多Euler-Lagrange系統(tǒng)有限時間跟蹤控制

林曉涵, 史小平,*, 鄒世琦,李師輪

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) a. 控制與仿真中心；b. 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引 言

在多智能體協(xié)同飛行控制中，目標(biāo)跟蹤控制在近年得到了國內(nèi)外學(xué)者廣泛的關(guān)注和研究。而多Euler-Lagrange系統(tǒng)可求解較復(fù)雜的非線性質(zhì)點系統(tǒng)，且具有表達式簡潔、應(yīng)用時只需計算系統(tǒng)的動能和廣義力[1-4]等優(yōu)點,被應(yīng)用于無人機[5]、航天器編隊飛行[6]、機械臂[7]等非線性物理系統(tǒng)。因此基于Euler-Lagrange動力學(xué)模型的多智能體系統(tǒng)跟蹤控制具有明顯的通用性和研究意義[8]。

多Euler-Lagrange系統(tǒng)跟蹤控制問題是多智能體協(xié)同控制中重要的組成部分，具有實際的應(yīng)用意義和研究前景，目前主要的研究方法包括自適應(yīng)控制[9]、復(fù)雜邏輯控制[10]、H∞控制[11]等，其中滑模控制因其結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快、強魯棒性的優(yōu)點被應(yīng)用解決多Euler-Lagrange系統(tǒng)控制問題。文獻[12]在系統(tǒng)存在模型不確定性和外界干擾的情況下，選取合適的有限時間滑模變量，提出了分布式有限時間包含跟蹤控制算法。文獻[13]考慮多Euler-Lagrange系統(tǒng)在含有障礙物情況下的跟蹤控制問題，并基于改進的非奇異終端滑模面設(shè)計了有限時間控制算法，使跟蹤誤差有限時間內(nèi)收斂到目標(biāo)位置。然而，在實際應(yīng)用中由于所提出的控制律具有不連續(xù)性等特點，滑模控制會引起不可忽略的抖振現(xiàn)象，因此高階滑?？刂频奶岢黾缺Ａ袅私?jīng)典滑模控制的優(yōu)點，又提高了系統(tǒng)的控制精度和控制性能。文獻[14]基于超分觀測器對具有干擾的二階積分系統(tǒng)設(shè)計了連續(xù)的控制器。文獻[15]在考慮外部干擾和內(nèi)部不確定性的情況下，對航天器非線性系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤控制設(shè)計了有限時間二階滑?？刂扑惴?，并引入線性修正項提高閉環(huán)系統(tǒng)的動力學(xué)性能。

在多Euler-Lagrange系統(tǒng)的跟蹤過程中，為了快速完成控制目標(biāo)任務(wù)，使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，所以有限時間控制具有重要而有效地工程應(yīng)用意義。文獻[16]考慮輸入飽和且存在誤差約束的情況下，為含有不確定性的多Euler-Lagrange系統(tǒng)設(shè)計了分布式有限時間跟蹤控制律，并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)未知項進行實時在線補償。文獻[17]進一步考慮速度信息無法測量的情況下，利用齊次性原理為系統(tǒng)設(shè)計了分布式有限時間跟蹤控制算法，實現(xiàn)了對期望目標(biāo)的跟蹤控制。文獻[18]引入一階和二階分布式滑模估計器分別保證在有限時間內(nèi)對速度和位置準(zhǔn)確地估計，并提出相應(yīng)的有限時間分布式編隊控制算法，實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)有限時間跟蹤控制。

