諧波齒輪傳動中柔性軸承的力學(xué)分析

劉 歡 邢靜忠

(天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津300387)

諧波減速器因體積小、質(zhì)量輕、回差小、定位精度高、傳動效率高，在工業(yè)機器人、高檔轎車、航空航天、光學(xué)儀器、通用機械等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。而柔性軸承作為諧波減速器的關(guān)鍵零部件，對諧波減速器的運轉(zhuǎn)平穩(wěn)性、重復(fù)定位精度、回轉(zhuǎn)精度以及工作的可靠性等關(guān)鍵性能指標(biāo)具有重要影響。

諧波減速器主要由柔輪、柔性軸承、波發(fā)生器和剛輪組成，如圖1所示，其傳動原理為：當(dāng)橢圓波發(fā)生器裝入軸承后，由于軸承內(nèi)圈和波發(fā)生器為過盈配合。波發(fā)生器使軸承內(nèi)壁強制變形成橢圓，使軸承內(nèi)壁和波發(fā)生器表面貼合。軸承內(nèi)圈將變形傳遞給滾珠，波發(fā)生器強制內(nèi)圈變形后，將滾珠頂?shù)街付ㄎ恢?，滾珠分布曲線為內(nèi)圈橢圓廓線的等距線，滾珠再將變形傳遞給外圈，強制變形使外滾道產(chǎn)生徑向位移和軸向位移。外圈將變形傳遞到柔輪上，實現(xiàn)齒圈嚙合。外圈因承受較大的波動變形而易發(fā)生破壞失效。

圖1 諧波減速器示意圖Figure 1 Harmonic reducer

1 采用的方法

國內(nèi)外學(xué)者均未考慮杯型柔輪錐度變形后，軸承外圈的錐度變形和滾珠滾道的受力狀態(tài)。我們采用有限元分析的方法，先建立裝配狀態(tài)下柔性軸承滾道和滾珠模型，研究滾珠達到預(yù)定位置后，外滾道的徑向位移及周向位移以及滾道和滾珠的接觸應(yīng)力。然后考慮柔性軸承裝入錐度變形柔輪后的接觸狀態(tài)和柔輪變形狀況，及軸承外圈的受力狀況。對柔性軸承裝配狀態(tài)下的變形和應(yīng)力進行分析，有助于對柔性軸承的設(shè)計提供指導(dǎo)。

2 模型概述

柔輪和柔性軸承是其關(guān)鍵部件。因此以柔性軸承和柔輪的參數(shù)為主要參數(shù)。通常有25-120，32-80，32-120等型號。以32-80型減速器為例進行研究，其速比為80，齒形模數(shù)0.5 mm，齒圈寬度11 mm，齒圈厚度為2 mm。

在有限元中建立滾珠和外滾道實體模型。其結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。材料彈性模量內(nèi)外滾道為2.07GPa，滾珠處為2.17 GPa，泊松比均為0.3。滾道采用SOLID86單元，滾珠采用SOLID45單元。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters

柔性軸承和普通軸承不同之處在于內(nèi)外圈軸承壁很薄，易于變形，在裝入波發(fā)生器的情況下產(chǎn)生強制變形。橢圓波發(fā)生器是最常見，應(yīng)用最廣泛的一種波發(fā)生器，以橢圓波發(fā)生器為例。

由于軸承外圈和內(nèi)圈之間有多個不斷滾動的滾珠。首先要解決的問題是內(nèi)圈變形后，哪些滾珠對外滾道有力的作用，接觸力為多少？

當(dāng)變形后的軸承裝入柔輪時，柔輪產(chǎn)生錐度變形，分析錐度變形時，必須要解決柔輪對軸承外圈的相互作用。采用有限元分析的方法來分析外滾道和滾珠之間的受力和變形能有效避免Hertz理論中摩擦、預(yù)應(yīng)力和預(yù)變形的影響。采用ANSYS對裝配狀態(tài)下的柔性軸承進行分析，而接觸本身為高度非線性行為，接觸區(qū)域的網(wǎng)格粗細和接觸剛度的設(shè)置對結(jié)果影響很大。六面體網(wǎng)格在相同網(wǎng)格尺寸的情況下可以得到更為精確的解，因此采用六面體網(wǎng)格。為進一步提高結(jié)果的準(zhǔn)確性，還需要合理的網(wǎng)格劃分和邊界條件。

3 橢圓凸輪作用下的軸承變形

3.1 軸承模型的實體網(wǎng)格劃分

應(yīng)用有限元求解接觸問題時，網(wǎng)格尺寸和接觸參數(shù)直接影響分析結(jié)果的精度。對滾珠及內(nèi)外圈進行網(wǎng)格劃分，選擇ANSYS的SOLID186單元；運用掃掠和映射的方法對模型進行六面體網(wǎng)格劃分；整體網(wǎng)格尺寸為0.4 mm，接觸區(qū)域進行網(wǎng)格加密尺寸為0.1 mm。取180°范圍內(nèi)滾軸與外圈的模型建立接觸，外滾道模型接觸區(qū)域如圖2所示。

(a)滾珠和滾道區(qū)域網(wǎng)格(b)軸承實體模型

3.2 滾珠的徑向位移

取外滾道圓心s3=32.228 mm，滾道半徑r3=4.088 mm，滾珠半徑rz=3.75 mm。假設(shè)滾珠在裝配狀態(tài)與外滾道貼合，半徑為r=s3+r3-rz，最大徑向位移w0=0.5 mm。a=33.066 mm為滾珠分布的長軸位置，b=32.079 mm為滾珠分布的短軸位置。

