理清結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化方法

王平

摘要：蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第4章第3節(jié)《用一元一次方程解決問(wèn)題》沒(méi)有揭示實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)，給出的分析問(wèn)題的方法（策略）也比較“雜”。這就導(dǎo)致教學(xué)主線(xiàn)不清晰，學(xué)生學(xué)習(xí)（尤其是遷移運(yùn)用）難度較大。研究教材中有關(guān)題目的特點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)：教學(xué)時(shí)，可以數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)變化為主線(xiàn)，調(diào)整題目順序;以列表格、畫(huà)線(xiàn)形圖等核心方法為主線(xiàn)，聚焦數(shù)學(xué)建模;并基于教學(xué)主線(xiàn)，進(jìn)行例題分析的呈現(xiàn)、例題拓展的思考、例題配套的練習(xí)等方面的附加設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：《用一元一次方程解決問(wèn)題》數(shù)量關(guān)系表格線(xiàn)形圖

在現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)課程中，“用方程解決問(wèn)題”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要模塊。其中，“用一元一次方程解決問(wèn)題”的有關(guān)內(nèi)容是基礎(chǔ)。對(duì)此，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第4章《一元一次方程》安排了72道用一元一次方程表示實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的題目，該章第3節(jié)《用一元一次方程解決問(wèn)題》將例題按照“表格”“線(xiàn)形圖”“扇形圖”“柱狀圖”等分析問(wèn)題的方法（策略）組織呈現(xiàn)。但是，教材沒(méi)有進(jìn)一步揭示實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)，給出的分析問(wèn)題的方法（策略）也比較“雜”（有些方法在后續(xù)的“用二元一次方程組解決問(wèn)題”“用分式方程解決問(wèn)題”“用一元二次方程解決問(wèn)題”中再也沒(méi)有提到過(guò)）。這就導(dǎo)致教學(xué)主線(xiàn)不清晰，學(xué)生學(xué)習(xí)（尤其是遷移運(yùn)用）難度較大。

針對(duì)這一情況，筆者帶領(lǐng)一些教師研究教材中有關(guān)題目的特點(diǎn)，并重點(diǎn)研究實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)和分析問(wèn)題的核心方法，從而重組設(shè)計(jì)了“用一元一次方程解決問(wèn)題”的有關(guān)內(nèi)容。

一、以數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)變化為主線(xiàn)，調(diào)整題目順序

分析教材中有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的個(gè)數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)：蘊(yùn)含2個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目有9道，占12.5%;蘊(yùn)含3個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目有22道，占30.6%;蘊(yùn)含4個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目有33道，占45.8%;蘊(yùn)含5個(gè)及以上數(shù)量關(guān)系的題目有8道，占11.1%。

進(jìn)一步分析教材中有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)后，我們又發(fā)現(xiàn)：很多題目中的數(shù)量關(guān)系都包括“a+b=c”“ab=c”這兩個(gè)最基本的結(jié)構(gòu)，根據(jù)題意列出的方程都可以看作這兩個(gè)最基本結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu)。具體來(lái)說(shuō)，以下三種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)得最多：

蘊(yùn)含2個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目列出的方程都是“ab+c=d”的結(jié)構(gòu)，即將“a+b=c”中的“a”用“ab=c”替換。例如：“把50 kg大米分裝在3個(gè)同樣大小的袋子里，裝滿(mǎn)后還剩余5 kg，求每個(gè)袋子可裝大米的質(zhì)量。”本題蘊(yùn)含了2個(gè)數(shù)量關(guān)系：一是“袋子個(gè)數(shù)×每袋質(zhì)量=袋子裝的總質(zhì)量”，即“ab=c”的結(jié)構(gòu);二是“袋子裝的總質(zhì)量+剩余質(zhì)量=總質(zhì)量”，即“a+b=c”的結(jié)構(gòu)。如果設(shè)每個(gè)袋子可裝大米的重量為x kg，那么，根據(jù)題意可得3x+5=50，即“ab+c=d”的結(jié)構(gòu)。

蘊(yùn)含3個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目中有13道（占59.1%）列出的方程都是“ab+cd=e”的結(jié)構(gòu)，即將“ab+c=d”中的“c”用“ab=c”替換。例如：“小亮買(mǎi)5本練習(xí)本和2支圓珠筆一共用了5.5元，圓珠筆每支1.5元，求練習(xí)本的單價(jià)?！北绢}蘊(yùn)含了3個(gè)數(shù)量關(guān)系：一是“練習(xí)本數(shù)量×練習(xí)本單價(jià)=練習(xí)本的費(fèi)用”，即“ab=c”的結(jié)構(gòu);二是“圓珠筆數(shù)量×圓珠筆單價(jià)=圓珠筆的費(fèi)用”，即“ab=c”的結(jié)構(gòu);三是“練習(xí)本的費(fèi)用+圓珠筆的費(fèi)用=總費(fèi)用”，即“a+b=c”的結(jié)構(gòu)。如果設(shè)練習(xí)本的單價(jià)為x元，那么，根據(jù)題意可得5x+1.5×2=5.5，即“ab+cd=e”的結(jié)構(gòu)。

