基于跳擴(kuò)散模型的DC型養(yǎng)老金時(shí)間一致最優(yōu)投資策略的研究

付渴 曹靜

摘 要 將養(yǎng)老金投資過程分成財(cái)富積累階段和財(cái)富給付階段，建立了DC型養(yǎng)老金在退休前和退休后個(gè)人賬戶積累額變動(dòng)的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)模型. 該模型考慮了工資的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)因素，并用跳擴(kuò)散模型刻畫風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn). 以均值方差準(zhǔn)則作為優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用推廣的 HJB方程分別得到了退休前和退休后的時(shí)間一致最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資最優(yōu)解. 最后通過算例及敏感性分析研究了各個(gè)因素對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資的影響. 在這些因素中繳費(fèi)比例、死亡力對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例均有負(fù)向影響.

關(guān)鍵詞 金融學(xué);最優(yōu)投資策略;二次規(guī)劃;DC型養(yǎng)老金;跳擴(kuò)散模型;隨機(jī)工資

中圖分類號(hào) F840.67 ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract The pension investment process is divided into two stages： the wealth accumulation stage and the wealth payment stage. Continuous time stochastic models of the amount of DC pension accumulation in individual accounts before and after retirement are established. The models consider the stochastic risk factors of wages and jump-diffusion model is used to portray risky assets. Taking the mean-variance criterion as the optimization objective， the optimal solution of venture capital investment before and after retirement was obtained by using the generalized HJB equation. Finally， through numerical examples and sensitivity analysis， the influences of various factors on venture capital investment are analyzed. Among these factors， contribution ratio and death force have negative influences on the proportion of venture capital investment.

Key words finance;optimal investment strategy;quadratic programming;DC pension plan; jump-diffusion model;stochastic salary

1 引 言

養(yǎng)老金是老年社會(huì)保障制度的重要組成部分，根據(jù)貢獻(xiàn)和收益的不同設(shè)置，養(yǎng)老金主要有兩種類型：固定收益型（DB： defined benefit）和固定繳款型（DC： defined contribution）. 在DB型養(yǎng)老金中，退休后的收益由保險(xiǎn)公司預(yù)先確定，而工作期間的繳款額根據(jù)養(yǎng)老基金的價(jià)值進(jìn)行調(diào)整. 在該計(jì)劃中保險(xiǎn)公司承擔(dān)了可能發(fā)生的各種風(fēng)險(xiǎn)，例如投資風(fēng)險(xiǎn)、養(yǎng)老金計(jì)劃成員壽命風(fēng)險(xiǎn)等. 近年來，隨著人口結(jié)構(gòu)的變化和死亡率的下降，DB型養(yǎng)老金面臨著向退休人員給付規(guī)定收益的巨大壓力. 而在DC型計(jì)劃中，繳款額是預(yù)先確定的常數(shù)或養(yǎng)老金計(jì)劃成員收入的固定比例，收益則取決于退休前繳款額的積累及該養(yǎng)老基金投資組合的回報(bào). 如今，隨著金融市場(chǎng)的快速發(fā)展和人口死亡率的降低，許多國家的養(yǎng)老金計(jì)劃都是基于DC型也即固定繳款型計(jì)劃的.

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，關(guān)于DC型養(yǎng)老金計(jì)劃模型的優(yōu)化目標(biāo)主要有3種. 第一種是最大化終端財(cái)富效用，收益性是此類優(yōu)化目標(biāo)關(guān)注的重點(diǎn). 常浩等（2018）[1]將終端財(cái)富的效用分別用冪效用函數(shù)和指數(shù)效用函數(shù)來描述，并對(duì)比和分析了這兩種效用函數(shù)對(duì)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響. Chen等（2017）[2]考慮的是最大化終端財(cái)富與最低退休工資差值的S型效用函數(shù). 第二種是動(dòng)態(tài)最小化養(yǎng)老基金賬戶與預(yù)定投資目標(biāo)之間的預(yù)期二次損失，該類優(yōu)化目標(biāo)更加關(guān)注投資的安全性，為參保人提供了穩(wěn)健的養(yǎng)老金給付. 何林和梁宗霞（2016a）[3] 將積累期結(jié)束時(shí)實(shí)際與預(yù)期累積額的二次偏差的最小化作為優(yōu)化控制目標(biāo)，為了描述參保人對(duì)正向偏差的偏好和負(fù)向偏差的厭惡，在目標(biāo)函數(shù)中加入了一個(gè)負(fù)的一次偏差項(xiàng). 第三種是在養(yǎng)老金的管理中應(yīng)用均值方差準(zhǔn)則，此類優(yōu)化目標(biāo)兼顧了收益與風(fēng)險(xiǎn)的平衡，更加符合養(yǎng)老金管理的要求. Bjrk等（2014）[4]考慮的均值-方差準(zhǔn)則中其風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)是狀態(tài)依賴的，并在該準(zhǔn)則下得到最優(yōu)投資策略，由于方差缺乏迭代期望性質(zhì)，多周期或連續(xù)時(shí)間框架下動(dòng)態(tài)MV準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資問題不滿足Bellman最優(yōu)性原理，因此模型最優(yōu)解是時(shí)間不一致的，需要采用推廣的HJB方程來求解這樣的時(shí)間不一致問題.

