探究概念本質，促進概念生成

糜蘇英

[摘? 要] 對概念的教學，要挖掘數學概念的本質，讓學生理解并領會概念的內涵，促進知識生成. 在觀察、動手實踐、思考中，促進學生對拋物線概念具有深刻感知與認識，在先得到一個片面結論后，再通過直觀對比方法，來獲得全面的觀點. 教師在課堂上若以概念直接呈現方式，忽視概念的解析與生成，則學生易對概念一知半解，在面對一些數學題型時，導致解題錯誤. 因此，數學概念的教學，不能只重結果而輕過程.

[關鍵詞] 高中數學;概念;概念本質;概念生成

數學概念是構成數學知識體系的重要部分，數學概念是數學的細胞. 對概念的教學，要挖掘數學概念的本質，讓學生理解并領會概念的內涵，促進知識生成. 本文以“拋物線及其標準方程”為例，通過探究拋物線的概念，發(fā)展學生的數學抽象與直觀想象素養(yǎng).

概念的導入與生成

在概念教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步應用中逐步理解概念的本質. 在引出拋物線概念之前，我們在課堂上先展示拱橋、望遠鏡、凹面鏡等實物圖片，讓學生聯(lián)系上生活，感受到拋物線的實際應用. 然后結合探照燈的結構分析，讓學生認識到拋物線的聚焦點是特殊的. 在認識了拋物線的基本特征后，再導出本節(jié)課所要學的拋物線概念，通過數學與生活的緊密聯(lián)系，發(fā)展學生的致用意識.

前面我們學過二次函數，以及其圖像的特點，對于拋物線，也是二次函數中的一種. 現著重從拋物線定義及標準方程入手，來討論其函數圖像的變化特點. 我們已經學習過橢圓、雙曲線的方程，兩者都有動點與定點的關系. 對于拋物線，如何定義？在討論之前，請同學們先分析函數y=x2的圖像. 我們可以在直角坐標系中畫出該函數的圖像，然后設定某定點F（0，1），動點M（x，y），求拋物線上任意一點M到定點F的距離，以及動點M到直線y=-1的距離d，兩者有何關系？通過學生動手繪圖分析，測量特殊點的距離關系，得到點M到定點F的距離，與點M到直線y=-1的距離，兩者是相等的.

這一設計意圖，意在讓學生從坐標系中分析二次函數的圖像與拋物線之間的關系，學生在測量后產生認知沖突. 分析二次函數的圖像，引出拋物線的概念，再對比探照燈的圓弧特征，讓學生感受到聚焦點是拋物線的特殊點. 根據學生的判定，我們提出問題：針對拋物線上的點，與定點的距離，以及到定直線的距離，兩者是相等的. 這一特例的猜測，對于其他情況能否成立？為此，有學生認為，在平面內，到定點F與定直線的距離相等的點的軌跡，就是拋物線. 對于這個說法正確嗎？我們可以從拋物線上的任意一點，來分析其是否滿足上述條件. 比如可以通過幾何畫板，來驗證該學生的觀點. 事實上，通過對定點F、定直線不同情況的分析，我們可以得出拋物線的定義：在平面內，到定點F與定直線（不經過定點F）的距離相等的點的軌跡就是拋物線. 在觀察、動手實踐、思考中，促進學生對拋物線概念具有深刻感知與認識，在先得到一個片面結論后，再通過直觀對比方法，來獲得全面的觀點. 通過這個過程，學生對拋物線概念的理解會更加準確.

對標準方程的探究

概念教學中必須認識到，數學概念是數學思維的起點，是建立數學理論的基礎. 在探究拋物線的標準方程之前，我們來思考，求曲線方程的一般方法和步驟. 解析幾何，通常需要運用代數方法，來解決幾何問題. 在曲線方程歸納過程中，一般需要建系設點、提煉等量關系、代入化簡等步驟. 根據前面所學習的拋物線概念，我們可以假設，焦點F到準線的距離為常數p，滿足p>0，求拋物線的方程. 有學生認為，可以將焦點F作為原點，將拋物線的對稱軸作為坐標軸來設定坐標系;有學生認為，可以將焦點F向直線引垂線，垂足為k，以k為原點設定坐標系;有學生認為，可以通過焦點F向直線作垂線，垂足為K，以FK的中點為原點設定坐標系. 對照三位學生的不同建系方法，哪個更恰當或者更好呢？對于建立平面直角坐標系，方法很多，而要比較最佳的建系方法，需要考慮哪些條件或因素？有學生結合二次函數的圖像特點，認為可以將拋物線的對稱軸作為坐標系，且滿足頂點為原點時，方程會更簡潔. 比較拋物線方程的形式，從不同的建系方法中，選擇最恰當的. 利用對二次函數圖像的對比與分析，讓學生認識到拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點為原點，所得到的方程解析式最簡潔.