蘊(yùn)含4個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目中有16道（占48.5%）列出的方程都是“ab+c（d+e）=f”的結(jié)構(gòu)，即將“ab+cd=e”中的“d”用“a+b=c”替換。例如：“籃球隊(duì)參加籃球聯(lián)賽，某隊(duì)賽了12場(chǎng)，共得20分。已知?jiǎng)僖粓?chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分，那么該隊(duì)負(fù)了多少場(chǎng)？”本題蘊(yùn)含了4個(gè)數(shù)量關(guān)系：一是“勝的場(chǎng)數(shù)+負(fù)的場(chǎng)數(shù)=總場(chǎng)數(shù)”，即“a+b=c”的結(jié)構(gòu);二是“勝的場(chǎng)數(shù)×勝場(chǎng)單場(chǎng)得分=勝場(chǎng)得分”，即“ab=c”的結(jié)構(gòu);三是“負(fù)的場(chǎng)數(shù)×負(fù)場(chǎng)單場(chǎng)得分=負(fù)場(chǎng)得分”，即“ab=c”的結(jié)構(gòu);四是“勝場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分=總得分”，即“a+b=c”的結(jié)構(gòu)。如果設(shè)該隊(duì)負(fù)了x場(chǎng)，那么，根據(jù)題意可得1·x+2（12-x）=20，即“ab+c（d+e）=f”的結(jié)構(gòu)。

根據(jù)上述分析，我們應(yīng)該遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，基于題目中數(shù)量關(guān)系的個(gè)數(shù)從少到多、結(jié)構(gòu)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則，調(diào)整教材題目的順序，并適當(dāng)增、減題目，保持各種“結(jié)構(gòu)”數(shù)量的相對(duì)均衡。在不改變課時(shí)數(shù)的情況下，可以這樣設(shè)置例題：第1課時(shí)設(shè)置兩道蘊(yùn)含2個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目和一道蘊(yùn)含3個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目;第2課時(shí)設(shè)置三道蘊(yùn)含4個(gè)數(shù)量關(guān)系的題目;第3—6課時(shí)則各設(shè)置若干蘊(yùn)含4個(gè)及以上數(shù)量關(guān)系的題目（這幾個(gè)課時(shí)重點(diǎn)考慮分析數(shù)量關(guān)系的方法，后文還有敘述）。

這樣的設(shè)置確保學(xué)生能在第1課時(shí)中基本理解題目中數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)，特別是充分認(rèn)識(shí)“a+b=c”“ab=c”這兩個(gè)最基本的結(jié)構(gòu);在第2課時(shí)中牢牢掌握教材中出現(xiàn)次數(shù)最多的“ab+c（d+e）=f”結(jié)構(gòu);在后續(xù)的課時(shí)中學(xué)會(huì)分析各種其他類(lèi)型的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，初步感受數(shù)學(xué)建模的方法。

二、以列表格、畫(huà)線(xiàn)形圖等核心方法為主線(xiàn)，聚焦數(shù)學(xué)建模

翻閱蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在小學(xué)三年級(jí)時(shí)，就開(kāi)始嘗試用列表格和畫(huà)線(xiàn)形圖的方法分析實(shí)際問(wèn)題。縱觀蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中“用方程解決問(wèn)題”的有關(guān)內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)：分析實(shí)際問(wèn)題的核心方法是列表格;在一些有關(guān)行程、工程等的問(wèn)題中，再輔以畫(huà)線(xiàn)形圖。

因此，對(duì)于“用一元一次方程解決問(wèn)題”的有關(guān)內(nèi)容，略去教材中的“扇形圖”“柱狀圖”等分析問(wèn)題的方法，強(qiáng)化列表格、畫(huà)線(xiàn)形圖這兩種核心方法，更有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。

于是，在第1課時(shí)第1道例題的分析上，我們首先關(guān)注了表格的“誕生”：

例1小穎種了一株樹(shù)苗，剛種下時(shí)，樹(shù)苗高為40 cm，以后每周可長(zhǎng)高15 cm。按照這樣的生長(zhǎng)速度，多少時(shí)間后樹(shù)苗可長(zhǎng)到1 m？