在對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程的假設(shè)中，最早的文獻(xiàn)大都是基于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下進(jìn)行的. 肖建武等（2006）[5]考慮到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程的常方差彈性（CEV）模型，并在最大化指數(shù)效用的條件下采用Legendre 變換將原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問題進(jìn)行求解得到最優(yōu)策略. Sun等（2016）[6]考慮到金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)出現(xiàn)大起大落式的跳躍情況，便用跳-擴(kuò)散模型來刻畫風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程，此類信息到達(dá)的時(shí)間及造成的沖擊影響均是隨機(jī)的，可以利用泊松過程予以數(shù)學(xué)描述.

在影響?zhàn)B老金財(cái)富積累的因素選擇上，Sun等（2016）[6]考慮了保費(fèi)返款條例，其風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)是狀態(tài)依賴的. Bian等（2018）[7]考慮了體制轉(zhuǎn)換模型. 孫惠玲等（2015）[8]考慮了通貨膨脹、市場(chǎng)利率的Vasicek模型. 何林和梁宗霞（2016）[9]考慮了生命周期、風(fēng)險(xiǎn)偏好和累計(jì)水平對(duì)資產(chǎn)配置策略的影響. 楊鵬（2018）[10]主要研究的是Vasicek模型的隨機(jī)微分博弈. 高建偉和烏云高（2018）[11]在不確定理論下研究最優(yōu)投資策略問題. 何林和梁宗霞（2006）[2]考慮了工資變動(dòng)及其工資替代率. 伍慧玲和董洪斌（2016）[12]考慮了通脹風(fēng)險(xiǎn)及隨機(jī)收入等因素. 考慮到DC型養(yǎng)老金的投資期間一般長達(dá)幾十年，養(yǎng)老金參保人的工資水平大多都是隨機(jī)波動(dòng)的，所以考慮隨機(jī)工資是非常有必要的.

參考張初兵和榮喜民（2012）[13]對(duì)整個(gè)養(yǎng)老金投資階段的劃分，考慮了退休前和退休后的兩個(gè)階段，分別為財(cái)富積累階段和給付階段. Li和Rong（2016）[14]在養(yǎng)老金計(jì)劃中對(duì)隨機(jī)工資的刻畫可資借鑒. 同時(shí)假設(shè)了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散模型，給出了時(shí)間一致最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資最優(yōu)解. 最后給出了算例，更直觀地分析各因素對(duì)整個(gè)投資計(jì)劃的影響，增加了對(duì)研究的有效性和可操作性的驗(yàn)證.

2 均值方差下時(shí)間一致最優(yōu)化模型的建立

由圖3可知風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例會(huì)隨著繳費(fèi)比例的增加而減少的. 可以觀察到，在剛開始的時(shí)候，繳費(fèi)比例對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例所造成的影響并不顯著，而通過數(shù)十年的積累效應(yīng)，這種影響程度越來越大. 對(duì)于繳費(fèi)比例較少的參保人，為保證退休后有足夠的養(yǎng)老金給付，需要將相對(duì)較多的錢投放風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中以獲取更多利益.

