數(shù)學(xué)文化融入高考試題（一）：數(shù)學(xué)美

李雙雙

新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革，在課程內(nèi)容安排上，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”；在高考試題命題上，提出了“融入數(shù)學(xué)文化”的命題要求．因此，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)文化的考查，將是新課程高考評價改革的一個必然趨勢．在高考試題中呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”相關(guān)的試題，是將數(shù)學(xué)文化融入高考試題的一種重要的形式．同學(xué)們，一起來感受吧．

典型試題分析

例1 （2019年高考全國卷第4題）古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（ ）

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

圖1

小知識

【解法1】 運(yùn)用生物學(xué)知識，根據(jù)腿長進(jìn)行估算.

首先估計(jì)肚臍到骼骨的距離，大約1 cm；足的高度，就是躁骨最下端到足底的距離，大約3 cm.這樣，可以估算出肚臍到足底的長度大約為109 cm，再計(jì)算出頭頂至肚臍的長度約為109×0.618≈67.4（cm），所以，估算出該人身高為176.4 cm，選擇答案B.

小知識

什么是“腿長”？腿長是指髂骨（位于腰部下面腹部兩側(cè)的骨）到足底的高度，再減去足的高度．

【解法2】 利用不等式模型，求出身高的取值范圍.

①已知頭頂至脖子下端的長度為26 cm，由于頭頂至咽喉的長度小于頭頂至脖子下端的長度，如果把26 cm 當(dāng)作頭頂至咽喉的長度來計(jì)算，所得到的身高也就超過了實(shí)際身高.先計(jì)算出咽喉至肚臍的長度為，這樣，頭頂至肚臍的長度約為68.1 cm，再計(jì)算出肚臍到足底的長度為，從而得到身高為68.1＋110.2=178.3(cm).因此，實(shí)際身高小于178.3 cm.

②再用腿長估算.由于肚臍至足底的長度大于腿長，如果我們把105 cm 當(dāng)作肚臍至足底的長度來計(jì)算，所得到的身高也就小于實(shí)際身高.先計(jì)算出頭頂至肚臍的長度為105×0.618≈64.9（cm），從而得到身高為105＋64.9=169.9(cm).因此，實(shí)際身高大于169.9cm.

由①②可知，身高在區(qū)間(169.9，178.3)內(nèi)，滿足條件的只有選項(xiàng)B.

解題回顧

對于解法1，很多同學(xué)并不知道“腿長”的概念，無法利用腿長進(jìn)行估算.那么，在本例中，我們能不能利用“頭頂至脖子下端的長度為26 cm”去估算“頭頂至咽喉的長度”呢？生物學(xué)知識告訴我們，咽喉是人的第二性征，男女有別!本題只是告訴我們“若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm”，要求其身高，我們并不知道這個“某人”是男還是女.如果利用“頭頂至脖子下端的長度為26 cm”去估算“頭頂至咽喉的長度”，并通過計(jì)算估算出身高，就會導(dǎo)致所得結(jié)果的不確定性.

我就曾經(jīng)以班上一名身高175 cm 左右的、帥氣的男生為例進(jìn)行了估算，他的咽喉到脖子下端的長度為5cm，這樣，就得到他頭頂至咽喉的長度為21 cm，計(jì)算出咽喉至肚臍的長度為，這樣，頭頂至肚臍的長度約為55 cm，再計(jì)算出肚臍到足底的長度為，從而得到該男生的估算身高僅僅為55＋89=144(cm)，與實(shí)際身高175 cm相差很大．

這也是導(dǎo)致本題失分嚴(yán)重（得分率僅為20%）的一個重要原因.此外，由于很多考生并不知道腿長的概念，無法利用腿長來進(jìn)行估算.可見，這道高考題，也體現(xiàn)了新高考強(qiáng)化學(xué)科綜合、考查全面學(xué)科素養(yǎng)的命題思路.

對于解法2，就是要借助于“不等式”這一數(shù)學(xué)模型來求解.在本題中，由于命題者故意給出與題干中兩個所給黃金分割比不相吻合的條件，同學(xué)們需要尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來求解問題.在分析問題時，應(yīng)當(dāng)由所給的數(shù)據(jù)與兩個黃金分割比不對應(yīng)，由“等量關(guān)系”聯(lián)想到“不等關(guān)系”，最終通過“不等式”來解決問題.

