從“認(rèn)數(shù)”開始，開啟數(shù)感啟蒙之旅

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 李艷蘋

什么是數(shù)感？數(shù)感主要是指對數(shù)的感悟，包括對數(shù)與數(shù)量、數(shù)理關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的運(yùn)用、駕馭與感悟能力。新課標(biāo)指出：認(rèn)數(shù)教學(xué)作為主要教學(xué)內(nèi)容之一，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的主要途徑。認(rèn)數(shù)即是實(shí)際生活的需要，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的知識(shí)基礎(chǔ)。如何實(shí)施中低年級的認(rèn)數(shù)教學(xué)，又有哪些注意點(diǎn)呢？下面將結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勎业目捶ā?/p>

一、整體把握教材中“認(rèn)識(shí)自然數(shù)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)

縱觀教材，“數(shù)的認(rèn)識(shí)”在不同學(xué)段均有分布，第一學(xué)段的主要內(nèi)容是在具體的情境中認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)、初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，第二學(xué)段的主要內(nèi)容是在具體情境中認(rèn)識(shí)萬以上的數(shù)，理解小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的意義。以認(rèn)識(shí)自然數(shù)為例，這一內(nèi)容在教材中是完整而連貫的，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)和水平，蘇教版教材將對自然數(shù)的認(rèn)識(shí)分配在以下幾個(gè)年級的教學(xué)中：

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從整體上看，一年級主要側(cè)重于100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，二、四年級則側(cè)重于較大數(shù)和大數(shù)的認(rèn)識(shí)，“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”主要建立在小數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，由于生活素材和認(rèn)知起點(diǎn)的不同，認(rèn)識(shí)“小數(shù)”和“大數(shù)”在教學(xué)策略上應(yīng)各有側(cè)重。

二、“100 以內(nèi)數(shù)教學(xué)”——淺析低年級學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)

對一年級學(xué)生來說，“數(shù)感”起初只是一種直覺的感悟。一個(gè)剛?cè)胍荒昙壍暮⒆蛹议L曾焦急地問我，我的孩子能夠順利從1 數(shù)到20，但是從中間某一個(gè)數(shù)——比如從7 開始，便不知后面是幾。顯然，家長在教孩子數(shù)數(shù)時(shí)，只要求孩子按照背誦課文的模式去背誦0到20 這些數(shù)，孩子在腦海中無法感受數(shù)的大小、無法形成清晰地按照從大到小或是從小到大的數(shù)的排列順序。學(xué)齡前兒童具備一定的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，但不可能在天然或是短暫的時(shí)間內(nèi)形成良好的數(shù)感、理解數(shù)的意義，因此需要教師在低年級教學(xué)中進(jìn)行有意識(shí)的培養(yǎng)。

1.“一一對應(yīng)”，借助實(shí)物感知數(shù)的多少

數(shù)是一個(gè)抽象的概念，如何理解“5 是一個(gè)數(shù)”？這其實(shí)是一個(gè)將具體事物抽象的過程。生活中不可能找到5 這個(gè)數(shù)字，但我們可以找到“5 個(gè)蘋果”“5 個(gè)小朋友”“一只手上有5 根手指”等，這里的5 是和具體的實(shí)物一一對應(yīng)的。在教學(xué)“認(rèn)識(shí)1～5”時(shí)，先把物體的數(shù)量和圓片的數(shù)量一一對應(yīng)，圓片是實(shí)物的代替物，在這里便實(shí)現(xiàn)了半抽象的過程，最后再由圓片逐步抽象到數(shù)的概念，讓學(xué)生在實(shí)物與數(shù)的對應(yīng)中充分感受到數(shù)的多少。數(shù)是數(shù)出來的，有了充分的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)后，當(dāng)比較7和9 的多少時(shí)，學(xué)生便能夠輕易聯(lián)想到7個(gè)蘋果和9 個(gè)蘋果數(shù)量的多少，從而聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對比。

教學(xué)時(shí)，例如在“認(rèn)識(shí)1～5”的教學(xué)中，我們還常常問道：“1 還可以表示什么？2、3、4、5 呢？”實(shí)現(xiàn)由數(shù)和不同物體的一一對應(yīng)，即同一個(gè)數(shù)可以表示不同的事物，豐富了對數(shù)的多少的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)了由抽象到具體的思維過程。

2.給數(shù)找個(gè)“家”，在數(shù)軸上體會(huì)數(shù)的順序

數(shù)的順序不是背出來的，而是學(xué)生充分感受到數(shù)的多少后而進(jìn)行的排序。在教學(xué)中，我借助直尺引入了數(shù)軸，對低年級的孩子來說，認(rèn)識(shí)數(shù)軸其實(shí)并不難，反而更有益于孩子對數(shù)的理解。我這樣比喻數(shù)軸：“數(shù)軸是所有數(shù)的家。”有孩子問道：“100、1000 那些大的數(shù)住在哪呢？”立刻有孩子補(bǔ)充：“數(shù)軸是可以延長的！”簡單的對話便揭露了數(shù)軸的一大特征，在無限延長中也體現(xiàn)了孩子對“數(shù)無限”的初步感知。