風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)描述了投資人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)避的程度，圖4給出了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ與無風(fēng)險(xiǎn)利率r0對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例π*（t）的影響. 退休前，財(cái)富過程處于積累階段，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度越大越會(huì)影響投放在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的比例. 但隨著無風(fēng)險(xiǎn)利率的增加，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例并不會(huì)因此而減少，但會(huì)更加謹(jǐn)慎地選擇其投放比例，也即增加的幅度會(huì)變緩. 因?yàn)榇藭r(shí)無風(fēng)險(xiǎn)利率所帶來的收益依然遠(yuǎn)不如風(fēng)險(xiǎn)利率，所以依然會(huì)增加投放在風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中的比例，但考慮到安全性，會(huì)緩慢的增加該投放比例.

2）退休后（給付階段）

圖5顯示了最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例π*（t）隨時(shí)間的變化規(guī)律.很明顯地觀察到最優(yōu)資產(chǎn)策略隨時(shí)間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系. 可以解釋為，剛退休時(shí)，財(cái)富積累值達(dá)到最大，為了保證后期有足夠的財(cái)富給付，此時(shí)需要將相對(duì)較大比例的財(cái)富積累投放在風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中以獲得更大的利潤.而隨著時(shí)間增加，不斷的定期給付養(yǎng)老金，整個(gè)財(cái)富積累不斷減少，為安全起見需要減少投放在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例來降低風(fēng)險(xiǎn).

死亡力描述了一段時(shí)間內(nèi)某一特定年齡的死亡概率，在這里假設(shè)死亡力為定值，由圖6可知死亡力對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例有負(fù)向影響. 這是因?yàn)殡S著死亡力的降低也即死亡人數(shù)的降低，需要給付的養(yǎng)老金就會(huì)越多，為了保證能夠有足夠的財(cái)富作為養(yǎng)老金定期給付給生存者就需要增加投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例以此獲取更大的利益.

圖7（a）和圖7（b）分別給出了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ與無風(fēng)險(xiǎn)利率r0對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例π*（t）和最優(yōu)值函數(shù)V的影響. 退休后，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率r0增加時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)更具有吸引力，因此投資人將會(huì)把更多的資產(chǎn)投放到無風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中從而減少持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例. 而風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度越大，投資人將財(cái)富投放到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中的比例越小以此來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn).注意到當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)均增加時(shí)最優(yōu)值也會(huì)增加，說明在合適的時(shí)候適當(dāng)?shù)脑黾訜o風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例會(huì)增加最優(yōu)值.

μz和λ分別代表風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格平均跳幅與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格跳的強(qiáng)度，圖8（a）和圖8（b）分別描述了這兩個(gè)因素對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投資資產(chǎn)比例和最優(yōu)值函數(shù)的影響. 當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格平均跳幅μz增加時(shí)，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例會(huì)減少來避免風(fēng)險(xiǎn)，而當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格跳的強(qiáng)度λ增加時(shí)該比例會(huì)增加來獲取更大利益，當(dāng)兩者同時(shí)增加時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例整體呈上升趨勢(shì)，說明投資人會(huì)增加在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資份額，但投資是理性的. 同時(shí)，隨著平均跳幅和強(qiáng)度的增加，最優(yōu)值也會(huì)不斷增加，體現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)越大，收益越大的特點(diǎn).

5 結(jié) 論

研究了具有跳-擴(kuò)散價(jià)格模型和隨機(jī)工資的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題，將投資過程分成了財(cái)富積累階段和財(cái)富給付階段，分別對(duì)應(yīng)退休前和退休后.首先，介紹了目前養(yǎng)老金管理的現(xiàn)狀以及發(fā)展趨勢(shì)，并結(jié)合實(shí)際情況說明了研究DC型養(yǎng)老金的必要性，根據(jù)目前國內(nèi)外對(duì)DC型養(yǎng)老金問題研究的進(jìn)展，重點(diǎn)關(guān)注了時(shí)間一致框架下DC養(yǎng)老金投資和給付問題的研究及求解.其次，基于現(xiàn)有研究，假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散模型，考慮了隨機(jī)工資的影響，分別給出了退休前和退休后的財(cái)富積累過程和投資優(yōu)化目標(biāo)，建立了廣義的HJB方程來解決時(shí)間不一致問題，得到最優(yōu)投資策略和有效前沿.最后，通過數(shù)值模擬，分析了繳費(fèi)比例、死亡力等參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的影響，并從實(shí)際生活的角度對(duì)其進(jìn)行了合理解釋.

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