用好數(shù)學(xué)推理 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

陳芳 李玉蘭 孫丹鎂

【摘 ? 要】“四則運算”單元的復(fù)習(xí)，除了要使學(xué)生扎實掌握四則運算意義、四則混合運算與問題解決這些基本的數(shù)學(xué)內(nèi)容外，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生利用已有的知識進行數(shù)學(xué)推理的能力，構(gòu)建更加完整的四則運算的知識結(jié)構(gòu)，達到“溫故而知新”。教學(xué)中，可運用“圖式推理”“逆向推理”和“合情推理”等方式，以逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升其數(shù)學(xué)思考能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)推理;數(shù)學(xué)模型;四則運算;單元復(fù)習(xí)

“四則運算”單元的復(fù)習(xí)，既有對運算概念的回顧，也有運算能力的培養(yǎng)，更有“租船類問題”的解決。因此，這個單元雖然課時不多，卻是對整數(shù)四則運算意義、四則混合運算與問題解決的總結(jié)。在單元復(fù)習(xí)時，如何在全面復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，突出重點，構(gòu)建起意義、運算與問題解決的聯(lián)系？筆者認為，可以創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，充分運用數(shù)學(xué)推理，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題，進而分析與解決問題。

一、圖式推理提升運算能力

本單元練習(xí)二的第9題和第10題是圖式推理題，第9題是四則運算關(guān)系式的靈活推導(dǎo)，第10題是依據(jù)圖式中各個式子之間的聯(lián)系，列出綜合算式。我們將這類題型后移到單元復(fù)習(xí)中，作為復(fù)習(xí)四則運算意義與四則混合運算的題型。

（一）閱讀圖式，回顧運算意義

本單元學(xué)習(xí)的四則運算的定義可以分成兩類。第一類是加法與乘法，是從它的本質(zhì)意義加以概括，加法代表“合并”，乘法代表對“相同加數(shù)連加”的優(yōu)化。第二類是減法與除法，是運算關(guān)系的推導(dǎo)?；谶@樣的理解，可用問題串的形式幫助學(xué)生回顧四則運算的意義。

教師出示圖1，請學(xué)生觀察后回答看到了哪兩種運算，并說一說這兩種運算的含義。學(xué)生回答后，教師繼續(xù)追問：“我們今天要復(fù)習(xí)‘四則運算，那么另外兩種運算你能夠從這兩個式子中發(fā)現(xiàn)嗎？”請學(xué)生推導(dǎo)出減法與除法式子，并說一說這兩種式子的含義。

從四則運算的邏輯關(guān)系來說，加法與乘法是基本運算，減法與除法則是推導(dǎo)得到的運算。通過問題串，學(xué)生在不斷思考與回憶的過程中復(fù)習(xí)四則運算的意義結(jié)構(gòu)。

（二）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，列成綜合算式

把若干個有聯(lián)系的一步計算合并成綜合算式，是增強學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的載體。筆者在圖1的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)圖2的兩個算式，請學(xué)生找一找哪一個算式可以把圖1中的兩個算式串聯(lián)起來。

學(xué)生獨立完成后反饋。生1展示了連線圖（如圖3），并說明：“我認為是第3題。因為第一個算式中的和，是第3個算式中的減數(shù)，第3個算式中的差又是第2個算式中的一個因數(shù)?！鄙?展示了圖4。

接著教師請學(xué)生依據(jù)聯(lián)系把它們寫成綜合算式，并說一說怎樣尋找算式之間的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上再出示如圖5與圖6所示的兩組圖示，請學(xué)生尋找關(guān)系列成綜合算式，最后得到圖7的三個綜合算式。

（三）賦數(shù)運算，熟練四則運算

用圖式推導(dǎo)可以讓學(xué)生更好地探究各個式子之間的聯(lián)系，以及用運算符號來確定運算順序與用括號改變運算順序。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對圖7中的三個圖式進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)，每個算式中都有四個不同的圖形，其中第1題與第2題運算符號也相同，只是運算順序不同。進一步追問：“如果用比1大的數(shù)來代替第1、2題中的各個圖形，哪一題的得數(shù)大呢？”

生1：我認為是第1題大，因為最后一步算乘法，就會越乘越大。

生2：我認為是第2題大，因為第1題的中括號中要減去兩個數(shù)的和，所以不如第2題中的兩個數(shù)相乘大。

……

師：大家都有自己的想法，請同學(xué)們看這一組數(shù)（如圖8），把它們代入前兩個算式，用遞等式計算出結(jié)果后進行比較。同時，可以再按要求自己舉一組數(shù)據(jù)代入算式，比較第1、2題的計算結(jié)果。

