一類具有隨機(jī)擾動(dòng)的SIQR模型的滅絕性

劉 娟

（蚌埠學(xué)院，安徽 蚌埠233030）

0 引言

近年來(lái)傳染病模型受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，成為生物數(shù)學(xué)模型中重要的一類模型。利用微分方程理論研究傳染病模型可以說(shuō)明傳染病的傳播特性，能實(shí)現(xiàn)對(duì)傳染病的預(yù)防與控制。目前對(duì)確定型傳染病模型研究得較多，許多有意義的結(jié)果被得出［1-6］。但是在現(xiàn)實(shí)的環(huán)境中，隨機(jī)干擾無(wú)處不在，隨機(jī)因素對(duì)傳染病的爆發(fā)有重要的影響，因此，在確定型模型中加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是很有必要的。文獻(xiàn)［7］研究了下列具有時(shí)滯項(xiàng)的傳染病模型：

（1）式中S(t)、I(t)、Q(t)、R(t)分別表示易感者、染病者、隔離者、治愈者在時(shí)刻t的數(shù)量［8-10］。 A 表示人口的常數(shù)輸入率，μ為人口的自然死亡率，假設(shè)易感者、染病者、隔離者具有相同的死亡率，μ1，μ2表示染病者、隔離者的因病死亡率，c1，c2和k均為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率為感染率函數(shù)。文獻(xiàn)［7］研究了模型（1）Hopf分支的存在性。

對(duì)于某些傳染病而言，確定型模型是無(wú)法全面描述其傳染規(guī)律的，模型（1）并未考慮到疾病傳播過(guò)程中存在的白噪聲，而白噪聲可以引起系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生變化，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)中的某一群體滅絕。因此考慮到白噪聲的影響，本文在模型（1）中引入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。假設(shè)外界白噪聲主要影響參數(shù)為β，即βdt→βdt+σdB(t) ，B(t) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 的 布 朗 運(yùn) 動(dòng) 且B(0)=0，σ2為白噪聲強(qiáng)度，這樣可以得到傳染病系統(tǒng)（2）。本文將研究隨機(jī)傳染病模型（2）正解的存在唯一性及疾病何時(shí)消失。

1 系統(tǒng)正解的存在及唯一性

定理1 任意給定的初始條件X(0)=(S(0)，I(0)，Q(0)，R(0))，系統(tǒng)（2）存在唯一的解，且該解以概率1 存在于中，即系統(tǒng)（2）存在唯一的全局正解。

證明 設(shè)I=ev(t)，即v(t)=lnI，利用It?公式有

則將系統(tǒng)（2）變?yōu)?/p>

易知系統(tǒng)（3）與系統(tǒng)（2）等價(jià)，且系統(tǒng)（3）滿足局部利普希茨條件，則對(duì)任意的初始條件，系統(tǒng)（3）存在有唯一的局部解X(t)(t∈[0，τe])，其中τe是系統(tǒng)的爆破時(shí)間。以下證明X(t) (t∈[0，τe])是系統(tǒng)（2）的全局正解，只要證明τe=∞a.s.，就可得該結(jié)論。

設(shè)k0≥1，能使(S(0)，I(0)，Q(0)，R(0))都位于區(qū)間中，再設(shè)k≥k0，設(shè)停時(shí)

或max(S(t)，I(t)，Q(t)，R(t))≥k}

規(guī)定inf ?=∞，由停時(shí)定義知τk是k的單調(diào)增函數(shù)，設(shè)如能證明τ∞=∞，則τe=∞且X(t) ∈(t≥0)。所以利用反證的思想證明τ∞=∞，假設(shè)τ∞≠∞，則存在常數(shù)T 及ε∈(0，1)，有

成立，故存在k1≥k0，使得對(duì)所有的k≥k1，有

對(duì)于系統(tǒng)（2），將等式兩邊相加得

對(duì)于d(S+I+Q+R)=[A-μ(S+I+Q+R)]dt

利用初值X(0)=(S(0)，I(0)，Q(0)，R(0)) ，可求得

為系統(tǒng)（2）的正不變集。

定義

令T＞0，則對(duì)任意t:0 ≤t≤τkT，利用It?公式有

令

則

將（6）式代入（5）式得

對(duì)（7）兩邊取0到τkT的積分，再取期望得

對(duì)所有的k≥k1，有P{τk≤T}＞ε。而對(duì)每個(gè)ω∈{τk≤T}，S(τk,ω)，I(τk，ω)，Q(τk，ω)，R(τk，ω)這四個(gè)量中至少有一個(gè)等于k或，則

由（8）得

其中Ωk={τk≤T}，1Ωk(ω)為Ωk的示性函數(shù)，令k→∞，得

矛盾，故假設(shè)不成立，由此證明了τe=∞a.s.，則系統(tǒng)（2）存在唯一的全局正解。

2 系統(tǒng)疾病的滅絕性

以下討論系統(tǒng)（2）中疾病的滅絕條件，對(duì)于疾病何時(shí)消失，有如下的定理。

定理2 設(shè)X(t)=(S(t)，I(t)，Q(t)，R(t)) 為系統(tǒng)（2）的解，對(duì)于任意初始條件X(0)∈Γ?，若

則

證明 利用It?公式，將系統(tǒng)（2）中的第二項(xiàng)變?yōu)?/p>

將上式兩邊取0到t的積分，再除以t，得

即得

由強(qiáng)大數(shù)定律得在（9）式兩邊取上極限，并將（10）式代入（9）式得

3 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)［7］基礎(chǔ)上，討論了一類具有隨機(jī)擾動(dòng)的SIQR模型的正解存在性及疾病的滅絕性，定理2的結(jié)果表明，在滿足一定條件的前提下，若能使白噪聲強(qiáng)度足夠大，則疾病I（t）幾乎處處指數(shù)趨于0，即疾病將滅絕，幾乎消失。定理說(shuō)明了外界白噪聲對(duì)傳染病系統(tǒng)的影響，具有一定的生物學(xué)意義。