均值不等式在證明不等式中的運(yùn)用

戴鑫

摘?要：均值不等式作為高中數(shù)學(xué)中最重要的不等式之一，在高考試題、全國(guó)高中生數(shù)學(xué)聯(lián)賽和高校自主招生試題中隨處可見(jiàn)。本文從高考試題出發(fā)，通過(guò)研究和嘗試逐步將題目難度提升到全國(guó)高中生數(shù)學(xué)聯(lián)賽和高校自主招生的難度，在研究過(guò)程中探索均值不等式在解決不等式證明題時(shí)的使用技巧和方法，達(dá)到幫助學(xué)生更好的理解和應(yīng)用均值不等式這一有力工具的目的。

關(guān)鍵詞：均值不等式?不等式證明

三、均值不等式在競(jìng)賽和自主招生中的應(yīng)用

在解決競(jìng)賽和自主招生題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)僅僅靠運(yùn)用結(jié)論，配湊系數(shù)的高考思路基本無(wú)法解決競(jìng)賽和自主招生的題目，而且競(jìng)賽和自主招生題目靈活多變，是否是直接運(yùn)用均值不等式還需要去判斷，所以激發(fā)我們思考是否有更重要的線索去解決此類問(wèn)題。經(jīng)過(guò)研究和總結(jié)我發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用均值不等式去證明不等式時(shí)，非常關(guān)鍵的線索是關(guān)注取等條件，在放縮的過(guò)程中時(shí)刻保證取等條件不變，并且放縮的方向又是題目所需的方向即可。下面舉例說(shuō)明。

點(diǎn)評(píng)：本題首先猜測(cè)所證不等式的取等條件，故考慮使用均值不等式證明求證不等式，要求在證明地放縮過(guò)程中不改變?nèi)〉葪l件。運(yùn)用平方平均值大于或等于算數(shù)平均值，再運(yùn)用調(diào)和平均值小于或等于算數(shù)平均值，兩次運(yùn)用均值不等式放縮都沒(méi)有改變最初的取等條件，根據(jù)這個(gè)放縮原則很快就可以證明原不等式成立。

點(diǎn)評(píng)：本題首先猜測(cè)取等條件，但本題分母次數(shù)較高，由例題2的經(jīng)驗(yàn)將分式的分子次數(shù)變高比較容易證明，故考慮“1”的代換將分子次數(shù)變高，但添項(xiàng)部分為了抵消分母不能選用常數(shù)項(xiàng)。

以上是運(yùn)用均值不等式證明帶有等號(hào)的不等式，如果題目中求證不等式?jīng)]有等號(hào)就不那么方便考慮取等條件了。

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)非常經(jīng)典的結(jié)論，它還反映了數(shù)列的單調(diào)性，還可以推出該數(shù)列的極限。但是放入不等式的證明中卻發(fā)現(xiàn)不容易猜測(cè)取等條件，那么我們考慮某個(gè)元素不和其他元素相等即可證得純大于或小于，所以將某個(gè)元素選為1，再運(yùn)用n+1元均值不等式即可證得結(jié)論。

結(jié)語(yǔ)

所有的不等式在不等式的證明中都會(huì)起到放縮的作用，由于均值不等式的重要地位自然在證明不等式的時(shí)候要經(jīng)常考慮它的運(yùn)用。經(jīng)過(guò)研究我發(fā)現(xiàn)高考試題的例1僅僅是從形式上解決了不等式的證明問(wèn)題，而在解決競(jìng)賽和自主招生題目時(shí)發(fā)現(xiàn)的“關(guān)注取等條件”的規(guī)律才是解決問(wèn)題的真正突破口！故當(dāng)解題人嘗試運(yùn)用均值不等式去證明某個(gè)不等關(guān)系時(shí)，請(qǐng)時(shí)刻關(guān)注取等條件，并且步步保證放縮方向一致即可。

最后，希望我的一點(diǎn)點(diǎn)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)會(huì)對(duì)廣大學(xué)生不等式的學(xué)習(xí)和理解有所幫助。祝各位學(xué)生學(xué)有所成！

參考文獻(xiàn)

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講人民教育出版社2017

[2]何易陽(yáng)自主招生數(shù)學(xué)解證寶典哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2015