淺談微積分思想在中學(xué)物理的應(yīng)用

魏榮榮

(江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué)，江蘇 南京 211299)

1 引言

隨著高考制度的改革，新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，物理核心素養(yǎng)的提出，高中物理從教學(xué)目標(biāo)到教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法有了新的調(diào)整，考察物理方法和思維能力都是近年來(lái)高考命題的趨勢(shì)。近年來(lái)微積分思想在物理高考中越來(lái)越受到重視，且在高中物理教學(xué)中逐漸滲透[1]。首先微積分以其特有的嚴(yán)密性為各個(gè)領(lǐng)域提供了精密的理論分析和科學(xué)的量化論證方法，其次微積分用“定量”分析方法來(lái)解決以“變量”為研究對(duì)象的復(fù)雜問(wèn)題；同時(shí)為大學(xué)課程中的微積分奠定了基礎(chǔ)。早在《莊子天下篇》曾有簡(jiǎn)單明了的描述：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭，這也就體現(xiàn)了微積分的基本思想和方法。

微積分有助于理解高中的很多物理知識(shí)難點(diǎn)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移應(yīng)用的能力，使用微積分思想進(jìn)行分析問(wèn)題既可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理概念的認(rèn)識(shí)，也可以加深學(xué)生對(duì)微積分的理解。例如：利用微積分思想解決變力做功問(wèn)題[2]、均勻帶電圓環(huán)有關(guān)的電勢(shì)計(jì)算[3]、求解物體運(yùn)動(dòng)[4]等。如下我們使用微積分方法分析高中物理教學(xué)中的三個(gè)問(wèn)題點(diǎn)，可以加深、加固學(xué)生對(duì)微積分在物理問(wèn)題中應(yīng)用的理解和運(yùn)用。

注重大學(xué)物理與高中物理的銜接。大學(xué)物理對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)其他課程有很大的幫助，在知識(shí)的廣度和深度上，大學(xué)物理與高中物理相比都大有不同，高中物理會(huì)幫助我們簡(jiǎn)單了解大學(xué)物理，數(shù)學(xué)思想又會(huì)幫助我們理解高中物理，因此高等院校與高中應(yīng)該做好物理知識(shí)和物理方法教學(xué)的銜接。

2 微積分思想解決保守力做功問(wèn)題

高中物理人教版必修2 第七章第4 節(jié)“重力勢(shì)能”本節(jié)內(nèi)容中，在探討重力這個(gè)保守力做功的特點(diǎn)時(shí)，小球沿豎直運(yùn)動(dòng)，然后再沿斜線(xiàn)運(yùn)動(dòng)再到一般的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（如圖1 所示）的遞推過(guò)程中，未通過(guò)分析小球從初位置到末位置的位移L，結(jié)合功的表達(dá)式W=Flcosα來(lái)計(jì)算功的大小。而采用了微積分思想來(lái)分析此問(wèn)題。課本為什么會(huì)這樣處理呢？在最初的教學(xué)中，筆者認(rèn)為這樣處理保守力做功未免太多此一舉，于是每次都是這樣講解的：從豎直運(yùn)動(dòng)到斜線(xiàn)運(yùn)動(dòng)再到曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，無(wú)論哪條路徑其位移都是始末位置的有向線(xiàn)段，結(jié)合恒力做功表達(dá)式W=GLcosα（其中α為位移L與重力G 的夾角），然后將Lcosα看作整體（可以理解為L(zhǎng)cosα這個(gè)整體才是功的第二大要素在力的方向上的位移H），我們不難發(fā)現(xiàn)就是物體下落的高度H，因此重力做功與物體運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)系，學(xué)生聽(tīng)起來(lái)也很容易，但是隨著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，筆者慢慢發(fā)現(xiàn)課本這樣設(shè)置是有它的目的性的。其目的就是加強(qiáng)高中生對(duì)微積分思想的理解及應(yīng)用，以應(yīng)對(duì)未來(lái)出現(xiàn)的更復(fù)雜的物理問(wèn)題。長(zhǎng)遠(yuǎn)角度看就是為了做好與大學(xué)知識(shí)的銜接，為由特殊的實(shí)例或局限性問(wèn)題過(guò)渡到一般的微積分應(yīng)用情景做好預(yù)設(shè)，搭好臺(tái)階。

圖1

在人教版選修3-1 第一章第4 節(jié)“電勢(shì)差與電勢(shì)”的內(nèi)容中，在探討靜電力這個(gè)保守力做功的特點(diǎn)時(shí)，課本上先以勻強(qiáng)電場(chǎng)為例得出電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)系。然而對(duì)于非勻強(qiáng)電場(chǎng)課本中僅用“這一結(jié)論對(duì)于非勻強(qiáng)電場(chǎng)（如圖2 所示）也適用”這一句話(huà)來(lái)表述。為了能夠讓學(xué)生通過(guò)實(shí)例來(lái)理解和加深微積分思想的應(yīng)用，在這里也采用微分法證明該結(jié)論，具體推導(dǎo)如下：

圖2

將帶電體運(yùn)動(dòng)軌跡AB 進(jìn)行無(wú)限分割，每一段曲線(xiàn)位移可以看作微小的傾斜位移dx（微積分使得化曲為直），位移方向?yàn)榍€(xiàn)的切線(xiàn)方向，由于位移極短，可以將變化的磁場(chǎng)比作勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向?yàn)閳D中的電場(chǎng)線(xiàn)方向，設(shè)dx位移內(nèi)，磁場(chǎng)強(qiáng)度為E1，E1與dx方向的夾角設(shè)為α，則：