分析本題蘊(yùn)含了兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：（1）樹(shù)苗每周生長(zhǎng)的高度×生長(zhǎng)的時(shí)間=樹(shù)苗生長(zhǎng)的高度;（2）樹(shù)苗原來(lái)的高度+樹(shù)苗生長(zhǎng)的高度=樹(shù)苗最終的高度。

這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系都可以列出相應(yīng)的表格（見(jiàn)表1、表2）。

（cm）這是一道蘊(yùn)含2個(gè)數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)單題目。在這道題目的分析過(guò)程中，既關(guān)注數(shù)量關(guān)系是什么，又關(guān)注怎么列表格——其實(shí)質(zhì)是每一個(gè)表格對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)量關(guān)系，表格的“誕生”和數(shù)量關(guān)系的分析緊密相連。

從這道例題開(kāi)始，第1—5課時(shí)每道例題的分析都圍繞“尋找數(shù)量關(guān)系—建立表格—列方程解決問(wèn)題”的流程展開(kāi)。當(dāng)然，在這一流程中，我們還關(guān)注表格的簡(jiǎn)化——后續(xù)的例題主要借助一個(gè)表格分析問(wèn)題。

第4—5課時(shí)每道例題的分析在借助表格的基礎(chǔ)上，還輔以畫(huà)線(xiàn)形圖;第6課時(shí)每道例題的分析則不再借助表格，只是利用線(xiàn)形圖。這樣的設(shè)計(jì)，一是體現(xiàn)表格的“基礎(chǔ)”作用，即表示線(xiàn)形圖中的線(xiàn)段時(shí)，還可以借助表格把數(shù)量關(guān)系用字母表示出來(lái);二是重視線(xiàn)形圖的作用，教會(huì)學(xué)生怎么畫(huà)出線(xiàn)形圖、怎么在線(xiàn)形圖上標(biāo)注、怎么利用線(xiàn)形圖尋找數(shù)量關(guān)系;三是讓學(xué)生體會(huì)到表格只是一個(gè)工具，在分析問(wèn)題的能力到達(dá)一定的程度后，是可以通過(guò)思維“隱化”的。

三、基于教學(xué)主線(xiàn)，進(jìn)行附加設(shè)計(jì)

在重組設(shè)計(jì)“用一元一次方程解決問(wèn)題”的有關(guān)內(nèi)容時(shí)，我們還進(jìn)行了例題分析的呈現(xiàn)、例題拓展的思考、例題配套的練習(xí)等方面的附加設(shè)計(jì)，力圖促使學(xué)生的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更深入。

（一）關(guān)于例題分析的呈現(xiàn)

對(duì)于每個(gè)課時(shí)的例題，有的完整呈現(xiàn)分析過(guò)程和解答過(guò)程（一般是每個(gè)課時(shí)的第1道例題），有的只給出分析框架，有的只給出分析中表格的欄目，還有的只給出題目。多樣的呈現(xiàn)形式一方面為學(xué)生掌握列表格、畫(huà)線(xiàn)形圖分析問(wèn)題的方法提供循序漸進(jìn)的步驟，另一方面也讓學(xué)生能方便地使用，從而使“教材”變成“學(xué)材”;同時(shí)，也符合樣例的不完整、漸減提示、步驟編碼等設(shè)計(jì)理論。

（二）關(guān)于例題拓展的思考

對(duì)于每個(gè)課時(shí)，我們還設(shè)計(jì)了一些思考問(wèn)題，比如“嘗試歸納這節(jié)課例題中數(shù)量關(guān)系的特征”“談一談如何借助表格解決本類(lèi)問(wèn)題”“說(shuō)一說(shuō)借助線(xiàn)形圖解決問(wèn)題的步驟”等，從而拓展例題的空間，促使學(xué)生深入理解每個(gè)課時(shí)實(shí)際問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，或體會(huì)每個(gè)課時(shí)解決問(wèn)題的方法，或從不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題等。

（三）關(guān)于例題配套的練習(xí)

對(duì)于每個(gè)課時(shí)，我們還從多個(gè)版本的教材中選出了符合教學(xué)目標(biāo)（與例題相配套）的題目，作為課上和課后的練習(xí)題。同時(shí)，兼顧呈現(xiàn)形式和難易順序設(shè)計(jì)：課上、課后練習(xí)的第1題都呈現(xiàn)分析框架，使之直指相應(yīng)課時(shí)的核心內(nèi)容和方法，幫助學(xué)生鞏固課堂所學(xué);從第2題開(kāi)始，只給出具體的題目，不限制學(xué)生的思維;從第1題到最后1題，基本按照從易到難的順序編排;最后1題一般打上“*”，供學(xué)有余力的學(xué)生思考。