一類帶有兩個擾動微分方程的漸近概周期解

姚慧麗 孫源源 王晶囡 張娜

摘要：在眾多研究中，很多現(xiàn)象都是用微分方程作為數(shù)學(xué)模型的。但在建立方程的過程中，不可避免地會出現(xiàn)一些干擾力，這類方程稱為帶擾動的微分方程。利用壓縮映像原理以及指數(shù)二分的相關(guān)結(jié)論，對一類帶有兩個較小的正擾動的微分方程的漸近概周期解給于討論，給出了這類方程存在唯一的漸近概周期解的條件。

關(guān)鍵詞：漸近概周期解;擾動;微分方程;壓縮映像原理;指數(shù)二分

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.019

中圖分類號：0175文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-2683（2020）02-0138-08

0 引言

自1925-1992年，幾位數(shù)學(xué)研究者先后提出了概周期型函數(shù)理論以來，已被廣泛應(yīng)用于各種微分方程中。其中，帶有擾動的微分方程在很多領(lǐng)域都會涉及到，如力學(xué)、生物學(xué)、自動控制等。而概周期型函數(shù)是比周期函數(shù)更廣的函數(shù)，所以研究擾動微分方程的概周期型解具有更廣的意義。已有不少文獻(xiàn)對帶有一個擾動的微分方程的概周期型解的存在和唯一性進(jìn)行了探討。相比之下，帶有兩個擾動的微分方程的這類解被討論的卻較少。在文中，作者對帶兩個擾動的微分方程

進(jìn)行了研究，給出了這類方程存在概周期解的條件，其中A（t，ε）是定義在Rx[0，ε₀]上的n×n階函數(shù)矩陣f（t，x，u），g（t，x，u）是定義在R×S×[0，u₀]上的函數(shù)，u₀，ε₀是兩個小參數(shù)，S是Rⁿ的任意緊子集。本文將對方程（1）的漸近概周期解加以研究，給出它有唯一此類解的條件，從而對已有結(jié)果進(jìn)行了推廣。

1 預(yù)備知識

本文中C（R，Rⁿ）表示定義在R上而取值于Rⁿ的有界連續(xù)函數(shù)全體。C（R×Rⁿ，Rⁿ）表示定義在及×Rⁿ上而取值于Rⁿ的全體有界連續(xù)函數(shù)。類似的空間還有C（R×Rⁿ×[a，b]，Rⁿ）以及（C（R×Rⁿ×[a，b]×[c，d]，Rⁿ））。另外，若對以上集合中的函數(shù)賦予上確界范數(shù)，則它們都為Banach空間。

定義1函數(shù)f∈C（R×Rⁿ，Rⁿ）稱作關(guān)于t∈R且一致對x∈s（S是Rⁿ的任意緊子集）是概周期的，是指若對任意的ε>0，f的ε-平移集

2 主要結(jié)果

本部分主要對方程（1）進(jìn)行討論，其中A（t，ε）是定義在R×[0，ε₀]上的n×n階漸近概周期函數(shù)矩陣f（t，x，u），g（t，x，u）是關(guān)于t∈R的且對（x，u）E S×[0，u₀]的n維一致漸近概周期函數(shù)，u₀，ε₀是兩個小參數(shù)，S是Rⁿ的任意緊子集。

構(gòu)造以下方程