淺析函數(shù)極限的算法

高媛

摘 要 函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是研究微積分的一個(gè)重要工具。極限的思想和極限的方法貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)最最基礎(chǔ)的知識(shí)，函數(shù)連續(xù)、微分、積分都是在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上，所以學(xué)好極限非常重要，文章由簡(jiǎn)到難依次介紹了幾種常見(jiàn)的極限的解題方法，便于理解和求解極限問(wèn)題。也為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 極限 直接代入 等價(jià)代換 兩個(gè)重要極限

中圖分類號(hào)：O174文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一，導(dǎo)數(shù)、微積分等概念都是在函數(shù)極限的基礎(chǔ)上完成的。學(xué)好函數(shù)極限對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)至關(guān)重要。函數(shù)極限難點(diǎn)在于函數(shù)極限的算法，極限的算法多種多樣，但是如果沒(méi)有找對(duì)算法就會(huì)直接出錯(cuò)或越做越難，所以學(xué)會(huì)函數(shù)極限的算法非常重要。

下面我們從簡(jiǎn)單到難總結(jié)了一些求函數(shù)極限的方法：

1直接代入法

直接代入法顧名思義就是直接代入函數(shù)求極限。根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性我們可以知道只要是初等函數(shù)就是連續(xù)的（我們常見(jiàn)的函數(shù)大部分都是初等函數(shù)）。所以一般情況下求極限的問(wèn)題能直接代入的我們都是直接代入。例如：

，

直接代入法是函數(shù)求極限的最簡(jiǎn)單，最基礎(chǔ)的方法。幾乎所有的求函數(shù)的方法最后都需要用到直接代入法。掌握直接代入法能計(jì)算一些簡(jiǎn)單的函數(shù)求極限和高中教學(xué)中的極限問(wèn)題。

2 “型”除以最高次項(xiàng)法

直接代入法是一種簡(jiǎn)單且容易掌握的方法，但是也會(huì)出現(xiàn)代入后不知道結(jié)果的，例如代入之后出現(xiàn)結(jié)果為，這時(shí)候我們沒(méi)有辦法做，現(xiàn)在我們把這種類型叫做“型”。

“型”一般是分式形式的，而且（或，），這個(gè)時(shí)候我們一般只需要分子分母同時(shí)除以分子和分母中最高次項(xiàng)就可以了。例如：

上述三個(gè)例子分別體現(xiàn)了“型”求函數(shù)極限中最高次項(xiàng)的三種情況：

（1）分子分母最高次項(xiàng)相同，函數(shù)極限為分子分母最高次項(xiàng)系數(shù)之比;

（2）分母的最高次項(xiàng)大，函數(shù)極限為0;

（3）分子的最高次項(xiàng)大，函數(shù)極限為。

綜合來(lái)說(shuō)“型”是需要除以最高次項(xiàng)來(lái)計(jì)算函數(shù)的極限，是函數(shù)極限中一種較為針對(duì)性的方法，針對(duì)（或，）的類型。

3 “型”能約分，先約分再代入

“型”即直接代入之后會(huì)發(fā)現(xiàn)分子和分母都為0，這個(gè)時(shí)候按照直接代入法就沒(méi)有辦法繼續(xù)進(jìn)行，所以我們要學(xué)習(xí)其他的求極限方法。首先我們可以先觀察看看能不能約分，如果可以約分的話我們可以先約去零因式后再代入進(jìn)行計(jì)算。例如

先約分再代入的方法是函數(shù)求極限中一種較為簡(jiǎn)單的方法，相對(duì)于直接代入稍難，需要學(xué)生有基礎(chǔ)的因式分解能力，應(yīng)用較為普遍。

4等價(jià)代換

我們知道“型”有的可以約分但是也有一些不能約分，這個(gè)時(shí)候我們需要用一些其他的方法，例如等價(jià)無(wú)窮小的代換。由等價(jià)的定義我們可以知道一些常見(jiàn)的等價(jià)：當(dāng)時(shí)有

等價(jià)無(wú)窮小的代換即在函數(shù)極限的計(jì)算中可以用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換（注意只針對(duì)乘法除法可以用，加減運(yùn)算不能用）。例如：

（這個(gè)是第一個(gè)重要極限），

等價(jià)無(wú)窮小的代換可以將較為復(fù)雜的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)換為容易的函數(shù)極限問(wèn)題，是求函數(shù)極限中的一個(gè)方便快捷的方法，但是它具有一定的局限性，必須是 “型”的，而且常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小要熟記。

本篇文章由簡(jiǎn)到難依次介紹了直接代入、“型”、“型”、等價(jià)代換、兩個(gè)重要極限等求解極限的最基本方法，這些都是求極限最常見(jiàn)的方法，一般的極限問(wèn)題都可以解決。但是我們知道求極限的方法多種多樣，我們也可能會(huì)遇到千奇百怪的極限問(wèn)題，所以僅僅這些還不夠，其他復(fù)雜的方法大家可以自己查詢。

參考文獻(xiàn)

[1]楊伏香，高喜花.高等數(shù)學(xué)[M].鄭州：黃河水利出版社，2013.

[2]李廣全，林漪，胡桂容.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3]同濟(jì)大學(xué)等.高等數(shù)學(xué)（上）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2008.