上述文獻都只考慮了某一部分的作用情況，而對于考慮出現(xiàn)抖振現(xiàn)象的多Euler-Lagrange系統(tǒng)協(xié)同跟蹤控制則很少考慮。由于引入非奇異終端滑模面所得到的控制器避免抖振現(xiàn)象的出現(xiàn)，且超螺旋滑?？梢员苊舛墩瘳F(xiàn)象的發(fā)生。因此本文利用非奇異終端滑模面與超螺旋算法相互結(jié)合，實現(xiàn)有限時間跟蹤控制的目的。在本文中首先提出相應(yīng)代表系統(tǒng)智能體數(shù)學(xué)描述的多Euler-Lagrange系統(tǒng)方程，并對有限時間理論的相關(guān)引理進行分析；其次，選取合適的非奇異終端滑模面，并結(jié)合超螺旋滑?？刂铺岢隽艘粋€超螺旋非奇異終端滑模有限時間控制器，通過選取合理的Lyapunov函數(shù)方法，證明了多Euler-Lagrange系統(tǒng)有限時間收斂。最后，通過仿真結(jié)果表明本文所提出方法能夠有效地實現(xiàn)控制目標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和問題描述

1.1 多Euler-Lagrange系統(tǒng)模型

本文假設(shè)多Euler-Lagrange系統(tǒng)由n個智能體組成，其中第i個智能體的動力學(xué)模型為：

(1)

在本文中，多Euler-Lagrange系統(tǒng)滿足以下假設(shè)和性質(zhì)：

(2)

性質(zhì)3多Euler-Lagrange系統(tǒng)模型不確定性和干擾是有界的：

(3)

其中dm為已知常量。

定義Euler-Lagrange系統(tǒng)的跟蹤誤差向量為e=q-qd=[e1,…,en]T，其中qd∈Rn為期望跟蹤軌跡，根據(jù)式(1)可得到跟蹤誤差動力學(xué)模型：

(4)

1.2 相關(guān)引理

考慮系統(tǒng)如下形式：

(5)

其中f:U0→Rn為定義在x=0的開鄰域U0∈Rn上的一個連續(xù)函數(shù)。

引理 1[19]對于系統(tǒng)(5)，若存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)V(t)，使如下微分不等式成立：

(6)

其中λ1為正實數(shù)，σ∈(0,1)，則原點為系統(tǒng)的局部有限時間平衡點，且收斂時間t滿足如下不等式：

(7)

其中x0為系統(tǒng)狀態(tài)的初始值。

2 控制器設(shè)計

控制目標(biāo)：針對多Euler-Lagrange系統(tǒng)有限時間的跟蹤控制問題，提出適合系統(tǒng)的非奇異終端滑模面，并引入連續(xù)超螺旋高階控制項，設(shè)計了基于超螺旋高階的非奇異終端滑?？刂品椒ǎ苟郋uler-Lagrange系統(tǒng)能夠消除抖振現(xiàn)象的發(fā)生，同時在有限時間內(nèi)實現(xiàn)對期望目標(biāo)的跟蹤。

選取非奇異終端滑模面為：

(8)

其中s(t)=[s1,s2,…,sn]T，α,β>0為已知常量參數(shù)。

證明1：若s(t)=0，式(8)可以寫為：

(9)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(10)

對式(10)關(guān)于時間求導(dǎo)：

(11)

為實現(xiàn)控制目標(biāo)，本文采用超螺旋滑模提出了一個超螺旋非奇異終端滑模有限時間控制器，其特點是有限時間收斂且無抖振現(xiàn)象。

基于超螺旋非奇異終端滑?？刂品椒?，設(shè)計相對應(yīng)控制要求的控制器：

(12)

(13)

(14)

證明2：由式(8)可知：

(15)

將控制器式(12)、式(13)代入式(15)可得:

(16)

選取Lyapunov函數(shù)為：

V2(t)=θTΓθ

(17)

其中:

(18)

(19)

定義向量空間如下：Θ={(s,γ)∈Rn:s=0}。

則由分析可知，Lyapunov函數(shù)V2(t)在空間Θ正定且無界，滿足：

(20)

對上式Lyapunov函數(shù)關(guān)于時間求導(dǎo)：

(21)

其中：

(22)

(23)

則：

(24)

其中：

(25)

經(jīng)過計算證明可知，若式(14)成立，且式(25)中滿足Λ>0，則V2(t)非負(fù)正定。

由式(20)可得：

(26)

(27)

聯(lián)立式(26)、式(27)，代入式(24)可得：

(28)

其中：

(29)

