基于受控拉格朗日函數的永磁同步電動機控制器設計

李茂青，劉建強，高鋒陽，張廷榮

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅蘭州 730070)

1 引言

永磁同步電動機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有結構簡單、高效率、高氣隙磁通密度和高功率因數等優(yōu)點而被廣泛地應用在國防、工業(yè)以及社會生活的各個領域，如航空裝備、火炮、數控機床以及醫(yī)療等[1].因此，研究與改善交流PMSM伺服系統(tǒng)的控制策略具有重要的理論意義和實用價值.

PMSM為高階、強耦合及非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的線性控制策略無法解決輸入與輸出的耦合以及輸出的獨立性控制等問題，無法滿足高性能調速系統(tǒng)的控制要求.因此，國內外學者對非線性控制理論進行了廣泛深入的研究，取得了一定的成果.應用到PMSM系統(tǒng)中的非線性控制理論主要有:滑模變結構控制[2-3]、反饋線性化[4]、反步法[5]、自抗擾技術[6]、及無源控制理論[7-8]等，這些非線性理論的應用極大的改進了系統(tǒng)的動靜態(tài)性能.文獻[3]提出了一種實時改進的滑?？刂破?，可實現整個伺服系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制，但滑?？刂贫啻蔚拈_關切換可能激活系統(tǒng)未建模的高頻成分，從而導致系統(tǒng)失穩(wěn)[9].文獻[4]利用反饋線性化理論對PMSM進行全局線性化與解耦，并將線性化與解耦的電機模型寫成可觀測的Brunovski標準形，從而可有效地確定出系統(tǒng)的控制結構;缺點是所有的狀態(tài)變量都必須精確測量，才可抵消非線性因素[10].文獻[5]提出了一種改進的反步控制器，該控制器可提高速度的動態(tài)響應，實現良好的速度跟蹤;缺點是無法對轉子磁鏈進行有效的位置跟蹤[10].文獻[6]針對PMSM系統(tǒng)內部參數攝動和外界干擾的問題，運用自抗擾控制來對參數攝動和外界干擾進行觀測和前饋補償，實現了系統(tǒng)的線性化，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力;缺點是參數的選取較多，與之對應的取值會影響系統(tǒng)控制性能[9].文獻[7-8]將端口受控的哈密頓理論應用到PMSM系統(tǒng)中，利用互聯(lián)和阻尼分配無源控制方法來設計系統(tǒng)控制器，提高了系統(tǒng)的動態(tài)響應，實現了全局的穩(wěn)定;不足之處是沒有實現位置控制.文獻[11-12]通過在受控哈密頓系統(tǒng)中引入積分作用的動力學反饋、陀螺力和阻尼力，實現了一般哈密頓系統(tǒng)的魯棒控制.若選擇合適的陀螺力和阻尼力注入，則系統(tǒng)的動靜態(tài)性能將會進一步提高.文獻[13]將互聯(lián)和阻尼配置的無源控制(interconnection and damping assignment--passivity based control，IDA-PBC)以最優(yōu)控制的觀點來研究如何調整IDA-PBC的參數，使其控制性能達到最佳.

本文將利用基于系統(tǒng)的電磁能和機械能來構造控制器設計技術-受控拉格朗日函數(controlled Lagrangians，CL)法[14].該方法已發(fā)展為與端口受控的耗散哈密頓系統(tǒng)數學上等價的方法[15]，兩者相比，CL法的數學形式更簡單、物理意義更明確、易理解.CL法從欠驅動力學系統(tǒng)角度來分析PMSM系統(tǒng)，使受控系統(tǒng)從形式上保持拉格朗日力學結構，得到光滑非線性反饋控制律，具有較大收斂范圍，并且有助于實現CL法魯棒控制和最優(yōu)控制.與文獻[8]相比，本文得到的光滑非線性反饋控制律可同時實現位置與速度的全局漸近鎮(zhèn)定，而文獻[8]卻沒有實現.