依據(jù)滾珠分布的任意角度φ位置橢圓極徑ρ建立方程，可以求得不同φ角處的滾珠徑向位移。柔性軸承內(nèi)圈與橢圓凸輪是過盈配合。內(nèi)圈變形成橢圓，內(nèi)圈將變形傳遞給滾珠。滾珠受到保持架的約束呈等距分布。故滾珠分布為橢圓廓線的等距線，取6個等角度分布的滾珠。從距離長軸φ=7.5°處開始，兩個滾珠間相隔15°，分別代入滾珠的φ角，根據(jù)橢圓等距線方程可求得徑向位移。

3.3 滾珠作用下的外滾道位移

取軸承外圈為研究對象，求解得到變形結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：滾珠橢圓等距線分布的理論是正確的。約束滾珠的周向位移，提取外圈徑向位移可以看到長軸處存在最大徑向位移為0.4896 mm。與理論計算中輸入的最大徑向位移0.4821 mm基本一致。

圖3 滾珠作用下的徑向位移Figure 3 Radial displacement operated by balls

由于滾珠不斷周向滾動分布，因此采用滾珠關(guān)于長軸對稱分布。滾珠正好在長軸兩側(cè)對稱位置，故在滾珠上施加位移后，提取長軸的徑向位移與理論值存在較小的計算誤差。將計算所得位移分別施加在滾珠上，得到變形結(jié)果見圖3。提取各個滾珠處的徑向位移與理論結(jié)果吻合性較好。

4 柔輪裝配狀態(tài)下的軸承錐度變形

4.1 實體模型的建立

柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)：筒體長度50 mm，柔輪內(nèi)圈半徑37.325 mm，杯底孔半徑10 mm，齒圈厚度2 mm，殼體厚度1 mm，齒圈過渡圓弧50 mm，齒圈寬度11 mm，杯底倒圓半徑2 mm，最大徑向位移0.407 mm。根據(jù)上述參數(shù)建立柔輪實體模型。

先建立柔輪的外圈輪廓，在杯底和筒體連接處做圓弧處理，在齒圈和筒體連接處做圓弧處理，沿軸向旋轉(zhuǎn)90°得到柔輪模型；建立半徑和柔輪內(nèi)壁相等的軸承外滾道模型進行裝配。

4.2 多級接觸的建立

一級接觸為外滾道和柔輪之間的接觸，二級接觸為滾珠和外滾道之間的接觸。根據(jù)上述參數(shù)建立柔輪實體模型，對柔輪外滾道和滾珠分別采用CONTA185，CONTA173，CONTA170。對柔輪杯底施加全約束，對軸承外滾道徑向施加對稱約束。依次對從長軸處到短軸處的滾珠將算得的徑向位移0.4821 mm，0.3471 mm，0.1171 mm，-0.1426 mm，-0.3626 mm，-0.4875 mm施加在各滾珠上，這些徑向位移施加于垂直法線方向。

4.3 錐度變形分析

在軸承滾道外表面建立前、中、后三條路徑，得到軸承外圈前、中、后三個截面的徑向位移見圖4。從圖4可以看出在長軸處前截面徑向位移最大，后截面徑向位移最小。在短軸處前截面偏差為6%，后截面為14%。在長軸處均為12%左右。主要是由于軸承外圈裝入柔輪后存在徑向變形，長軸處柔輪內(nèi)壁擠壓軸承外圈后截面，前截面翹起。而在短軸處柔輪擠壓軸承前端面，使其縮小量最大，后端面徑向位移絕對值最小。

圖4 外滾道變形后的徑向位移Figure 4 Radial displacement of outer raceway deformation

圖5為滾道和柔輪接觸區(qū)域圖。從圖5可以看出，滾道和柔輪的接觸區(qū)域在長軸處主要為后端面接觸，在短軸處主要為前端面接觸，從長軸到短軸，接觸區(qū)域逐漸從后端面向前端面移動。

圖5 接觸區(qū)域圖Figure 5 Contact zone

從圖6可以看出，對滾道有力的作用的滾珠有三個。第1個滾珠與長軸之間的偏轉(zhuǎn)角度為7.5°，第2顆滾珠與長軸之間的偏轉(zhuǎn)角度為22.5°?？梢钥吹剑涸娇拷L軸處滾珠受到的接觸力越大，最大接觸壓力648.737 MPa發(fā)生在最靠近長軸的滾珠與滾道接觸位置。

(a)第一顆滾珠(b)第二顆滾珠

5 結(jié)論

(1)橢圓波發(fā)生器裝配狀態(tài)下，軸承外圈只受到三個滾珠的作用力，且越靠近長軸位置處其接觸力越大。對關(guān)于長軸對稱的滾珠施加徑向位移約束，其長軸處徑向位移與理論值基本一致。

(2)當(dāng)變形后的柔性軸承裝入柔輪時，軸承外圈存在錐度變形。長軸處柔輪內(nèi)壁擠壓軸承外圈后截面，前截面翹起，而在短軸處柔輪擠壓軸承前端面使其縮小量最大，后端面徑向位移絕對值最小。故柔輪在長軸處對柔性軸承靠近杯底的內(nèi)側(cè)擠壓，短軸處則在外側(cè)擠壓。

(3)當(dāng)橢圓波發(fā)生器裝配狀態(tài)下的軸承裝入柔輪時，滾珠和滾道之間的接觸力從長軸到短軸處依次遞減，最大接觸力發(fā)生在靠近長軸位置處的滾珠。