根據上述建系要求，我們可以得到拋物線的方程為y2=2px（p>0）. 請同學們思考，在學習橢圓、雙曲線標準方程時，針對坐標系不同時，所得到的標準方程也有不同的形式. 與此類比，對拋物線的標準方程，都有哪些不同形式？有學生認為，根據拋物線標準方程y2=2px（p>0），可以從拋物線的開口方向分為四種情況，如開口向上、開口向下、開口向左、開口向右. 既然可以得到四種不同情況，則分別列出其他三種情況的拋物線標準方程. 有學生認為，開口向左，拋物線方程為y2=-2px（p>0）;開口向下，拋物線方程為x2=-2py（p>0）;開口向上，拋物線方程為x2=2py（p>0）. 如何來分析開口不同時，對應的拋物線方程表達形式的變化？有學生從前面所學的知識入手，對于開口向左的拋物線方程，應該與開口向右的拋物線方程關于y軸對稱;同樣，對于開口向下的拋物線方程與開口向上的拋物線方程關于x軸對稱. 由圖形的對稱性，來得到四種開口方向不同的拋物線標準方程的表示形式. 當然，對于不同標準方程的表示形式，我們也可以設定順口溜“一次項定軸，正負看開口”. 針對標準方程中的參數p，有何幾何意義？在四種不同方程形式中，意義是否一樣？有學生提出，對于p的幾何意義，主要是拋物線的焦點，到準線的距離，不同形式的拋物線標準方程中，p的幾何意義是一致的.

學生對概念的學習常常需要自己的觀察、感知、體驗、抽象和概括. 在探究拋物線標準方程的開口方向與表示形式對應關系上，應該注意這一點然后去突破教學難點，我們通過抓住拋物線的對稱軸，聯(lián)系平面直角坐標系的幾何特征，來指導學生根據開口方向來得出相應的標準方程.

教學反思與總結

學習了拋物線的概念及標準方程，我們通過隨堂練習，來檢測學生的掌握情況. 某題中，在直角坐標系中，到點（1，1）與直線x+3y=3距離相等的點的軌跡是什么？可以選擇“直線”“拋物線”“圓”“雙曲線”. 很多學生都會選擇“拋物線”. 事實上，該題“暗藏玄機”，很多學生不假思索，掉入陷阱. 再如這題：求拋物線方程y=2x2的焦點坐標及準線方程.在求解過程中，很多學生得出的焦點坐標為準線方程為y=-，或者x=-. 反思學生之所以做錯的原因，是否與課堂教學中，對拋物線的概念及標準方程的講解不透徹有關？在進行師生交流后發(fā)現，一些學生對拋物線概念理解不準確.教師在課堂上，若以概念直接呈現方式，忽視概念的解析與生成，學生易對概念一知半解，在面對一些數學題型時，導致解題錯誤. 因此，數學概念的教學，不能只重結果而輕過程. 在提出拋物線概念與探究拋物線的本質的過程中，我們主張“回到定義”，帶領學生探析概念的生成過程，抓住拋物線概念的基本知識，特別是在探究概念的本質特性中，應該如何厘清概念的內涵與外延，揭示概念的本質.

對照之前所學的二次函數的圖像特點，以此來類比分析拋物線概念及標準方程，兩者有何關聯(lián)？從函數視角來分析拋物線，著重將解析式作為教學內容，體現從代數視角來分析圖像的變化，并從圖像的特點來探究拋物線解析式的表示形式. 進入高中數學，以解析幾何視角來探究拋物線及標準方程，需要先觀察圖像，再分析解析式，將“形”作為因，索求與“數”對應的果. 顯然，在拋物線方程討論中，y=ax2（a≠0）可以看作是二次函數解析式，也可以看作是拋物線標準方程. 在求解切線方程問題時，可以利用導數工具來計算，還可以將直線方程與拋物線方程進行聯(lián)立，利用Δ=0來求解. 從本質上看，對于曲線與方程，函數解析式與函數圖像，兩者具有一致性. 以y=x2為例，既讓學生認識了二次函數解析式的求解方法，又從中實現與拋物線知識的有效銜接，促進了知識的連貫性，為發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)奠定了基礎.