基于問題驅(qū)動教學(xué)模式的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

包云霞 魯法明 劉洪霞

【摘要】以“方向?qū)?shù)的計算公式”為教學(xué)案例，探討了問題驅(qū)動式的教學(xué)方法在教學(xué)過程中的實施步驟，從而使學(xué)生成為教學(xué)過程的主體，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)? 問題驅(qū)動? 教學(xué)案例? 方向?qū)?shù)的計算公式

【基金項目】山東科技大學(xué)青年教師本科教學(xué)拔尖人才培養(yǎng)計劃（BJRC20190503）;山東科技大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團隊建設(shè)計劃資助（JXTD20160507）;山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)團隊建設(shè)計劃資助（JXTD20180504）。

【中圖分類號】G642 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）21-0081-02

一、引言

高等數(shù)學(xué)是理工類專業(yè)的重要理論基礎(chǔ)課程，它所提供的數(shù)學(xué)思想和方法不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的重要工具，也是培養(yǎng)學(xué)生理性思辨能力和創(chuàng)新能力的重要途徑?！胺较?qū)?shù)”是多元函數(shù)微分學(xué)的重要的概念，是刻畫多元函數(shù)變化率的重要工具，在解決許多實際問題中具有廣泛應(yīng)用，因此需要學(xué)生理解并熟練掌握方向?qū)?shù)的計算公式。

在以往的教學(xué)中，我們一般按照“回顧定義——推導(dǎo)公式——練習(xí)鞏固”的教學(xué)方法。雖然這一教學(xué)方法也能取得不錯的教學(xué)效果，但是存在著內(nèi)容枯燥、脫離實際、不宜激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等缺點。針對上述缺點，本文探討了問題驅(qū)動式的教學(xué)方法在教學(xué)過程中的實施步驟，通過“提出問題——理論推導(dǎo)——實例分析——知識拓展——小結(jié)或進一步思考”等步驟實現(xiàn)教學(xué)過程，從而使學(xué)生成為教學(xué)過程的主體，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)新能力，以此推動新工科背景下大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革與實踐。

二、教學(xué)安排

1.問題引入

案例1（圖1）：毒品有害身體健康，危害社會穩(wěn)定，但是每年仍然有大量的毒品交易，警察在緝毒過程中用的一個很重要的工具是警犬，那么請同學(xué)們思考警犬是如何找到毒品的呢？

答：聞氣味;即沿著氣味濃度增加最快的方向來尋找毒品。

案例2（圖2）：炎熱的夏天，一只螞蟻不慎落入一塊滾燙的石板中，為了逃命，螞蟻該沿著什么樣的方向快速逃生呢？

答：沿著溫度下降最快的方向逃生。

上述兩個問題中，如何找到氣味濃度增加最快的方向或者溫度下降最快的方向呢？

進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的方向?qū)?shù)可以描述函數(shù)沿給定方向的變化率，氣味濃度沿某方向增加或溫度沿某方向下降正是濃度函數(shù)或溫度函數(shù)沿給定方向的方向?qū)?shù);而上述實際問題是找出方向?qū)?shù)取最大值或最小值的方向，從而將實際問題歸結(jié)為先求濃度函數(shù)或溫度函數(shù)的方向?qū)?shù)，再求使其方向?qū)?shù)取最大值或最小值的方向。

注：上述過程我們是從日常生活中警犬緝毒和螞蟻逃生時最佳方向的選擇問題入手，引出方向?qū)?shù)的計算問題，讓學(xué)生帶著問題和興趣學(xué)習(xí)。

2.理論推導(dǎo)

首先，復(fù)習(xí)方向?qū)?shù)的定義：

指出顯然可根據(jù)定義計算方向?qū)?shù)，但這一過程非常繁瑣，由此引出推導(dǎo)方向?qū)?shù)的簡便公式。

借助函數(shù)在點P0（x0，y0）可微這一橋梁，師生共同完成了利用方向?qū)?shù)的定義構(gòu)建了方向?qū)?shù)的計算公式。

由計算公式可知，只需要求出函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)以及所給方向?qū)?yīng)的單位向量的兩個分量，然后代入公式即可得到方向?qū)?shù)，從而大大簡化了方向?qū)?shù)的計算過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。

