基于MATLAB的油罐罐底板應(yīng)力分析*

邱水才，張玲艷，李 云

(1 常州大學(xué)懷德學(xué)院，江蘇 靖江 214500； 2 中國(guó)石油化工股份有限公司金陵分公司，江蘇 南京 210033)

基于油罐安全運(yùn)行的重要性和目前研究技術(shù)的不足，對(duì)油罐開(kāi)展應(yīng)力分析迫在眉睫。油罐主要有兩處位置最易發(fā)生失效，即罐頂和罐壁相連焊縫處，罐壁與罐底相連焊縫處；其中，最理想的失效位置是在罐頂與罐壁相連處，此處失效可避免油罐內(nèi)介質(zhì)流出帶來(lái)危害[1]；但在實(shí)際工作過(guò)程中，由于內(nèi)部載荷作用，罐底板易發(fā)生部分翹離現(xiàn)象，當(dāng)內(nèi)部載荷達(dá)到一定值時(shí)，底板連接焊縫因承受過(guò)大彎曲載荷會(huì)發(fā)生撕裂，給油罐的正常運(yùn)行帶來(lái)安全隱患，甚至事故。

為了安全運(yùn)行，油罐在投入使用前必須進(jìn)行靜水壓試驗(yàn)，即要對(duì)油罐罐底板和罐壁板強(qiáng)度、嚴(yán)密性以及基礎(chǔ)沉降情況進(jìn)行檢驗(yàn)。因油罐罐底板受力復(fù)雜，為方便研究其受力，根據(jù)油罐整體結(jié)構(gòu)和受力的特點(diǎn)，可選二維軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)作為油罐的理論分析模型。

對(duì)罐底的應(yīng)力分析方法，目前主要有四種，第一種是1995年吳天云等提出了一種大型油罐彈性地基與剛性地基耦合計(jì)算罐底應(yīng)力的新型方法；第二種是1978年中科院力學(xué)所李國(guó)琛等提出了一種計(jì)算罐底板應(yīng)力的理論計(jì)算模型，但該模型未考慮罐底板伸出壁板外的長(zhǎng)度影響，其計(jì)算值與實(shí)測(cè)值誤差相差很大；第三種是1968年J B Denham等[2]提出了API剛性地基梁方法計(jì)算大型油罐罐底應(yīng)力，但此理論方法計(jì)算的應(yīng)力值與實(shí)測(cè)值相差較大；第四種是彈性地基梁法。2011年曲曉建等[3]對(duì)油罐罐底及邊緣板的應(yīng)力計(jì)算方法進(jìn)行了研究，并通過(guò)有限元模擬進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明彈性地基與剛性地基耦合的理論計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的值更吻合，應(yīng)力值與實(shí)測(cè)應(yīng)力值更接近。

基于彈性地基與剛性地基耦合的方法，在靜水壓和自重作用下，構(gòu)建油罐罐底與罐壁二維軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)模型，并對(duì)油罐罐底板應(yīng)力進(jìn)行分析，推導(dǎo)出其理論解；再借助MATLAB軟件算出罐底板上徑向應(yīng)力分布情況，這對(duì)油罐的設(shè)計(jì)、建造、運(yùn)行及維護(hù)具有重要意義。

1 理論模型

油罐主要有罐底、罐壁和罐頂三部分構(gòu)成，罐底作為支撐整個(gè)罐體的主要受力部件，罐底板是由中幅板和邊緣板兩部分組成；中幅板位于罐底中間部分，相對(duì)較薄；邊緣板位于罐底最邊緣一圈，相對(duì)較厚；圖1為罐底板結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 罐底板結(jié)構(gòu)示意圖

油罐均要在罐底下面做剛性地基和彈性地基，其中，剛性地基是由鋼筋混凝土澆筑的環(huán)墻基礎(chǔ)，環(huán)墻基礎(chǔ)的作用是使罐體載荷傳遞給地基，防止油罐產(chǎn)生過(guò)大的不均勻沉降。油罐與地基結(jié)構(gòu)如圖2所示，環(huán)墻基礎(chǔ)頂面為堅(jiān)實(shí)的水平面，鋼筋混凝土環(huán)墻基礎(chǔ)里面是由回填砂組成的彈性地基。

