一種基于乘子法的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

徐柳， 王錟， 杜義賢， 劉晉瑋， 黃文超， 王林軍

（三峽大學(xué)a.水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌443002）

0 引 言

在工程設(shè)計(jì)中，材料不均勻、安裝誤差等問題的存在，往往會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)性能造成各種影響甚至破壞。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)沒有考慮施工過程中的不確定因素，而實(shí)際施工中載荷和材料性質(zhì)等不斷變化，這些不確定因素會(huì)使失效概率不斷增大。為了確保產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)可靠性，有必要對(duì)不確定結(jié)構(gòu)可靠度分析方法進(jìn)行研究。目前，大量研究者為了解決實(shí)際工程問題，發(fā)展和提出了許多先進(jìn)的計(jì)算方法[1-6]。徐強(qiáng)等[7]提出了大壩體系可靠度改進(jìn)計(jì)算方法；黃逸群等[8]對(duì)實(shí)際工程問題中隧道型鋼噴混凝土初期支護(hù)進(jìn)行可靠度計(jì)算；高東川等[9]使用一次二階矩理論中心點(diǎn)法預(yù)測(cè)了支護(hù)后的軟巖巷道圍巖的穩(wěn)定性；肖宇峰[10]提出了一種基于子網(wǎng)同構(gòu)判定的高效計(jì)算方法；李懷龍等[11]計(jì)算了軌道板橫向?qū)捾壵韱卧能壪陆孛婧桶逯薪孛娴目煽慷?；李奎等[12]研究了深埋隧道素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型，并進(jìn)行了相關(guān)可靠性分析計(jì)算；王鵬等[13]提出了基于應(yīng)力-強(qiáng)度模型的DTECS -2 設(shè)備可靠度計(jì)算方法；Hamed Fazlollahtabara等[14]提出了一個(gè)用于可靠度計(jì)算的集成馬爾可夫和反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過分析發(fā)現(xiàn)，乘子法在處理實(shí)際工程結(jié)構(gòu)可靠性分析問題時(shí)具有較好的效果。

基于此，本文提出一種基于乘子法的結(jié)構(gòu)可靠分析方法，該方法穩(wěn)定有效地解決不確定結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)求解問題，數(shù)值算例和工程實(shí)例驗(yàn)證了所提出的方法在解決可靠性分析問題時(shí)具有較好的穩(wěn)定性和有效性。

1 乘子法理論介紹

在最優(yōu)化理論中，罰函數(shù)法是求解約束優(yōu)化問題的一個(gè)重要方法，把約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題，通過無約束問題來求解約束極值問題。通常采用的方法是在原目標(biāo)函數(shù)加上一個(gè)“懲罰項(xiàng)”來迫使迭代點(diǎn)逼近可行域。通常情況下，必須使用罰參數(shù)與約束條件來構(gòu)造懲罰項(xiàng)。當(dāng)前迭代點(diǎn)不是可行點(diǎn)時(shí)，就要構(gòu)建懲罰項(xiàng)，并且使得懲罰隨著不可行點(diǎn)到可行域距離的增大而變大；可行點(diǎn)處不實(shí)施懲罰。懲罰項(xiàng)強(qiáng)制迭代點(diǎn)逼近可行域，最終落入可行域。外罰函數(shù)法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以直接調(diào)用無約束優(yōu)化算法的通用程序, 但是也具有局限性，罰參數(shù)σk→+∞,會(huì)使得增廣目標(biāo)函數(shù)變得“越來越病態(tài)”。為了改善這種局限，在乘子法中引入拉格朗日函數(shù)，并加上適當(dāng)?shù)牧P函數(shù)。Powell和Hestenes在1969年針對(duì)等式約束優(yōu)化問題同時(shí)獨(dú)立提出了乘子法，后來Rockfellar在1973年將乘子法推廣到求解不等式約束優(yōu)化問題。從原問題的拉格朗日函數(shù)出發(fā),加上適當(dāng)?shù)牧P函數(shù),可以將原問題轉(zhuǎn)化為一系列的無約束優(yōu)化子問題。

對(duì)于等式約束問題，數(shù)學(xué)模型可以表示為：

其中，h（x）=[h1（x）,h2（x）,…,hl（x）]T，可行域D={x∈Rn|h（x）=0}，拉格朗日函數(shù)為

2 可靠度算例

2.1 數(shù)值算例

極限狀態(tài)方程為

x1與x2相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布。變量分布參數(shù)取值如表1所示。根據(jù)本文方法，經(jīng)過4次迭代，求得可靠度指標(biāo)β=2.3302，迭代計(jì)算數(shù)據(jù)見表2。使用改進(jìn)一次二階矩（AFOSM）法檢驗(yàn)，經(jīng)過11次迭代，求得可靠度指標(biāo)β=2.3302，迭代計(jì)算數(shù)據(jù)見表3。兩種方法的可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果及失效概率見表4。