其中，(1)式中dxcosα為dx正交分解后沿電場(chǎng)線(xiàn)方向的位移，U1為dx這段位移的電勢(shì)差。

根據(jù)功的標(biāo)量性，現(xiàn)將帶電體在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的所有微小位移dx內(nèi)做過(guò)的功代數(shù)和即為電場(chǎng)力做的總功，如(2)式：

有上述推導(dǎo)(2)可以得出，由于每一段微小位移dx都是連續(xù)的，所以電勢(shì)差也是連續(xù)的，因此總功就是電荷與總電勢(shì)差之乘。

3 微積分思想解決兩種表達(dá)形式的安培定則的統(tǒng)一性

高中物理教材人教版選修3-1 第三章第3 節(jié)“幾種常見(jiàn)的磁場(chǎng)”本節(jié)內(nèi)容中，對(duì)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向根據(jù)場(chǎng)景可以分為如下兩種：

1、對(duì)于直線(xiàn)電流：安培定則（一）右手握住通電直導(dǎo)線(xiàn)，讓大拇指指向直導(dǎo)線(xiàn)中電流方向，那么四指指向就是通電導(dǎo)線(xiàn)周?chē)艌?chǎng)的方向；

2、對(duì)于環(huán)形電流：安培定則（二）讓右手彎曲的四指與環(huán)形電流的方向一致，伸直的拇指就是環(huán)形導(dǎo)線(xiàn)軸線(xiàn)上磁感線(xiàn)的方向。

以上兩種表述方式是高中物理知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易混淆。在最初的教學(xué)中，筆者認(rèn)為安培定則的兩種表述形式是相互獨(dú)立的，一個(gè)應(yīng)用于直線(xiàn)導(dǎo)線(xiàn)，一個(gè)應(yīng)用曲線(xiàn)導(dǎo)線(xiàn)，這樣的教學(xué)顯然給學(xué)生帶來(lái)麻煩，學(xué)生需要記憶兩個(gè)安培定則。隨著教學(xué)的不斷深入，才意識(shí)到其實(shí)兩個(gè)安培定則是相通的，曲線(xiàn)是直線(xiàn)情景的“和”，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的“分”。若在教學(xué)中教師能夠重視微積分思想的應(yīng)用，那么在這里不難發(fā)現(xiàn)：將環(huán)形導(dǎo)線(xiàn)（如圖3所示）無(wú)限分割后便成為極短的通電直導(dǎo)線(xiàn)，任意選取一小段直導(dǎo)線(xiàn)，例如選用水平方向ΔL1和豎直方向ΔL2為研究對(duì)象，應(yīng)用直導(dǎo)線(xiàn)的安培定則（一）進(jìn)行分析可知環(huán)形導(dǎo)線(xiàn)的任意一小段直導(dǎo)線(xiàn)的磁場(chǎng)方向均為：在環(huán)形導(dǎo)線(xiàn)的外側(cè)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，其內(nèi)部的磁場(chǎng)方向則是垂直紙面向外；然后由圖3我們根據(jù)安培定則（二）進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)兩者分析結(jié)果是一致的。可見(jiàn)，只有對(duì)微積分思想理解的深一些，才能盡量幫助學(xué)生理解物理中的難點(diǎn)和易混淆點(diǎn)。

圖3

4 微積分思想來(lái)解決平均速度與速度平均值的疑惑

在學(xué)習(xí)高中物理人教版必修1 第一章第3 節(jié)的平均速度時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到如下類(lèi)似的題目：短跑運(yùn)動(dòng)員在100 米比賽中，以8m/s 的速度迅速?gòu)钠瘘c(diǎn)沖出，到50m 處的速度為9m/s，10s 末到達(dá)終點(diǎn)時(shí)的速度為10.3m/s，則運(yùn)動(dòng)員在全程中平均速度是（）.

A.9m/s B.10.3m/s C.10m/s D.9.1m/s

那么平均速度的大小與速度的平均值有沒(méi)有關(guān)聯(lián)呢？下面我們通過(guò)微積分方法來(lái)分析兩者的區(qū)別：

將物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程所用的時(shí)間無(wú)限分割為n個(gè)均等的dt時(shí)間，則根據(jù)向量可知，平均速度為：

由（3）式可知：

1、當(dāng)物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，即各個(gè)dt時(shí)間內(nèi)的速度方向或者同向，或者反向，因此可將速度的方向轉(zhuǎn)換成正負(fù)速度值，將n個(gè)dt時(shí)間內(nèi)的正負(fù)速度值取平均值。即：

在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，平均速度是所有時(shí)刻瞬時(shí)速度的平均值，而非幾個(gè)時(shí)刻瞬時(shí)速度的平均值。

2、當(dāng)物體作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于(3)式中各個(gè)瞬時(shí)速度為矢量，此時(shí)需要通過(guò)平行四邊形定則將各瞬時(shí)速度疊加為合速度，此方法在理論上太繁雜了，因此物體作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)分析平均速度不用該方法?；诖死碚?，對(duì)于圖4 情景的v-t圖像，比較它們的平均速度大小時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)除去初、末時(shí)刻兩點(diǎn)三者的速度相同以外，其他任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度vA>vB>vC，由此可以快速得出：A 質(zhì)點(diǎn)的平均速度最大，C 質(zhì)點(diǎn)的平均速度最小。

圖4

5 結(jié)束語(yǔ)

微積分思想能開(kāi)拓解決物理問(wèn)題的思路，能夠?qū)⒆兓?fù)雜的物理過(guò)程簡(jiǎn)化為不變的多個(gè)物理過(guò)程，這樣，不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理概念的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也能加深學(xué)生對(duì)微積分思想的理解，提升了學(xué)生的物理思維和數(shù)學(xué)思維。