注：此處可設(shè)置互動環(huán)節(jié)，讓學(xué)生思考推導(dǎo)過程中由f（x0，+tcosα，y0+tcosβ）-f（x0，y0）到fx（x0，y0）tcosα+fy（x0，y0）tcosβ+ο（t）轉(zhuǎn)換是否始終成立？由此強調(diào)方向?qū)?shù)計算公式成立的條件，即函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）可微分;若條件不滿足，還是利用定義計算方向?qū)?shù)。

3.實例分析

首先，結(jié)合一個具體實例講解利用計算公式求方向?qū)?shù)值的具體步驟;

其次，以警犬緝毒過程中最佳搜索方向的確定問題為背景，由方向?qū)?shù)的計算公式推導(dǎo)方向?qū)?shù)取最大值的方向。

解：建立如圖所示的坐標系，毒品位于原點處，現(xiàn)給出毒品氣味濃度的等值線（圖3）：

最佳搜索方向為氣味濃度增加最快的方向，即為方向?qū)?shù)取最大值的方向，沿任意方向的方向?qū)?shù)為：

注：上述例1鞏固了方向?qū)?shù)的計算公式，例2解決了本次課我們提出的問題，首尾呼應(yīng)，讓學(xué)生體會到了所學(xué)概念在實際問題中的應(yīng)用，大大提高了學(xué)習(xí)的積極性。

4.知識拓展

首先，設(shè)置課下思考題（圖4）。啟發(fā)學(xué)生思考如何將例2中給定位置最佳搜索方向的求解拓展為從初始地點到毒品源之最佳搜索路線的求解問題?？勺鱿鄳?yīng)的提示：利用最佳搜索方向建立關(guān)于搜索路線的微分方程。

其次，設(shè)置課后練習(xí)題（圖5）。要求學(xué)生課下給出螞蟻逃生方向選擇問題的求解方案。引導(dǎo)學(xué)生思考螞蟻逃生問題與警犬緝毒問題對方向?qū)?shù)取值要求以及具體求解過程中的不同。

5.小結(jié)及作業(yè)

回顧方向?qū)?shù)的計算公式，強調(diào)該公式成立的前提條件;同時，指出方向?qū)?shù)取最大值的方向就是下次課所要學(xué)習(xí)的梯度，要求學(xué)生提前預(yù)習(xí)并查閱梯度在最優(yōu)化、人工智能等領(lǐng)域應(yīng)用的相關(guān)資料。

布置相關(guān)作業(yè)，本節(jié)課推導(dǎo)了二元函數(shù)的方向?qū)?shù)計算公式及其取得最大值的方向，那如何建立三元函數(shù)的方向?qū)?shù)計算公式及其取得最大值或最小值的方向呢？以此鞏固學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的遷移能力。

三、總結(jié)

在方向?qū)?shù)的計算公式的教學(xué)過程中，我們主要利用了生活的實際案例，采用啟發(fā)式教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。在這一過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力和邏輯推理能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高了學(xué)習(xí)積極性和主動性，并留有相應(yīng)的思考題和練習(xí)題讓學(xué)生在課余時間通過查資料、小組討論等方式做進一步的研究，最后以書面匯報的形式上交作業(yè)，從而鞏固了本節(jié)課的知識，并為下節(jié)課的內(nèi)容學(xué)習(xí)做好準備。

上述基于問題驅(qū)動式的教學(xué)方式能夠讓學(xué)生積極主動地分析、解決問題，從而更加深刻地理解了方向?qū)?shù)的概念及其實際應(yīng)用，達到了教學(xué)目標。教師在講述其他概念如曲率、各類積分的應(yīng)用、微分方程及其應(yīng)用時均可結(jié)合上述方法進行，全都收到了非常好的教學(xué)效果。

但是教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)部分基礎(chǔ)較弱、學(xué)習(xí)主動性不強的同學(xué)明顯跟不上課堂的節(jié)奏，學(xué)習(xí)起來比較吃力;所以在后續(xù)的教學(xué)過程中對如何調(diào)動這一部分同學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，如何更好地進行分層教學(xué)將作進一步的探討。

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作者簡介：

包云霞（1979年3月-），女，漢族，山東省海陽市人，碩士研究生，講師，研究方向：貝葉斯統(tǒng)計。