學(xué)生計算后發(fā)現(xiàn)，不論代入哪一組數(shù)據(jù)，都是第2個算式的結(jié)果大。面對學(xué)生產(chǎn)生的疑惑，教師指出到四年級下學(xué)期學(xué)習(xí)了“運算定律”后我們就可以知道為什么會這樣了。最后要求學(xué)生把圖8的這組數(shù)據(jù)代入第3題中用遞等式計算出結(jié)果。

總之，從圖式推理到四則混合運算，通過不斷的觀察、操作、比較等活動，學(xué)生透過數(shù)學(xué)事實，構(gòu)建了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，探究了數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、逆向推理靈活運算思維

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2001年版）》編寫的人教版數(shù)學(xué)教材，沒有四則運算意義與關(guān)系的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這是因為原來學(xué)習(xí)這種關(guān)系是為后續(xù)學(xué)習(xí)解方程服務(wù)的，現(xiàn)在解方程是用等式性質(zhì)了，學(xué)習(xí)了四則運算的關(guān)系式反而會對后面的解方程產(chǎn)生負遷移。如今重新把四則運算的關(guān)系作為學(xué)習(xí)內(nèi)容，筆者認為，雖然不作為解方程的依據(jù)，但是利用關(guān)系式，求圖形等式中的未知數(shù)，可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向推理能力。

（一）一步推理，回顧關(guān)系式

教師出示圖9的兩個等式，請學(xué)生說一說等式中的圖形分別表示什么數(shù)，可以怎樣求。學(xué)生獨立完成后反饋。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察求圖形代表數(shù)的等式（如圖10）與原來的等式（如圖9）之間的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)減法中是把減數(shù)與差交換了位置，除法中是把除數(shù)與商交換了位置。教師進一步追問為什么會有這樣的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來相應(yīng)的兩個式子還原后是“減數(shù)+差=被減數(shù)”或“除數(shù)×商=被除數(shù)”。這樣，從減法與除法的角度又一次對四則運算的意義進行了構(gòu)建。

（二）解決問題，感受現(xiàn)實性

如何賦予抽象的計算題以具體的意義？筆者通過提供例子與學(xué)生自主編題這兩種形式，讓學(xué)生體會到計算的抽象性與應(yīng)用問題的現(xiàn)實性。

教師出示如下兩組信息：

（1）一個盒子里面裝了96顆小球，拿掉了一些后，還剩下87顆。

（2）用96元錢可以買若干支同樣的筆，這種筆的單價是8元/支。

在上述信息中，沒有單獨提出問題，而是把所求問題融入已知信息之中，請學(xué)生按順序閱讀并列出數(shù)量關(guān)系，然后與圖9中的兩個等式進行比較，找一找它們之前的對應(yīng)關(guān)系。接著請學(xué)生讀題找一找，信息中哪一些詞代表了圖形的含義，哪一些詞代表了運算符號的含義，哪一些詞又代表了相等關(guān)系。

在文字敘述信息中尋找確定數(shù)量關(guān)系的詞，可以體會到抽象的數(shù)學(xué)符號的實際意義。在尋找“等號”所代表的詞時，學(xué)生出現(xiàn)了困惑，如第1題按敘述的順序應(yīng)該是“還剩下”，但學(xué)生認為這里只是指剩下的“87顆”。這時，教師引導(dǎo)學(xué)生往回看，提問：“‘總顆數(shù)-拿掉的顆數(shù)是什么意思？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)也是指“剩下的顆數(shù)”。所以等號左邊表示的是剩下的顆數(shù)，右邊也表示剩下的顆數(shù)，只是左邊是算式，右邊是數(shù)據(jù)，在算術(shù)意義的數(shù)量關(guān)系中滲透代數(shù)意義的相等關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，請學(xué)生模仿上面的編題方法，自己依據(jù)圖9中的圖式來編制應(yīng)用問題，并在四人小組中交流。

（三）兩步推理，體會有序性

與圖9相比，圖11中的兩題等號左邊出現(xiàn)了兩步運算，這時該怎樣推算圖形所代表的數(shù)呢？需要用到轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化成可以直接應(yīng)用四則運算關(guān)系式進行推算的題目。

