構(gòu)造數(shù)列模型 巧解數(shù)學(xué)試題

付敏 高明

【摘要】構(gòu)造數(shù)列模型是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)去觀察、分析、理解對(duì)象，運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)、公式、結(jié)構(gòu)等特征，使原問(wèn)題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象中清晰地展現(xiàn)出來(lái)。構(gòu)造數(shù)列模型可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法? 數(shù)列? 數(shù)學(xué)試題

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）21-0077-02

數(shù)學(xué)試題越來(lái)越靈活多變，通過(guò)對(duì)試題的研究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法在競(jìng)賽題和高考題都有廣泛地運(yùn)用。本文將以構(gòu)造數(shù)列模型為例來(lái)闡述構(gòu)造法在數(shù)學(xué)試題中的巧妙運(yùn)用。

1.構(gòu)造數(shù)列模型，求解函數(shù)值域

求解函數(shù)值域常見(jiàn)方法有：利用函數(shù)單調(diào)性法、配方法、分離常數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、換元法、導(dǎo)數(shù)法、不等式法、圖像法、反解法等等。但如果對(duì)于形如“a+b=2c”形式的無(wú)理函數(shù)，抓住結(jié)構(gòu)特征，采用構(gòu)造等差數(shù)列的方法會(huì)使解題更加容易。

評(píng)注：此題除了構(gòu)造數(shù)列模型求解，還可以用換元法、構(gòu)造對(duì)偶式、柯西不等式等進(jìn)行求解。但構(gòu)造等差數(shù)列，將函數(shù)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的變換，試題求解會(huì)更加巧妙，計(jì)算量減少，思路簡(jiǎn)單、清晰。

2.構(gòu)造數(shù)列模型，求解函數(shù)最值

求最值常用的方法有配方法、單調(diào)性法、換元法、不等式法等等。但不同的方法對(duì)于不同的函數(shù)特征，解題的繁瑣程度會(huì)不一樣，有些方法反而不能很好的解決問(wèn)題。對(duì)于形如“a+b=2c、ab=c2”形式的題目，通過(guò)構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列往往會(huì)使題目更容易解決，收獲意想不到的結(jié)果。

評(píng)注：無(wú)理函數(shù)求最值時(shí)，常常是進(jìn)行消元，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解，或者是進(jìn)行換元，簡(jiǎn)化函數(shù)的形式，但是這些方法往往計(jì)算量大，求解過(guò)程中容易忽略定義域的變化而出現(xiàn)錯(cuò)誤。而突破常規(guī)思路、觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)變函數(shù)形式，大膽的進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列往往會(huì)簡(jiǎn)化解題。

3.構(gòu)造數(shù)列模型，求解方程（組）

評(píng)注：這兩道題都是解不熟悉的無(wú)理方程。如果直接從常規(guī)的移項(xiàng)、平方入手往往非常復(fù)雜，很難求解。但是觀察結(jié)構(gòu)特征如果將其構(gòu)造成等差（比）數(shù)列來(lái)轉(zhuǎn)化為熟悉的方程形式，求解就會(huì)顯得容易而簡(jiǎn)單了。

4.構(gòu)造數(shù)列模型，證明不等式問(wèn)題

不等式的證明通常技巧性強(qiáng)，方法多樣，可以采用比較法、分析法、綜合法等。所以不等式證明往往是通過(guò)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)隱的結(jié)構(gòu)特征，用一些巧妙的方法進(jìn)行求解。對(duì)于形如“a+b=2c”的形式，構(gòu)造數(shù)列往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。

評(píng)注：這道題解題的關(guān)鍵即是去發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)為“a+b=2c”的形式，所以聯(lián)想到借助構(gòu)建等差數(shù)列“a，c，b”，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化解決。

5.構(gòu)造數(shù)列模型，求解排列組合問(wèn)題

對(duì)于一些看似與數(shù)列無(wú)關(guān)的問(wèn)題仔細(xì)分析，觀察其遞推公式往往可以獲得新的發(fā)現(xiàn)，找到解決問(wèn)題的新的渠道，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單解。

評(píng)注：此題是排列組合類(lèi)問(wèn)題，這道題解題的關(guān)鍵即是根據(jù)題目條件，尋找解題思路，構(gòu)造數(shù)列通項(xiàng)中的遞推關(guān)系。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿挑戰(zhàn)與樂(lè)趣;構(gòu)造法的使用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的靈活性，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的奧妙性。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中有意識(shí)的培養(yǎng)各種創(chuàng)新意識(shí)與能力，開(kāi)拓眼界，發(fā)展思維，有助于提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮熙源.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（24）：95.

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