較特殊的是0 的位置，但如果孩子能夠清楚明白0 的含義—一個(gè)也沒有，0 的位置就顯而易見了（比1 少）。教材中說到0 有多層含義，但細(xì)細(xì)想來，無論是表示什么都沒有、表示起點(diǎn)或表示某一特定溫度，它都表示了一個(gè)數(shù)的多少，它所在的位置以及體現(xiàn)的數(shù)的順序是完全相同的。

3.改變傳統(tǒng)數(shù)數(shù)方式，區(qū)分基數(shù)和序數(shù)

基數(shù)和序數(shù)是一年級學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，多數(shù)學(xué)生容易將基數(shù)和序數(shù)混為一談，將“第幾”理解為“幾個(gè)”?；鶖?shù)和序數(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)也有其自身的原因，大人們也常常讓孩子數(shù)一數(shù)這是幾個(gè)或那是幾個(gè)，接觸的往往是數(shù)作為基數(shù)的含義，而對于數(shù)作為序數(shù)的另一個(gè)含義，孩子很少接觸，導(dǎo)致對序數(shù)概念的生活經(jīng)驗(yàn)缺失。其實(shí)仔細(xì)想來，當(dāng)孩子指著蘋果數(shù)出“1、2、3……”的時(shí)候，每一個(gè)數(shù)都是指當(dāng)下數(shù)到的那一個(gè)蘋果，即序數(shù)。針對這種情況，教師初次教學(xué)中可以稍加調(diào)整，有意識(shí)地讓學(xué)生在數(shù)數(shù)的時(shí)候數(shù)出“第一個(gè)”“第二個(gè)”“第三個(gè)”……讓學(xué)生通過實(shí)踐的操作感受數(shù)數(shù)過程中某一個(gè)數(shù)的具體所指，對比最終數(shù)出的數(shù)量，區(qū)別基數(shù)與序數(shù)。

三、百聞不如一數(shù)——大數(shù)教學(xué)中的“數(shù)數(shù)”探索

在一年級的100 以內(nèi)較小的數(shù)的教學(xué)中，我們提倡學(xué)生去數(shù)數(shù)，充分感受數(shù)的多少和數(shù)的順序，有了清楚的數(shù)的概念。然而對于大數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)數(shù)似乎并不好操作，我們往往更為重視抽象數(shù)的理解，學(xué)生理解數(shù)的組成、掌握數(shù)的順序、清楚各個(gè)數(shù)級……那么還需要去數(shù)嗎？

教學(xué)時(shí)有這樣一個(gè)現(xiàn)象，當(dāng)孩子學(xué)習(xí)一千時(shí)說：“1000 好大呀，估計(jì)全校的學(xué)生有1000 人那么多！”當(dāng)孩子學(xué)習(xí)一萬時(shí)說：“10000好大呀，估計(jì)全校的學(xué)生有10000 人那么多！”當(dāng)孩子學(xué)習(xí)到一億時(shí)說：“一億好大呀，估計(jì)我的頭發(fā)有一億根那么多！”（人的頭發(fā)大約有十萬根），顯然這些估計(jì)的誤差都是非常大的，是因?yàn)閷W(xué)生“估”的能力不夠嗎？不是的，他們能較準(zhǔn)確地估計(jì)出100 以內(nèi)物體的數(shù)量——學(xué)生估計(jì)物體數(shù)量的時(shí)候，需要有清楚的數(shù)的概念。他們雖能明白10 個(gè)一百是1000、10 個(gè)一千是10000，但對于1000 甚至比1000 更大的數(shù)，缺乏生活經(jīng)驗(yàn)的他們是沒有這些數(shù)具體的概念的。怎樣建立數(shù)的具體概念？百聞不如一數(shù)，要真正體驗(yàn)數(shù)的多少，還是需要直觀地看、仔細(xì)地?cái)?shù)。數(shù)那么大，怎么數(shù)？

1.一千有多大？

在教學(xué)“1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，我出示了一篇古文——千字文，并整理為 5 句一行，5 行一段：

“天地玄黃 宇宙洪荒 日月盈昃 辰宿列張 寒來暑往

秋收冬藏 閏余成歲 律呂調(diào)陽 云騰致雨 露結(jié)為霜

金生麗水 玉出昆岡 劍號巨闕 珠稱夜光 果珍李柰

菜重芥姜 海咸河淡 鱗潛羽翔 龍師火帝 鳥官人皇

始制文字 乃服衣裳 推位讓國 有虞陶唐 吊民伐罪”

……

“一共有多少個(gè)字？”通過觀察，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)一行有 20 個(gè)字，于是自發(fā)地 20、40、60……地?cái)?shù)起來，數(shù)到 100 正好是一段，便又可以一段一段，即一百一百地?cái)?shù)。這里無論是二十二十地?cái)?shù)，還是一百一百地?cái)?shù)，都是結(jié)合實(shí)物去數(shù)的——真實(shí)地看到了每個(gè)“20”和“100”，這樣既節(jié)約了時(shí)間，又能夠讓學(xué)生真實(shí)地看到1000 個(gè)字有多少，體會(huì)1000 有多大。

