一加一，有可能不等于二？

涂小圖

在日常生活中，我們的大腦對很多事物都形成了習慣。比如數(shù)字，習慣于使用十進制的我們能夠輕易地算出“1+1=2”，但是卻很難對計算機里的二進制數(shù)字有直觀的感受。十進制在今天的普遍使用，只不過是人類在生物學上一次偶然進化的結(jié)果而已：我們當中的絕大多數(shù)人，生來就有10個手指、10個腳趾。除了十進制，二進制、八進制等其他進制又有什么不同呢？

十進制與二進制

十進制計數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為10;②有0—9共10個數(shù)字;③逢10進1，借1當10。

二進制計數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為2;②有2個數(shù)字，即0和1;③逢2進1，借1當2。

十進制數(shù)可以由多位組成，從右向左依次為個位、十位、百位、千位、萬位，等等;與此類似，二進制也可以由多位數(shù)組成，從右向左分別為1位、2位、4位、8位、16位，等等。同學們是不是感覺二進制的位數(shù)很奇怪，中間似乎還缺了好多位？其實這是我們從十進制數(shù)的角度來看二進制數(shù)而產(chǎn)生的一種錯覺。

如上表所示，當二進制產(chǎn)生進位時，對應(yīng)的十進制數(shù)為2、4、8、16、32、64、128……二進制雖然只有0和1兩個數(shù)字，但是由于數(shù)字所處的位置不同，表示的數(shù)據(jù)也不同。例如二進制數(shù)1011共有4位，由3個1和1個0組成，各個數(shù)字所處位置不同，所代表的大小也不同，各個數(shù)字所處位置在數(shù)學上稱作“權(quán)”。

二進制數(shù)1011從右向左順序各位表示的含義：第一個1表示1的個數(shù)，第二個1表示2的個數(shù)，第三個0表示4的個數(shù)，第四個1表示8的個數(shù)。同學們可以類比一下：十進制數(shù)1011是由1個1000、0個100、1個10、1個1組成的;二進制數(shù)1011是由1個23、0個22、1個21、1個20組成的。

按二進制數(shù)1011各位的權(quán)列出：1101（二進制）=1×23+0×22+1×21+1×20=11，按這種權(quán)展開式，可以很方便地將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

相應(yīng)地，十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)通常采用“除2取余，逆序排列”的方法。具體做法是用2整除十進制數(shù)，可以得到一個商和余數(shù);再用2去除商，又會得到一個商和余數(shù);如此反復(fù)，直到商為0而止。然后，再把先得到的余數(shù)作為二進制低位，后得到的余數(shù)作為二進制高位，依次排列。

舉個例子，將十進制數(shù)11轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)1011：

11÷2=5……1

5÷2=2……1

2÷2=1……0

1÷2=0……1

目前幾乎所有的計算機內(nèi)部的邏輯電路都采用了二進制，這是因為電路中通常只有兩個狀態(tài)，如開關(guān)的“開”和“關(guān)”、電壓的“高”和“低”、電流的“正”和“負”等，這些狀態(tài)正好可以用數(shù)字“1”和“0”表示，十分方便。采用二進制可以使計算機的結(jié)構(gòu)更加簡單可靠，提高計算速度。

二進制的計算規(guī)則

【加法】只有以下4種可能（逢2進1）：

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

對于多位二進制數(shù)相加，進位采用“逢2進1”的方式，如表2所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

對于多位二進制數(shù)相減，借位采用“借1當2”的方式，如表3所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

【乘法】只有4種可能：

0×0=0

1×0=0

0×1=0

1×1=1

十進制的乘法怎么算？相信這可難不倒各位同學，畢竟大家在小學時就已經(jīng)把九九乘法表（乘法口訣）背得滾瓜爛熟了，而二進制的乘法規(guī)則相對來說還要更簡單。二進制的乘法可以很簡單地轉(zhuǎn)換為各位的加法運算，如表4所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

我們知道，除法是乘法的逆運算，二進制乘法有4種可能，那除法為什么只有2種呢？這是因為0作為除數(shù)是沒有意義的。如表5所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

至于比較復(fù)雜的乘法和除法運算，都能簡單地轉(zhuǎn)換為加、減和各位的位移操作，所以一般簡單的計算機只需設(shè)計一個加法器來控制位數(shù)變動即可。

古代也有進制概念

明白了二進制的原理，八進制也就很容易懂了。其實我們可以從中國古代歷史中找到二進制、八進制的概念，比如八卦。八卦最初其實是古人的一種哲學思想、文字的表述符號，只是后來因為被不少“算命先生”用來忽悠人，而被打上封建迷信的標簽。在八卦中，其實也有二進制和八進制的概念，八卦的基本元素就是陰和陽，我們可以把它們看作二進制中的0和1。需要說明的是，八卦和現(xiàn)代計算機中的二進制原理并無關(guān)系，僅僅是一種思想上的巧合。

在上圖中長實線代表“陽”，用中間斷開的線代表“陰”。3種這樣的線條組成8種形狀，相當于用3位二進制數(shù)表示8種狀態(tài)。

在現(xiàn)代，八進制計數(shù)通常采用0—7的阿拉伯數(shù)字表示。八進制計數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為8;②由8個數(shù)字組成，分別是0、1、2、3、4、5、6、7;③逢8進1，借1當8。

十進制數(shù)與其他進制數(shù)的轉(zhuǎn)換

上文中將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法“按權(quán)展開”，同樣適用于將其他進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。請看下面這條按權(quán)展開公式，學習了數(shù)列知識的同學，是不是感覺很親切呢？

（B表示各進制的基數(shù)，n表示位數(shù)）

類似地，十六進制計數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為16;②由16個數(shù)字（符號）組成，分別是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F;③逢16進1，借1當16。例如同學們可以動手試一試將十六進制數(shù)BC0D轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)：

BC0D（十六進制）

=11×16（4-1）+12×16（3-1）+0×16（2-1）+13×16（1-1）

=48141

此外，我們使用上文中提到的將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)的“除基數(shù)B取余，逆序排列”方法，同樣可以將十進制數(shù)方便地轉(zhuǎn)換為其他進制的數(shù)。