基于馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型的天氣衍生品定價(jià)

楊剛 楊徐

摘 要 引入馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移（MRS）模型擬合長(zhǎng)沙市每日平均氣溫變化，利用最大期望算法估計(jì)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型參數(shù)，通過(guò)誤差分析得到了最佳MRS模型.基于最佳的MRS模型，采用無(wú)套利定價(jià)原理定價(jià)氣溫衍生品，并利用蒙特卡羅方法得到了取暖指數(shù)（HDD）歐式看漲期權(quán)的數(shù)值解.實(shí)證結(jié)果表明，五狀態(tài)的MRS模型對(duì)長(zhǎng)沙市每日平均氣溫變化的擬合效果明顯優(yōu)于其他的MRS模型，它使得氣溫衍生品定價(jià)結(jié)果相比以前的方法更為精確.

關(guān)鍵詞 數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué);最優(yōu)氣溫模型;EM算法;無(wú)套利定價(jià)原理;天氣衍生品;MRS模型

中圖分類(lèi)號(hào) F840.67 ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract The Markov regime-switching model is introduced to fit the variation of Changsha daily average temperature. The parameters of Markov regime-switching （MRS） models are estimated by Expectation-Maximization algorithm. The optimal MRS model is derived by error analysis. On the basis of the optimal MRS model， no-arbitrage pricing principle is applied to pricing the temperature derivatives. Numerical solution to the HDD European call option is determined by Monte Carlo method. As the empirical result is shown， the fitting effect of five-state-MRS model for the variation of Changsha daily average temperature is superior to other MRS models. Hence， the pricing result of temperature derivatives is more accurate than ever.

Key words quantitative economics; optimal temperature model; EM algorithm; no-arbitrage pricing principle; weather derivatives; MRS model

1 引 言

自1997年12月84個(gè)國(guó)家在日本京都簽訂《京都協(xié)議書(shū)》以來(lái)，人們?nèi)找嬲J(rèn)識(shí)到氣候變化對(duì)生產(chǎn)生活的嚴(yán)重影響，并且把該年定為天氣衍生品交易元年.2014年8月，國(guó)務(wù)院發(fā)布了《關(guān)于加快發(fā)展現(xiàn)代保險(xiǎn)服務(wù)業(yè)的若干意見(jiàn)》，指出要“探索天氣指數(shù)等新興產(chǎn)品和服務(wù)”.天氣風(fēng)險(xiǎn)通常分為巨災(zāi)天氣風(fēng)險(xiǎn)和非巨災(zāi)天氣風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，許多學(xué)者已進(jìn)行了深入研究.楊剛等（2008）[1]通過(guò)Esscher變換對(duì)巨災(zāi)超額損失再保險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)，沈明軒和何朝林（2012）[2]假定巨災(zāi)指數(shù)服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散情形，利用保險(xiǎn)精算方法定價(jià)巨災(zāi)期權(quán).天氣衍生品是一種基于天氣指數(shù)的未定權(quán)益，它通常用于管理因不利天氣變化造成的經(jīng)濟(jì)損失，常見(jiàn)標(biāo)的包括溫度、降雨量、降雪量和霜凍天數(shù)等天氣指標(biāo).

由于天氣衍生品的標(biāo)的不可交易，天氣衍生品市場(chǎng)屬于不完全市場(chǎng)，因此不能應(yīng)用經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方法對(duì)天氣衍生品進(jìn)行定價(jià).現(xiàn)有的天氣衍生品定價(jià)方法種類(lèi)多樣，主要包含精算定價(jià)方法、無(wú)套利定價(jià)方法、效用無(wú)差異定價(jià)方法和均衡定價(jià)方法（Lee和Oren，（2010）[3]）.傳統(tǒng)的精算定價(jià)方法通常基于精算等價(jià)原則，往往采用真實(shí)概率測(cè)度得到貼現(xiàn)價(jià)格，由于天氣衍生品市場(chǎng)存在顯著的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格，故容易導(dǎo)致較大的定價(jià)誤差.效用無(wú)差異定價(jià)方法和均衡定價(jià)方法通常以效用函數(shù)為基礎(chǔ)，由于對(duì)個(gè)人效用函數(shù)的選取較為主觀(guān)，所以容易產(chǎn)生較大的定價(jià)誤差.選取風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法確定氣溫衍生品的無(wú)套利價(jià)格比較合理，它是一種靈活而又便于實(shí)施的金融衍生品定價(jià)方法.

