GPS數(shù)字鎖相環(huán)路設計及分析方法＊

石 嵐

（陜西國防工業(yè)職業(yè)技術學院，陜西 西安 710300）

鎖相環(huán)在通信、遙測、導航等領域有著廣泛的應用,目前的工程應用以二階環(huán)為主,三階環(huán)由于其對加速度的跟蹤能力,也得到一定程度的應用,并正受到越來越多的重視。跟蹤GPS信號需要兩個相互依賴的跟蹤環(huán):一個用于跟蹤載波頻率,稱為載波跟蹤環(huán)；另一個用于跟蹤C/A碼碼相位,稱為碼跟蹤環(huán)。這些鎖定環(huán)雖然名稱不同,但是都是屬于鎖相環(huán)的范疇。本文對這些環(huán)路的性能進行對比分析。

1 鎖相環(huán)線性模型

基本鎖相環(huán)主要用于調(diào)節(jié)本地晶體振蕩器的輸出頻率來和輸入信號的頻率相匹配?；镜腜LL如圖1所示。

圖1 基本鎖相環(huán)

圖1(a)是時域結構，圖1(b)是經(jīng)過拉普拉斯變換后的s域結構。

其開環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

誤差傳遞函數(shù)為

其中F(s)為鎖相環(huán)低通濾波器傳遞函數(shù),k0為放大器增益,k1為VCO的增益，由于是簡單相乘關系，本文中統(tǒng)一為k=k0×k1。可以看出,環(huán)路低通濾波器的傳遞函數(shù)不僅可以決定PLL的階數(shù),自然頻率,衰減系數(shù),噪聲帶寬,還很大程度上影響PLL的性能,因此,環(huán)路低通濾波器是PLL的關鍵組成部分。

2 環(huán)路低通濾波器

環(huán)路低通濾波器的作用是降低噪聲以便在濾波器輸出端對原始信號產(chǎn)生精確的估計。環(huán)路低通濾波器的階數(shù)和噪聲帶寬決定了低通濾波器對信號的動態(tài)響應。GPS系統(tǒng)中常用的1階和2階環(huán)路低通濾波器函數(shù)分別為：

圖2給出了這兩種環(huán)路低通濾波器的方框圖[1]。

圖2 環(huán)路低通濾波器

為了建立數(shù)字化處理的軟件鎖相環(huán)，必須將離散系統(tǒng)轉變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)，采用雙線性變換法將傳遞函數(shù)連續(xù)的s域模型轉變?yōu)閿?shù)字的z域模型，轉換方法為：

圖3示出了模擬和數(shù)字積分器的方框圖。

圖3 模擬和數(shù)字積分器

將圖2(a)中的1/s用數(shù)字積分器替代，得到圖4的一階數(shù)字環(huán)路低通濾波器模型。同樣，二階數(shù)字低通濾波器只需將圖2(b)中的1/s用圖3中的數(shù)字積分器代替，傳遞函數(shù)F(s)即可從s平面轉換到z平面。

圖4 一階數(shù)字環(huán)路低通濾波器

圖2,4中兩種環(huán)路低通濾波器的參數(shù)通常根據(jù)表1進行選擇，表中R為衛(wèi)星的視距距離,給定環(huán)路濾波器噪聲帶寬凡便可以計算出自然頻率ω0。實際應用中,可以根據(jù)設計要求來選取合適的環(huán)路低通濾波器

表1 環(huán)路低通濾波器特性

3 三階鎖相環(huán)參數(shù)設計

三階鎖相環(huán)環(huán)路濾波器的設計中，經(jīng)常采用理想二階濾波器模型，濾波器函數(shù)為：

鎖相環(huán)開環(huán)方程為：

閉環(huán)方程為：

利用伯德法則，當開環(huán)增益為1時，其相位余量必須大于0，閉環(huán)才能穩(wěn)定。根據(jù)開環(huán)方程，先計算臨界頻率：

得到：

要求相位裕量大于0，則有：

根據(jù)定積分的計算方法[2]，得到：

令

整理得：

由上式得到：

由(9)式和(10)式可得，r＞1是環(huán)路穩(wěn)定的必要條件，本文取r=2進行下面的仿真。

將模擬鎖相環(huán)轉化為數(shù)字鎖相環(huán)，采用并聯(lián)數(shù)字濾波器結構，如圖5所示。

圖5 二階數(shù)字低通濾波器結構

其函數(shù)表達式為：

4 鎖相環(huán)性能比較

為了研究鎖相環(huán)路的特性，通常要研究三種類型的輸入信號，一類是相位階躍信號[3]

另一類是頻率階躍信號：

以及頻率漸變信號：

繪制環(huán)路的響應曲線可以使用z變換得到的數(shù)字環(huán)路進行仿真，也可以通過反拉氏變換得到時域曲線。如二階鎖相環(huán)，濾波器函數(shù)為：

誤差傳遞函數(shù)為：

當輸入為時，誤差函數(shù)為：

根據(jù)表 1， 取 a2=1.414,k=1, 帶寬 Bn=10Hz，則w0=18.9。

利用Matlab中的ilaplace（hs）函數(shù)，可以得到時域誤差函數(shù)，m文件為：

且由圖6可見，由數(shù)字環(huán)路仿真得到的曲線（根據(jù)圖4，z變換）與通過反拉氏變換得到式(19)的時域曲線完全重合。

圖6 z變換與反拉氏變換曲線圖

圖7 鎖相環(huán)輸入響應

圖7(a)為三種鎖相環(huán)的相位階躍響應，圖7(b)為頻率階躍響應，圖7(c)為頻率漸變響應，圖7(d)為正弦輸入響應，正弦輸入信號的頻率為0.1Hz。鎖相環(huán)帶寬Bn均為 10Hz，對于理想三階環(huán)，增益 k=0.5，r=2。

上述結果均為理想鑒相器條件下獲得，從誤差曲線觀察，相似參數(shù)條件下兩種構型的三階環(huán)對相位階躍和頻率階躍的響應效果不如二階環(huán)，容易出現(xiàn)振蕩或跟蹤緩慢，而對于頻率漸變響應，可以看出二階環(huán)的穩(wěn)態(tài)誤差不為零，對于正弦輸入響應，二階環(huán)的誤差在輸入信號的頻率為低于0.5Hz時不如兩種三階環(huán)，輸入頻率增加時，所有環(huán)路誤差都將增大。

5 結束語

本文對三種鎖相環(huán)路特性進行了推導，對各環(huán)路的相位階躍響應、頻率階躍響應和正弦輸入響應進行了對比，從對比結果觀察，二階鎖相環(huán)路對于一般的相位階躍及頻率階躍輸入信號有很好的適應性，高階鎖相環(huán)路對具有頻率漸變特性的輸入信號適應性好，但需要合理的選擇參數(shù)，避免出現(xiàn)環(huán)路振蕩或收斂緩慢。