表1 各隨機(jī)變量分布參數(shù)取值情況

表2 乘子法迭代計(jì)算數(shù)據(jù)

表3 AFOSM法迭代計(jì)算數(shù)據(jù)

表4 兩種方法的可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果及失效概率

根據(jù)表2和表3可知，與可靠度指標(biāo)β越大、失效概率Pf越小的一般規(guī)律相吻合。隨著迭代過程的進(jìn)行，可靠度與失效概率均逐漸趨于穩(wěn)定，本文方法只需經(jīng)過4次迭代即可得出結(jié)果，而AFOSM法則需要經(jīng)過11次迭代才能得出結(jié)果。根據(jù)表4，使用本文方法和AFOSM法，最終都收斂于點(diǎn)（11.1855,1.6549），可靠度指標(biāo)β=2.3302，失效概率Pf=0.0099。兩種方法的可靠度指標(biāo)和迭代次數(shù)之間的關(guān)系如圖1所示。本文方法的目標(biāo)函數(shù)收斂曲線如圖2所示，目標(biāo)函數(shù)等值線如圖3所示，目標(biāo)函數(shù)等值線局部放大圖如圖4所示。AFOSM法的目標(biāo)函數(shù)曲線圖如圖5所示,目標(biāo)函數(shù)等值線如圖6所示，目標(biāo)函數(shù)等值線局部放大圖如圖7所示。

圖1 迭代次數(shù)和可靠度之間的關(guān)系

圖2 乘子法目標(biāo)函數(shù)曲線圖

圖3 乘子法目標(biāo)函數(shù)等值線

圖4 乘子法目標(biāo)函數(shù)等值線局部放大圖

從圖1～圖7中可看出，本文方法和AFOSM法在求解可靠度指標(biāo)時(shí)都能得到穩(wěn)定和有效的解，但本文算法很快收斂，且得到精度較高的解。總之，本文所提出的方法對(duì)于不確定結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)問題具有較好的適用性。

圖5 AFOSM法目標(biāo)函數(shù)曲線圖

圖6 AFOSM 法目標(biāo)函數(shù)等值線

圖7 AFOSM法目標(biāo)函數(shù)等值線局部放大圖

2.2 汽車側(cè)碰分析

在交通事故中，汽車發(fā)生側(cè)面碰撞時(shí)緩沖空間小，車體變形大。側(cè)圍結(jié)構(gòu)侵入量、侵入速度和侵入形態(tài)等對(duì)乘員安全性具有較大影響，B柱最大侵入量是衡量汽車側(cè)碰中耐撞性的重要指標(biāo)。可移動(dòng)障壁以50 km/h的速度從側(cè)面撞向汽車側(cè)身，側(cè)碰有限元模型如圖8所示，車輛側(cè)碰設(shè)計(jì)變量如圖9所示，以汽車關(guān)鍵設(shè)計(jì)尺寸中左側(cè)車體框架厚度x1、左前車門防撞梁厚度x2、左側(cè)A柱內(nèi)板厚度x3和外板厚度x4為設(shè)計(jì)變量，邊緣BPA如表5所示，x1、x2、x3、x4相互獨(dú)立[15]。

圖8 汽車側(cè)碰有限元模型

圖9 車輛側(cè)碰設(shè)計(jì)變量

借助實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，運(yùn)用拉丁超立方設(shè)計(jì)方法從設(shè)計(jì)空間中選28個(gè)樣本點(diǎn)，調(diào)用有限元模型分析，構(gòu)建最大侵入量b的響應(yīng)面函數(shù)。B柱下端最大允許侵入量bmax=290 mm，可建立如下極限狀態(tài)方程：

列出以下3種參數(shù)取值，求解可靠度指標(biāo)。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)具有一定非線性程度功能函數(shù)的可靠性分析問題，提出了一種基于乘子法的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。該方法充分利用外函數(shù)求解非線性優(yōu)化問題的優(yōu)點(diǎn)，從乘子法的KT條件出發(fā)，快速求解追蹤到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值算例和工程算例的計(jì)算結(jié)果表明，相對(duì)于AFOSM方法，本文所提出的方法對(duì)求解非線性程度較高的極限狀態(tài)方程具有較好的收斂速率。同時(shí)，本文方法將來可應(yīng)用于一些復(fù)雜工程問題結(jié)構(gòu)的可靠度反問題中，還可以應(yīng)用在串并聯(lián)可靠性分析求解問題。