在無(wú)套利定價(jià)方法中，Alaton等（2002）[4]首次引入布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的O-U過(guò)程對(duì)氣溫衍生品進(jìn)行無(wú)套利定價(jià).王明亮等（2015）[5]利用布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的O-U過(guò)程擬合北京市每日平均氣溫變化，通過(guò)蒙特卡洛方法定價(jià)氣溫衍生品.王晶（2016）[6]利用布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的O-U過(guò)程擬合北京市每日平均氣溫變化，通過(guò)有限差分方法得到氣溫期權(quán)的數(shù)值結(jié)果.胡亞茹（2019）[7]采用布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的O-U過(guò)程擬合哈爾濱、北京等五個(gè)城市的每日平均氣溫變化，通過(guò)蒙特卡洛模擬得到氣溫期權(quán)價(jià)格.Alaton等（2002）[4]采用常數(shù)方差刻畫(huà)氣溫的波動(dòng)，Benth等（2007）[8]采用截?cái)嗟母道锶~級(jí)數(shù)描述方差變化的時(shí)變結(jié)果，Li（2018）[9]對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的O-U模型進(jìn)行改進(jìn)，采用偏微分方程（PDE）定價(jià)天氣衍生品.Benth等（2005）[10]發(fā)現(xiàn)氣溫殘差并不完全符合正態(tài)分布的假定，這使得氣溫衍生品在定價(jià)過(guò)程中存在較大的誤差，所以他們采用lvy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的O-U過(guò)程來(lái)擬合氣溫過(guò)程的變化軌跡.Elias等（2014）[11]首次將兩狀態(tài)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型（Markov regime-switching， MRS）模型應(yīng)用于氣溫衍生品定價(jià).隨后，Evarest等（2017）[12]對(duì)兩狀態(tài)MRS模型進(jìn)行拓展，提出時(shí)變波動(dòng)率MRS模型.Gyamerah等（2018）[13]在Evarest等（2017）[12]的工作上對(duì)MRS模型進(jìn)一步修正，得到lvy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的兩狀態(tài)MRS模型.Xiong和Mamon（2018）[14]采用受隱馬爾可夫鏈調(diào)制的O-U過(guò)程對(duì)天氣衍生品進(jìn)行定價(jià).MRS模型在一定程度上提升了天氣衍生品定價(jià)的精確性，同時(shí)也增加了計(jì)算的復(fù)雜性.通過(guò)對(duì)不同氣溫模型對(duì)比分析，最終采用MRS模型對(duì)氣溫衍生品進(jìn)行無(wú)套利定價(jià).

受Evarest等（2017）[12]和Gyamerah等（2018）[13]提出的兩狀態(tài)MRS模型啟發(fā)，進(jìn)行了兩方面的拓展，一是將時(shí)變波動(dòng)率均值回復(fù)MRS模型中基本狀態(tài)的時(shí)變波動(dòng)率拓展到帶有常數(shù)指數(shù)時(shí)變波動(dòng)率的MRS模型;二是將兩狀態(tài)的MRS模型拓展到五狀態(tài)的MRS模型.同時(shí)，基于最優(yōu)的MRS模型對(duì)取暖指數(shù)（heating degree days，HDD）期權(quán)進(jìn)行無(wú)套利定價(jià)，并通過(guò)蒙特卡羅方法得到了HDD期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解.

2 每日平均氣溫分解和馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

通過(guò)分解得到每日平均氣溫的殘差，并用MRS模型擬合每日平均氣溫殘差的變化.

3 氣溫模型數(shù)值分析

首先描述數(shù)據(jù)來(lái)源和數(shù)據(jù)特征，然后對(duì)方程（2）的參數(shù)使用非線(xiàn)性最小二乘法估計(jì).最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm，EM）以極大似然估計(jì)方法為基礎(chǔ)，較為簡(jiǎn)便也便于操作，算法收斂的穩(wěn)定性強(qiáng)，采用EM算法對(duì)MRS模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)應(yīng)該是可行的.基于所有的MRS模型，擬合氣溫?cái)?shù)據(jù)并使用誤差分析，挑選最優(yōu)的MRS模型以便于下一節(jié)對(duì)氣溫衍生品進(jìn)行定價(jià).