2.一萬有多大？

雖然熟知“10 個(gè)一千是一萬”，但以孩子兩年的數(shù)感積累，想象“一萬有多大”是比較困難的，超過千的數(shù)都只能用“很大”來形容，大到?jīng)]有辦法想象，且生活中能直觀表示一萬數(shù)量的例子太少了！怎樣在孩子的腦海中建立一萬的概念、幫助孩子理解一萬有多大呢？我在班級開展了這樣兩項(xiàng)活動(dòng)：

（1）“接龍數(shù)萬”。

活動(dòng)前，一個(gè)孩子這樣形容一萬：“我覺得一萬看起來很少，因?yàn)槲医衲甑膲簹q錢大于一萬”。是的，一百一百地?cái)?shù)，一萬看起來確實(shí)不多。那一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)呢？數(shù)是數(shù)出來的，建立關(guān)于“數(shù)”的全景，就要腳踏實(shí)地帶著孩子，一步一步地積累有關(guān)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，拓展兒童視角。每節(jié)課前我利用2 分鐘進(jìn)行接龍數(shù)數(shù)，第一天從1 開始一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，并記錄最終數(shù)到的數(shù)，第二天接著繼續(xù)數(shù)，目標(biāo)是數(shù)到10000?；顒?dòng)距今已經(jīng)歷時(shí)一個(gè)月，目前我班已數(shù)到2500 左右，數(shù)到10000 指日可待。

（2）“百人寫萬”。

怎樣把數(shù)過的數(shù)“留住”，讓孩子直觀地看到“10000”，形成具體的數(shù)感，我在備課組內(nèi)策劃了“百人寫萬”的活動(dòng)，每班進(jìn)行兩次整班書寫，每人按分配的內(nèi)容完成一個(gè)“整百”的書寫，并在每個(gè)“整百”中挑選1 幅作品在“萬數(shù)墻”上展示，并組織各班進(jìn)行瀏覽參觀。

每一位同學(xué)都經(jīng)歷了寫一個(gè)“整百”的過程，當(dāng)看到萬數(shù)墻上“100個(gè)百”，孩子們紛紛留言：

“一個(gè)人寫的話一定需要很長時(shí)間?！?/p>

“一萬看起來有一面墻那么大。”

“我現(xiàn)在知道了一萬是由10 個(gè)千或100 個(gè)百組成的了！”

……

是的，在萬數(shù)墻上，孩子們真切地看到了“一萬里有100 個(gè)百”，在萬數(shù)墻上，一排是“10 個(gè)百”，也就是“一千”，孩子們直觀地看到了“10 個(gè)千是一萬?！?/p>

3.一億有多大？

一萬雖然大，但實(shí)踐證明，它是可以通過接龍數(shù)數(shù)較為輕松地?cái)?shù)完的，而數(shù)出一億則是非常困難的一件事，生活中的“億”更是十分少見的。那么一億還需要數(shù)嗎？數(shù)的目的是什么？

微博上曾有過這樣的一個(gè)作業(yè)，讓人議論紛紛——“數(shù)一億粒米”，我想這位老師的初衷并非讓孩子真的數(shù)出一億粒米，而是在數(shù)數(shù)的過程中體驗(yàn)一億的“巨大”，也許在他的預(yù)設(shè)中，孩子數(shù)著數(shù)著最終會(huì)放棄繼續(xù)數(shù)下去，在情感上體會(huì)“一億”的“遙不可及”，但實(shí)施下來，孩子對一億有多大還是缺乏具體的概念。

由于時(shí)間和精力限制，我認(rèn)為“一億”無需真的數(shù)完，但可以從多種角度設(shè)計(jì)活動(dòng)，讓學(xué)生邊數(shù)邊估算，有一個(gè)逐漸清晰的“億”的概念：用時(shí)間衡量——“一億秒有多長？”用高度感受——“一億張紙大約有多高？”用重量感知——“一億粒米大約有多重？”也許生活中并不會(huì)經(jīng)歷一億甚至比一億大的數(shù)，但通過這一系列的活動(dòng)，“億”在學(xué)生的腦海中不單單只是縹緲的“大”，而是有了逐漸清晰的“大”的范圍。

數(shù)感有直覺形象的感悟，有實(shí)物經(jīng)驗(yàn)的印記，也有抽象邏輯的縝密。數(shù)感的培養(yǎng)是一種沉淀，需要我們整體把握知識(shí)點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，采取不同的教學(xué)策略，設(shè)計(jì)多樣化的活動(dòng)，將對數(shù)的體驗(yàn)有機(jī)地滲透到數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中去，使學(xué)生真實(shí)地感受到數(shù)的具體概念，讓“認(rèn)數(shù)”更有厚度，讓“素養(yǎng)”更具溫度。