法蘭-圓柱殼結構的連接剛度存在不確定性時，將引起頻響函數(shù)的不確定性，將柱坐標系下某一方向的連接剛度k₁用區(qū)間數(shù)學表示為式中βk_j為不確定性連接剛度k_j的波動系數(shù)。

Chebyshev多項式采用14階展開，高斯積分點數(shù)為15，連接剛度的波動系數(shù)為10%，分析頻響函數(shù)的區(qū)間范圍。

分別求解柱坐標系下5個方向剛度單參數(shù)存在不確定性時的頻響函數(shù)區(qū)間范圍（圖6-10），對比分析各方向連接剛度不確定性對頻響函數(shù)區(qū)間范圍的影響。

由圖6-10可知，當不確定性參數(shù)的波動系數(shù)為10%時，w方向的軸向連接剛度的不確定性對系統(tǒng)的頻響函數(shù)影響最大（如圖8所示），并且第3階固有頻率附近的頻響函數(shù)波動較大，由原來的單個共振峰變成了一個共振帶，從而發(fā)生移頻現(xiàn)象，固有頻率大約在1291-1349Hz之間。其次是v方向的轉動剛度的不確定性對頻響函數(shù)也有一定的影響（如圖10所示），第3階固有頻率大約在1316-1327Hz之間，另外3個方向的連接剛度的不確定性對頻響函數(shù)基本不影響（如圖6，7和9所示）。值得說明的是，頻響函數(shù)的區(qū)間不是關于確定性的頻響函數(shù)對稱，在共振帶處的最大峰值與確定性的共振峰值相比基本不變，而最小峰值卻變得很小;在反共振帶處的最小峰值相對于確定性的反共振峰變化不大，最大峰值卻變大許多。

同時采用Monte-Carlo抽樣法求解w方向的軸向剛度為不確定性參數(shù)時在確定性固有頻率處的頻響函數(shù)區(qū)間范圍，Monte-Carlo抽樣法的樣本數(shù)為500，最后得到頻響函數(shù)的區(qū)間范圍，然后比較本文方法與Monte-Carlo抽樣法所得到的頻響函數(shù)區(qū)間范圍以及比較兩種方法的耗時。表2為系統(tǒng)確定性固有頻率處對應的頻響函數(shù)上下界，可知Chebyshev多項式代理模型與抽樣法所得的上下界結果對比較好，誤差非常小。在同一臺計算機上，Monte-Carlo抽樣法所耗時間為2286.2s，Chebyshev多項式所耗時間為85.2s，大約是抽樣法計算時間的3.7%，從而說明了本文方法具有較高的精度和求解效率。

由于w方向的軸向連接剛度的不確定性和v方向的轉動剛度的不確定性對系統(tǒng)的頻響函數(shù)影響較大，而另外3個方向的連接剛度的不確定性影響較小，所以這里同時考慮w方向的軸向連接剛度和v方向的轉動剛度為不確定性參數(shù)，波動系數(shù)均為10%，求解系統(tǒng)的頻響函數(shù)區(qū)間范圍，分析多參數(shù)不確定性對頻響函數(shù)的影響，同時采用Chebyshev多項式代理模型求解固有頻率的區(qū)間范圍。由圖11可知，螺栓連接剛度不確定性主要導致系統(tǒng)第1階和第3階固有頻率附近的頻響函數(shù)波動較大，可知多參數(shù)不確定性會擴大頻響函數(shù)的區(qū)間范圍。由表3可知，隨著周向波數(shù)n的增大，固有頻率區(qū)間范圍波動越來越小。

3 結論

本文基于有限元法建立了螺栓連接帶法蘭-圓柱殼結構的動力學模型，并通過實驗和ANSYS仿真驗證了所建模型的有效性，其次，基于Chebyshev多項式代理模型分析了連接剛度不確定性對系統(tǒng)頻響函數(shù)的影響，并通過與Monte-Carlo抽樣法進行驗證，得出以下結論：

（1）在保證求解精度的條件下，Chebyshev多項式代理模型求解系統(tǒng)頻響函數(shù)區(qū)間范圍的效率較高，軸向連接剛度的不確定性對系統(tǒng)的頻響函數(shù)影響較大，特別是在第3階固有頻率處形成了較寬的共振帶，發(fā)生了移頻現(xiàn)象，隨著周向波數(shù)的增大，固有頻率的區(qū)間范圍波動越來越小。

（2）連接剛度的不確定性主要導致系統(tǒng)第1階和第3階固有頻率處形成較大的共振帶，從而說明螺栓連接剛度對帶法蘭-圓柱殼結構的動力學特性影響較大，在設計和制造中應充分考慮連接剛度的不確定性。