圖2 油罐與地基結(jié)構(gòu)

靜水壓試驗(yàn)結(jié)果表明，油罐罐底在靜水壓作用下邊緣板產(chǎn)生翹離，并且罐底最外側(cè)總落于剛性地基的某點(diǎn)上[4]；罐壁在靜水壓作用下向半徑方向膨脹變形。油罐罐底及罐壁在靜水壓作用下產(chǎn)生的變形如圖3所示。

圖3 油罐罐底及罐壁的變形圖

使用彈性地基與剛性地基耦合方法對(duì)油罐力學(xué)模型進(jìn)行分析，考慮油罐的靜水壓和自重作用，得到罐底板與罐壁板的受力情況如圖4所示。視為半無(wú)限長(zhǎng)的罐底板與彈性地基接觸部分稱(chēng)作第I 部分；將罐底翹起部分稱(chēng)作第Ⅱ部分，罐底板翹起長(zhǎng)為L(zhǎng)，罐底板伸出罐壁中心線(xiàn)的長(zhǎng)度為l；罐壁板的底圈稱(chēng)作第Ⅲ部分。

圖4 罐底板與罐壁板受力模型

環(huán)形邊緣板處在第Ⅱ部分，第Ⅱ部分受力有：罐壁單位長(zhǎng)度上的重力G，單位長(zhǎng)度上液體靜水壓強(qiáng)P，邊緣板最外側(cè)受單位長(zhǎng)度上的簡(jiǎn)支力R1，彈性地基與剛性地基交接處邊緣板截面上單位長(zhǎng)度上的剪力R2和彎矩M2，罐壁與罐底相連處罐壁在圓周單位長(zhǎng)度上的彎矩M0和約束剪力Q0，地面摩擦f以及第I部分對(duì)第Ⅱ部分的拉力F作用。

2 公式推導(dǎo)

根據(jù)第Ⅱ部分受力，由靜平衡方程式∑y=0，可得出：

R1+R2=G+P(L-l)

(1)

對(duì)0點(diǎn)取矩：

R2L=0.5P(L-l)2+Gl+M0+M2

(2)

2.1 計(jì)算l≤x≤L時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角

當(dāng)l≤x≤L時(shí)，罐底在x處的彎矩Mx，在剪力R2、彎矩M2和靜水壓強(qiáng)P的作用下：

Mx=-Dy″=R2(L-x)-0.5P(L-x)2-M2

(3)

(4)

(5)

式中C1，C2為積分常數(shù)，D為罐底板抗彎剛度系數(shù)，x表示罐底板沿徑向從邊緣板最外側(cè)到罐底另一點(diǎn)的距離，如圖4所示；y為撓度，y′為轉(zhuǎn)角。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]得第I部分左端點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角為：

(6)

(7)

式中β為罐底板特征系數(shù)，K為罐底板彈性系數(shù)；

(8)

(9)

當(dāng)l≤x≤L時(shí)，把C1、C2的解代回式(4)、式(5)得轉(zhuǎn)角y′、撓度y的關(guān)系式各為：

(10)

(11)

2.2 計(jì)算x≤l時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角

當(dāng)x≤l時(shí)，在剪力R2、彎矩M2、靜水壓強(qiáng)P、重力G和彎矩M0的作用下，可得：

Mx=-Dy″=R2(L-x)-0.5P(L-x)2-G(l-x)+
0.5P(l-x)2-(M2+M0)

(12)

(13)

(14)

式中C3，C4為積分常數(shù)，可根據(jù)邊界條件求出C3，C4。

當(dāng)x=l時(shí)，式(10)與式(13)的轉(zhuǎn)角相同，式(11)與式(14)的撓度相同，聯(lián)立則可得積分常數(shù)C3，C4：

(15a)

(15b)

當(dāng)x=0時(shí)，式(14)的撓度y=0，可得：

(16)

由式(2)、(6)及(16)聯(lián)立可得罐底的彎矩M0、M2及支持力R2表達(dá)式為：

(17)

(18)

(19)

(20a)

A2=1+βL

(20b)

(20c)

(20d)

2.3 計(jì)算x=l時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角

邊緣板x=l處的轉(zhuǎn)角θb由式可(10)得：

(21)