師：請說一說圖11中的題目與圖9中的有什么不一樣的地方。

生1：（圖9）原來兩題等號左邊是一步，（圖11）新的兩題等號左邊變成兩步了。

師：如果要求出圖形表示的數(shù)，需要怎樣做？

生2：第（1）題很簡單，只要算出“14+82”的和就變成一步了。但第（2）題我不知道如何做，因為“96÷ ”算不出得數(shù)。

生3：那我就把“96÷ ”看成一個整體，先把它當(dāng)成一個加數(shù)，它可以用“和-另一個加數(shù)”來求。然后再看成除法就可以求出了。

師：大家能夠聽懂這兩位同學(xué)的思路嗎？請同學(xué)們依據(jù)他們提供的思路，把兩個題目轉(zhuǎn)化成求圖形結(jié)果的算式，然后計算出結(jié)果。

學(xué)生完成后反饋，教師再提出要求：怎樣檢驗結(jié)果是否正確？

上面的兩道題，分別對應(yīng)五年級上學(xué)期簡單的與較復(fù)雜的解方程，但教學(xué)目標不同，在這里不僅僅是為了求出未知數(shù)，而是為了培養(yǎng)學(xué)生利用四則運算關(guān)系式進行逆向推理的能力。

三、合情推理培養(yǎng)應(yīng)用意識

本單元的“租船類問題”要求基于運算進行合情推理，隨著數(shù)據(jù)的不斷變化，“最省錢”的方案會發(fā)生變化，這就需要依據(jù)一定的思路，羅列出可能“最省錢”的各種方案，并計算結(jié)果進行比較，這種思路也可以遷移到用假設(shè)法解決問題，形成更加一般的解決問題的思維模型。

（一）夯實基礎(chǔ)，回顧基本思路

單元復(fù)習(xí)習(xí)題的設(shè)計要做到低起點、有變式與可持續(xù)。低起點即習(xí)題設(shè)計要涉及本單元中最基本的數(shù)學(xué)知識與思維方式，“租船類問題”最基本的思路就是如例題5的形式，經(jīng)過一次調(diào)整后就可以不出現(xiàn)空位。

教師出示如下題目：有20個同學(xué)去劃船，每條大船可以坐6人，租金是90元;每條小船可以坐4人，租金是80元。怎樣租船最合算？

依據(jù)解題過程，回顧租船問題的一般思路，為后續(xù)的變式練習(xí)與思維遷移夯實基礎(chǔ)。

（二）變式練習(xí)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律

在新課教學(xué)中，“租船類問題”已經(jīng)有了多種變式，教師要讓學(xué)生感受到經(jīng)歷完整思考過程的重要性。在之前的各種方案中，經(jīng)調(diào)整后均不會出現(xiàn)空位。但是，會不會出現(xiàn)調(diào)整后還是有空位的情況呢？答案是肯定的。

教師把上面租船問題中的“20個同學(xué)”改為“21個同學(xué)”，讓學(xué)生用原有思路解決問題。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后還是有空位（如圖12）。

教師請學(xué)生進一步觀察列出的數(shù)據(jù)，思考為什么比原來增加了一個人，就不可能沒有空位了。依據(jù)班級的基礎(chǔ)與時間，可以只提出問題，不展開討論。

（三）拓展練習(xí)，應(yīng)用學(xué)習(xí)策略

把某一類型解決問題思路一般化，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供思維模型，是“租船類問題”思維拓展的方向。

教師對上述的租船問題進行了改編：有20個同學(xué)一共租了4條船去劃船，其中每條大船坐滿6人，每條小船坐滿4人。大船和小船各租了多少條？

如果分析題型結(jié)構(gòu)，這是本冊教材后面要學(xué)習(xí)的“雞兔同籠”問題。但它同樣可以用“租船類問題”來思考。

20人假設(shè)全部租大船，那么20÷6=3（條）……2（人），使其中一條大船上的人和余下的2人合并租小船，那么小船租了（6+2）÷4=2（條），已知大船與小船一共租了4條。所以大船和小船各租了2條。

從上述思考過程中可以發(fā)現(xiàn)假設(shè)法的痕跡。因此，“租船類問題”“雞兔同籠問題”的分析思路，實際上都可以看成合情推理，即先假設(shè)某一種方案，如果不正確就進行調(diào)整，逐步得到最終的結(jié)果。

總之，本單元的課題雖然叫作“四則運算”，但是“四則運算”只是其中最基礎(chǔ)的部分，在概括出四種運算意義與關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體例子與解決實際問題，讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)推理，逐步構(gòu)建基于運算與問題解決的數(shù)學(xué)思維模型。

（浙江省湘湖師范學(xué)校附屬小學(xué) ? 311203）