2 符號介紹

本文為書寫方便，將首次出現的函數和矩陣注明自變量，下文再出現時將省略.Nn表示前n個自然數;對于i∈Nn，定義集合Ni={1，…，i};用x(q)表示向量q=[q1q2q3]T的函數，yi表示函數向量Y(q):R3→R3的第i個分量，其中:i∈N3;Zjk表示函數矩陣Z(q)的第j行第k列的元素，Zjo和Zok表示其第j個行向量和第k個列向量;I表示三階單位矩陣，并定義如下符號:

對于同時具有上下標的符號，實行上標優(yōu)先原則.

3 PMSM數學模型

設PMSM系統(tǒng)的廣義坐標為q=[q1q2q3]T，其中:q1，q2分別為d軸和q軸的電感電荷，q3為電動機機械角位移;廣義速度坐標為其中:分別為d軸和q軸的電感電流，表示機械角速度;u=[u1u20]T為d軸和q軸的原始控制輸入，并且u=O(q)v，其中輸入耦合矩陣O=[Io1Io2]，v∈R2，

假設PMSM系統(tǒng)產生的磁動勢沿氣隙圓周按正弦規(guī)律分布;磁路線性且不考慮磁路飽和;忽略系統(tǒng)的渦流、磁滯損耗、則PMSM系統(tǒng)在兩相旋轉d-q坐標系下的原始方程[10]為

式中:L1，L2分別為定子在d軸及q軸上的電感分量;J為系統(tǒng)的轉動慣量;為負載轉矩，其中:T1表示空載轉矩與電機外加負載轉矩之和，=Hq3表示電機與機械負載之間用相對較長的軸連接時產生的扭轉矩，其中H為變形系數;np為極對數;ψ0為永磁體.

式(1)可簡寫為

4 基于受控拉格朗日函數的PMSM系統(tǒng)控制器設計

4.1 構造受控能量和廣義力

根據式(2)，將線圈繞組和永磁體產生的電磁能與轉子產生的動能兩者之和作為系統(tǒng)的受控動能:將負載轉矩產生的機械能作為系統(tǒng)的受控勢能:廣義力則系統(tǒng)的受控拉格朗日函數和受控能量ē如下所示:

由式(3)-(4)可得

其中:g1，…，g9為關于q的函數，g10，g11，g12為常數.

注1由于原始系統(tǒng)中存在項，為與之匹配，在保守力矩陣G的各元素中引入常數項g10，g11和g12構成速度一次項的保守力.

即PMSM系統(tǒng)的受控能量是衰減的.

根據式(9)和文獻[14]的式(9)-(14)可得

4.2 確定匹配條件

如果受控方程式(4)與原始方程式(2)相匹配，則由式(9)確定的控制輸入是成立的，即u3=0對任意的(q，)都成立.

方程(13)-(18)因只和動能相關，故被稱為動能方程(K方程).同理，式(19)被稱為勢能方程(P方程).對式(13)-(18)分別乘以后求和，可得一個與保守力項無關的K方程:

綜上所述，將式(13)-(22)以及|K|/=0合起來即為受控方程與原始方程匹配的條件.

注2式(19)(23)為偏微分方程，與保守力項有關的方程(13)-(18)以及式(20)-(22)為線性代數方程組.因此，先求解難解的偏微分方程，后面求解代數方程.

4.3 確定匹配控制器

5 求解匹配條件

對于PMSM系統(tǒng)，第a個自由度有控制輸入作用(ua/=0);第3個自由度無控制輸入作用(u3=0)，故a∈N2.相應地，并將前面文中出現的一些符號變?yōu)?/p>

引入函數向量ΓT=-N3o/N33.由N，的定義可得K3o=-N33ΦT(q)，其中ΦT=[Φ1Φ2Φ3]=ΓTM，相應地有K3a=K33Φa/Φ3.為保證K ＞0，通常選取其中ka，ka+n為常數.

用Γ，K33以及表示的K方程和P方程以及與耗散力相關的方程如下所示:

令Γ1=0，Γ2=0，Γ3=-1，則可得式(27)即K33的一特解:

其中k3為常數.

系統(tǒng)的K矩陣為

其中a1，a2，a3為常數.

由式(29)可得

其中d1，d2為大于零的任意值.