罐壁板處的轉(zhuǎn)角θs由文獻(xiàn)[2]得：

(22)

式中H為靜水高度，γ為介質(zhì)的重度，βs罐壁板特征系數(shù)，Ks罐壁板彈性系數(shù)，Ds為罐底板抗彎剛度系數(shù);

在x=l處相同的邊緣力系M0作用下，邊緣板的轉(zhuǎn)角與罐壁板的轉(zhuǎn)角關(guān)系為：θb=-θs，即式(21)與式(22)相加為零。

聯(lián)立式(17)、(18)、(19)、(20)、(21)、(22)，可求出邊緣板最外側(cè)翹起長(zhǎng)度L，彈性地基與剛性地基交接處邊緣板截面單位長(zhǎng)度上的彎矩M2和剪力R2。

2.4 計(jì)算罐底板徑向、環(huán)向彎曲應(yīng)力

(23a)

(23b)

當(dāng)x>L時(shí)：

R2sin[β(x-L)]}

(23c)

式中x表示罐底板沿徑向從邊緣板最外側(cè)到罐底另一點(diǎn)的距離。

并且，有油罐罐底板環(huán)向彎曲應(yīng)力解析式[6]：

σbθ=μσbr

(24)

式中μ表示鋼材泊松比；σbθ、σbr為罐底板的上表面環(huán)向、徑向彎曲應(yīng)力。

3 舉例說(shuō)明

表1 油罐的計(jì)算參數(shù)表

由上述公式推導(dǎo)可知，油罐罐底環(huán)向彎曲應(yīng)力小于徑向彎曲應(yīng)力，在靜水壓試驗(yàn)下，罐底板上表面徑向彎曲應(yīng)力最大，對(duì)其應(yīng)力求解，可得罐底板最大應(yīng)力分布情況。根據(jù)表1油罐的計(jì)算參數(shù)表，利用MATLAB軟件計(jì)算，可得罐底板翹離地面的長(zhǎng)度L為0.253 m，彎矩M2為3.328 kN·m/m，剪力R2為-18.532 kN/m。

將已解出的罐底翹離地面的長(zhǎng)度L，彎矩M2，剪力R2代入表面徑向彎曲應(yīng)力的解析式中，可得罐底板徑向彎曲應(yīng)力的具體表達(dá)式為：

當(dāng)x≤0.061m時(shí)

σbr=-1406x

(25a)

當(dāng)0.061m

(25b)

當(dāng)x>0.253m時(shí)

(25c)

圖5 罐底板上表面徑向彎曲應(yīng)力分布圖

根據(jù)罐底板的徑向彎曲應(yīng)力表達(dá)式(25a)，(25b)和(25c)，借助MATLAB軟件計(jì)算，可繪制罐底板上表面徑向彎曲應(yīng)力分布如圖5所示。

顯然，油罐在靜水壓和自重作用下，罐底板上表面徑向彎曲應(yīng)力沿著邊緣板最外側(cè)朝內(nèi)側(cè)的方向上，呈現(xiàn)“谷值-峰值-谷值”狀態(tài)分布，其值分別為-85.8 MPa、396.6 MPa和-32.7 MPa；在罐底與罐壁相連的大角焊縫處應(yīng)力較為復(fù)雜，出現(xiàn)了外角焊縫處的最大壓應(yīng)力逐漸消退的同時(shí)，內(nèi)角焊縫處的拉應(yīng)力陡增到最大的現(xiàn)象。另外，在邊緣板到中幅板過(guò)渡段的應(yīng)力則由受壓轉(zhuǎn)變?yōu)槭芾?，在中幅板上罐底徑向?yīng)力值保持平衡，其值不大于5 MPa。

4 結(jié) 論

在油罐罐底板和罐壁板的焊接處，應(yīng)力狀態(tài)十分復(fù)雜，罐底板主要受徑向彎曲應(yīng)力，罐壁板主要受環(huán)向應(yīng)力，借助MATLAB軟件可有效地計(jì)算出罐底板大角焊縫處的應(yīng)力大小，從而評(píng)估油罐的安全性，這對(duì)油罐的設(shè)計(jì)、建造、運(yùn)行及維護(hù)具有重要意義。