(30)

3 仿真分析

本節(jié)對含有多Euler-Lagrange系統(tǒng)的航天器編隊飛行系統(tǒng)進行相關(guān)的仿真分析，并驗證所提出控制律的準(zhǔn)確性和有效性。

選取具有代表性的航天器編隊飛行系統(tǒng)，利用修正羅德里格參數(shù)來描述編隊飛行中第i顆航天器的姿態(tài)運動學(xué)和動力學(xué)模型，如下所示：

(31)

(32)

根據(jù)上述分析，可將式(31)和式(32)聯(lián)立并轉(zhuǎn)換為Euler-Lagrange方程形式：

(33)

其中：

Mni(σi)=G-T(σi)JiG-1(σi)

(34)

(35)

uni=G-T(σi)ui

(36)

dni=G-T(σi)di

(37)

在仿真過程中，考慮3顆航天器編隊飛行的相應(yīng)情況，設(shè)置相應(yīng)參數(shù)如下，航天器轉(zhuǎn)動慣量矩陣分別為：J1=[10,0.5,0.5;0.5,10,0.5;0.5,0.5,10]Tkg·m2，J2=[15,0.5,0.5;0.5,15,0.5;0.5,0.5,15]Tkg·m2，J3=[10,0.6,0.6;0.6,10,0.6;0.6,0.6,10]Tkg·m2；航天器初始角速度均為：ωi(0)=[0,0,0]Trad/s；航天器初始姿態(tài)角分別為：σ1(0)=[0.05,0.05,-0.05]T，σ2(0)=[0.05,-0.05,0.05]T，σ3(0)=[-0.05,0.05,0.05]T。航天器所受到的外部擾動為：di=0.05[sin(0.5t),cos(0.5t),sin(0.5t)]TN·m。所設(shè)計控制器中的各項參數(shù)設(shè)定為：λ1=8，λ2=6。

在控制器式(12)、式(13)作用下的相對控制力變化曲線、相對姿態(tài)跟蹤誤差變化曲線、相對角速度跟蹤誤差變化曲線分別見圖1、圖2、圖3。根據(jù)仿真結(jié)果可見，航天器編隊飛行系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時間內(nèi)對期望狀態(tài)軌跡的協(xié)同跟蹤控制，且姿態(tài)和角速度跟蹤誤差均趨近于零。并且在初始階段控制力存在較大幅度的振蕩，當(dāng)航天器編隊飛行系統(tǒng)的姿態(tài)和角速度跟蹤誤差均趨于收斂時，控制力變化可以保持在較小范圍振蕩，由此可見，航天器編隊飛行系統(tǒng)可在有限時間跟蹤控制目標(biāo)，且具有較快的收斂跟蹤性能和較為準(zhǔn)確的控制跟蹤精度。

圖1 航天器編隊飛行系統(tǒng)相對控制力變化曲線Fig.1 Diagram of the relative control input for spacecraft formation flying system

圖3 航天器編隊飛行系統(tǒng)相對角速度變化曲線Fig.3 Diagram of the relative angular velocity for spacecraft formation flying system

圖2 航天器編隊飛行系統(tǒng)相對姿態(tài)變化曲線Fig.2 Diagram of the relative attitude for spacecraft formation flying system

4 結(jié) 論

本文針對多Euler-Lagrange系統(tǒng)進行有限時間協(xié)同跟蹤控制。分析建立多Euler-Lagrange系統(tǒng)跟蹤動力學(xué)誤差模型，并通過引入連續(xù)超螺旋控制算法，與所提出的非奇異終端滑模面相互結(jié)合，在所設(shè)計的控制器作用下，多Euler-Lagrange系統(tǒng)能夠消除抖振現(xiàn)象的發(fā)生，并完成有限時間跟蹤期望目標(biāo)的要求。通過仿真結(jié)果驗證了本文所提出控制器的合理性和有效性，為后續(xù)針對存在擾動影響的多Euler-Lagrange系統(tǒng)具有一定的啟發(fā)性和研究基礎(chǔ)。