6 確定匹配控制律及穩(wěn)定性分析

因為T(i)=其中i∈N3.故由式(31)和矩陣T(i)可得

由式(13)-(18)，(20)-(22)(26)(36)得到系統(tǒng)匹配條件中保守力分量函數的解為

式中 γ1，γ2，γ3，γ4為任意值.

注3通過觀察可知，與保守力相關的方程為含有7個獨立方程的線性方程組.方程組共有12個變量，其中7個獨立變量，5個自由變量.因此，式(38)只是其中的一個解.根據式(38)可知，匹配條件有大量的解，故與之對應的匹配控制器也有大量的解.

將式(26)(33)(35)-(38)代入式(25)可得系統(tǒng)的具體匹配控制律:

根據以上分析給出以下穩(wěn)定性結論:

命題1對于PMSM系統(tǒng)，其控制器參數按如下選取:

則由式(39)-(40)確定的光滑反饋控制律可使PMSM系統(tǒng)在(，0T)實現全局漸近穩(wěn)定，其中為受控勢能的極小值點(a1，a2，a3).

證選取受控能量ē作為Lyapunov函數V.若式(41)成立，則V 正定.根據式(7)，則有≤0.故由式(39)-(40)所給的控制律可使PMSM系統(tǒng)在期望平衡點實現全局穩(wěn)定.

假設在該集合中存在這種軌跡，則由˙V=0可知軌跡上存在以下等式:

在軌跡上應存在某點q0，進而在該點q0的某個領域δ0內也成立，其中qd/∈δ0.沿軌跡對式(42)進行微分和積分可得

其中α和β為常數.

將式(39)-(40)(42)-(43)代入式(1)，可得

由式(44)可得到，當

7 仿真結果分析

系統(tǒng)仿真參數按如下選取:d-q軸電感電荷分別為L1=4.5 mH，L2=3.2 mH;負載轉矩T1=8 Nm;變形系數H=8;轉動慣量J=0.002 kg·m2;平衡點a1=1，a2=1，a3=-1;極對數np=8;永磁體磁通ψ0=0.4 Wb;定子電阻為R=0.97 Ω;控制器的系數為

仿真結果如圖1-4所示.

圖1 d-q軸電感電荷和電流Fig.1 d-q axis inductance charge and current

圖2 轉子角位移和角速度Fig.2 Rotor angular displacement and angular velocity

圖3 原始能量和受控能量Fig.3 Original energy and controlled energy

圖4 電磁轉矩和控制輸入Fig.4 Electromagnetic torque and control input

根據文獻[16]可知，PMSM的電磁轉矩的表達式為Te=其中F表示與轉速成正比的阻尼系數.交流電機在一般的調速控制情況下并最終到達穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的加速度為零.而負載轉矩T1，角位移q3以及角速度都不為零，從而根據電磁轉矩的表達式可知其亦不為零.而在本文中，當系統(tǒng)運行到達期望的位置平衡點時，廣義速度的一次項以及與之對應的加速度都為零，故電磁轉矩為Te=T1+Hq3=T1+Hqd=0.

8 結論

本文將CL 法應用到高階、強耦合、非線性的PMSM的控制問題中.根據期望的受控能量及其時間導數來構造CL和廣義力，通過它們得到系統(tǒng)的受控方程.其中引入速度一次項的保守力，得到原始方程與其相匹配的條件.通過求解匹配條件中的偏微分方程，得到與之相匹配的具體控制律.該控制律可同時實現位置與速度的全局漸近鎮(zhèn)定;最后以正定的受控能量作為Lyapunov函數給系統(tǒng)穩(wěn)定性證明帶來極大簡便.CL法從欠驅動力學系統(tǒng)角度來分析PMSM系統(tǒng)，使受控系統(tǒng)從形式上保持拉格朗日力學結構，可得到非線性光滑反饋控制律，具有較大收斂范圍，并且有助于實現魯棒控制和最優(yōu)控制.因此，筆者下一步還可通過借鑒一般哈密頓系統(tǒng)的魯棒控制來研究魯棒CL 法.