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源與數(shù)據(jù)特征描述

氣溫?cái)?shù)據(jù)來(lái)源于美國(guó)海洋和大氣管理局（NOAA）美國(guó)海洋和大氣管理局官網(wǎng)（https：//www.ncdc.noaa.gov/data-access/quick-links#dsi-3505）.

將氣溫衍生品應(yīng)用于農(nóng)業(yè)天氣風(fēng)險(xiǎn)管理之前，需要對(duì)氣溫衍生品進(jìn)行定價(jià).由于氣溫衍生品用于管理農(nóng)業(yè)天氣風(fēng)險(xiǎn)可能存在地理基差風(fēng)險(xiǎn)，而減少基差風(fēng)險(xiǎn)的簡(jiǎn)便方式是選取覆蓋地點(diǎn)較近的氣溫衍生品合約.因此選取長(zhǎng)沙站點(diǎn)作為湖南省具有代表性的氣象站點(diǎn)，時(shí)間區(qū)間為2016年1月1日到2019年12月31日，樣本數(shù)量為1461個(gè).在此研究的氣溫衍生品是以長(zhǎng)沙市每日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)為標(biāo)的的氣溫衍生品.需要注意的是，基于長(zhǎng)沙市每日平均氣溫指數(shù)的氣溫衍生品的價(jià)格數(shù)值并不一定與采用其他地區(qū)的氣溫?cái)?shù)據(jù)得到的價(jià)格數(shù)值一致，原因是不同地區(qū)的氣溫?cái)?shù)據(jù)存在差異，但仍然可以采用與此相同的模型、方法和步驟得到其他地區(qū)的氣溫衍生品的價(jià)格.由于樣本量較大，可能存在缺失數(shù)據(jù)的情形.對(duì)缺失數(shù)據(jù)的處理，詳見(jiàn)Alexandridi和Zapranis（2012）[16].表1中描述性統(tǒng)計(jì)呈現(xiàn)長(zhǎng)沙每日平均氣溫特征，表明樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，并且波動(dòng)性較大.

3.2 確定性函數(shù)的參數(shù)估計(jì)

采用非線(xiàn)性最小二乘法得到方程（2）的最佳參數(shù)擬合值見(jiàn)表2.R2為84.79%，表明除e3以外確定性成分平均解釋了84.79%的氣溫變化e3的P值很大而參數(shù)值很小，所以將其剔除..在圖1中，擬合的確定性成分總體上與真實(shí)數(shù)據(jù)相吻合.在圖2中，氣溫殘差有較為顯著的均值回復(fù)特征，殘差序列的波動(dòng)性呈現(xiàn)強(qiáng)烈的“跳躍”性，表明適合引入MRS模型擬合氣溫殘差.

5 結(jié) 論

通過(guò)將Evarest等（2017）[12]和Gyamerah等（2018）[13]MRS模型的時(shí)變波動(dòng)率拓展到帶常數(shù)指數(shù)的時(shí)變波動(dòng)率MRS模型，將兩狀態(tài)的MRS模型拓展到五狀態(tài)的MRS模型，發(fā)現(xiàn)MRS7模型對(duì)長(zhǎng)沙市每日平均氣溫殘差的擬合效果相對(duì)較好.五狀態(tài)MRS模型優(yōu)于其他的MRS模型.在氣溫期權(quán)定價(jià)的數(shù)值結(jié)果中，存在氣溫風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格和不存在氣溫風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格兩種情形下得到的期權(quán)價(jià)格相差較大，在氣溫期權(quán)定價(jià)時(shí)，需要考慮風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格，這與Xiong和Mamon（2018）[14]的研究結(jié)果一致.

在高狀態(tài)MRS模型的拓展中，并未使用lvy過(guò)程作為“跳躍”狀態(tài)構(gòu)建MRS模型，這可能使得某些極端異常氣溫難以被模型擬合，未來(lái)可以構(gòu)建常數(shù)指數(shù)時(shí)變波動(dòng)率均值回復(fù)過(guò)程為基本狀態(tài)、lvy過(guò)程為“跳躍”狀態(tài)的MRS模型.

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