例2 （2019年高考北京理科卷第8題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一（如圖2）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過 2;

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）

A.① B.② C.①② D.①②③

圖2

本題以“心形線”這一優(yōu)美圖形為背景，設(shè)計(jì)了一道非教材內(nèi)容所學(xué)習(xí)的曲線試題，考查同學(xué)們靈活地運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決問題的能力．

【解】①由x2+y2=1+|x|y，得y2-|x|y+x2-1=0，這是一個關(guān)于y的一元二次方程，要使該方程有解，則根的判別式Δ=(|x|)2-4(x2-1)≥0，解得，所以x可取的整數(shù)有0，-1，1.同理，由x2＋y2=1+|x|y，得|x|2-y|x|+y2-1=0，這是一個關(guān)于|x|的一元二次方程，要使該方程有解，則根的判別式Δ=y2-4(y2-1)≥0，解得，所以y可取的整數(shù)有0，-1，1.把上述所得的x,y的值代入曲線C的方程進(jìn)行驗(yàn)證，得到曲線C：x2+y2=1+|x|y恰好經(jīng)過(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)，共6 個整點(diǎn)，結(jié)論①正確.

②因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，y，都有，所以x2+y2=1+，解得x2+y2≤2，即，所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過 2.結(jié)論②正確.

③如圖3所示，圖中A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(0，-1)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以四邊形ABCD的面積，所以“心形”區(qū)域的面積大于2SABCD，即“心形”區(qū)域的面積大于3，結(jié)論③錯誤.

綜上，選C.

圖3

解題回顧

對于結(jié)論①，首先要確定變量x，y的取值范圍，可以利用一元二次方程有解來確定，還可以將曲線C的方程進(jìn)行變式來解決，如由x2+y2=1+|x|y，得，即，因?yàn)?，所以，解得，所以x可取的整數(shù)有0，-1，1.再把x分別取0，-1，1，代入曲線C的方程得到曲線C：x2+y2=1+|x|y恰好經(jīng)過(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)，共6個整點(diǎn)，結(jié)論①正確.

對于結(jié)論②，由于要判斷“曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過”這一命題是否正確，因此，也就需要判斷：對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，不等式是否成立？也就要由曲線C的方程去確定x2＋y2的取值范圍，利用基本不等式2xy≤x2+y2即可.

對于結(jié)論③，相對簡單一些，可以借助于圖形，曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積與3的大小關(guān)系.

解題策略總結(jié)

1.認(rèn)真審題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象

第一步，正確審題.審題時，從試題所給的文字語言中，抽象出數(shù)學(xué)問題，確定解題方向.例1中，抽象出最美人體所滿足的兩個黃金分割比，即“頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比”與“頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比”，再分析所給的條件，明確題目給出了“腿長”與“頭頂至脖子下端的長度”，并非兩個黃金分割比所對應(yīng)的長度，并將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.

2.邏輯推理，分析解題策略

第二步，確定解題策略.對于例1，既可以利用腿長進(jìn)行估算（注意：不能利用頭頂至脖子下端的長度進(jìn)行估算，因?yàn)檫@是第二性征），也可以從數(shù)學(xué)的角度來討論數(shù)量的大小關(guān)系，分析解決問題可能途徑.對于例2，根據(jù)所要判斷的結(jié)論，去分析解題策略，如對于結(jié)論②，由題目要判斷“曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過 2”是否正確，通過邏輯推理，轉(zhuǎn)化成求x2＋y2的取值范圍.

3.借助模型，正確求解問題

第三步，利用數(shù)學(xué)模型解決問題.如例1，利用不等式模型來得到該人身高的范圍，從而得到答案.又如例2 中的結(jié)論①，利用一元二次方程根的判別式來確定x，y的取值范圍，也可以將曲線C的方程進(jìn)行變形，得到x的范圍；對于結(jié)論②，利用“基本不等式”這一重要的數(shù)學(xué)模型，得到相應(yīng)結(jié)論.

牛刀小試（原創(chuàng)題）

（多選題）圖4是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖．它是由4 個相同的直角三角形（△AED，△BFA，△CGB和△DHC）與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD（如圖5）．設(shè)DE=a，AE=b，AD=c，且0 ＜b≤a＜c．關(guān)于這幅弦圖，下列說法正確的有（ ）

A.利用這幅弦圖可以證明勾股定理a2+b2=c2

B.利用這幅弦圖可以證明基本不等式a2+b2≥2ab

C.若正方形ABCD與正方形EFGH的面積分別是1和，則

D.若正方形ABCD與正方形EFGH的面積分別是1和，則

圖4

圖5

答案：ABD.