非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題多個(gè)正解的存在性

岳俊瑞, 白慶月

(山西工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院, 山西 太原 030000)

0 引 言

分?jǐn)?shù)微積分在科學(xué)和工程學(xué)的許多不同領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用,例如流體流動(dòng)、流變學(xué)、電網(wǎng)絡(luò)、化學(xué)物理、動(dòng)力系統(tǒng)控制理論、光學(xué)和信號(hào)處理等[1]。

由于許多問題的討論都可以歸結(jié)為對(duì)非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題的研究,近年來,非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題解、正解的存在性或唯一性受到廣泛的關(guān)注[2-13]。特別是Zhang[10]研究了非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題

文獻(xiàn)[13]利用Green函數(shù)性質(zhì)、上下解方法和不動(dòng)點(diǎn)定理研究了非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題

受以上文獻(xiàn)啟發(fā),文中研究非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題

(1)

為了得到主要結(jié)果,給出一些基本概念和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理[14]。

設(shè)K是Banach空間E中的錐,如果算子σ:K→[0,+∞)連續(xù)且對(duì)任意的x,y∈K和λ∈[0,1],有

σ(λx+(1-λ)y)≥λσ(x)+(1-λ)σ(y),

則稱算子σ是K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函。給定兩個(gè)常數(shù)a,b,滿足0

Ka={x∈K:‖x‖

K(σ,a,b)={x∈K:a≤σ(x), ‖x‖≤b}。

1){x∈K(σ,a,b):σ(x)>a}≠?且對(duì)任意的x∈K(σ,a,b),有σ(Tx)>a;

2)對(duì)任意的‖x‖≤d,有‖Tx‖

1 預(yù)備引理

我們給出分?jǐn)?shù)微積分學(xué)理論的一些概念和結(jié)果,這些概念和結(jié)果可以從最近的文獻(xiàn)[1]中找到。

假設(shè)N={1,2,3,…},α>0且[α]表示α的整數(shù)部分。

n=[α]+1,t>0。

其中

(2)

引理1設(shè)n由式(2)給出，且u∈ACn[0,1]或u∈Cn[0,1],則

c2t+…+cn-1tn-1,

其中，ci∈R,i=0,1,2,…,n-1。

2 主要結(jié)果

在文中的剩余部分,假設(shè)α∈(2，3]是實(shí)數(shù)且f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的。

引理2設(shè)y∈C[0,1]是給定函數(shù),則邊值問題

(3)

有唯一解

其中

(4)

對(duì)任意的s∈[0,1],設(shè)

和

注釋1[15]由函數(shù)γ定義不難得到對(duì)任意的s∈[0,1),有γ(s)≥γ(0)且γ(0)∈(0,1)。

引理3[15]由式(4)定義的Green函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì):

1)對(duì)任意的(t,s)∈(0,1]×[0,1),有G(t,s)∈C([0,1]×[0,1))且G(t,s)>0；

設(shè)E=C[0,1],賦予其范數(shù)

且

K={u∈E:u(t)≥0,t∈[0,1],

則E是Banach空間且K是E中的錐。

定義K上的算子T為

u∈K,t∈[0,1]。

由于G(t,s)在s=1處奇異,需要說明算子T是有定義的。事實(shí)上,對(duì)任意固定的u∈K,有0≤u(s)≤‖u‖,s∈[0,1]。設(shè)

則f(s,u(s))≤L,s∈[0,1],結(jié)合引理3可得

G(t,s)f(s,u(s))≤LM(s),

(t,s)∈[0,1]×[0,1),

引理4[15]算子T:K→K是全連續(xù)的。

為了方便,設(shè)

(5)

(6)

(7)

則邊值問題(1)至少有三個(gè)正解u,v,w滿足

‖u‖

d<‖w‖,

證明 對(duì)任意的u∈K,定義

很容易驗(yàn)證σ是K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函且對(duì)任意的u∈K,有σ(u)≤‖u‖。

因此,Tu∈Kr。

其次,驗(yàn)證對(duì)任意

有

且σ(Tu)>a。事實(shí)上,常函數(shù)

結(jié)合式(6),有

綜上所述,Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理的所有假設(shè)都滿足,因此,T至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1)至少有三個(gè)正解u,v,w滿足

‖u‖

d<‖w‖,

(8)

(9)

(10)

(11)

‖u‖

dn<‖w‖,