一種變參數(shù)模型平方根UKF 鋰離子電池SOC 估計(jì)方法

高文凱, 嚴(yán)利民,孫 疊

(1.上海大學(xué)微電子研究與開發(fā)中心,上海200444;2.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海200444)

鋰離子電池作為一種能源,廣泛應(yīng)用于便攜式設(shè)備、電動(dòng)汽車、可再生能源以及人造衛(wèi)星等多種領(lǐng)域.與鉛酸、鎳鎘等其他電池比較,鋰離子電池具備更高的能量密度、更低的自放電率和較長(zhǎng)的循環(huán)壽命等品質(zhì).然而,鋰離子電池過充電或過放電會(huì)對(duì)電池的性能和壽命造成不可逆的損害.為了保障電池的安全和性能,現(xiàn)代電池管理系統(tǒng)迫切需要一種穩(wěn)定、精確的荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)估算方法[1].

目前，已有學(xué)者提出了多種SOC估計(jì)方法[2-9],其中庫倫計(jì)數(shù)法以其算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)而成為應(yīng)用最廣泛的方法.然而庫侖計(jì)數(shù)法是開環(huán)估計(jì),累積的電流測(cè)量誤差可使誤差高達(dá)25%[4].潘貴財(cái)[5]開發(fā)了基于模糊邏輯和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能計(jì)算方法用于SOC估計(jì),雖然該方法能夠提供準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果,但是計(jì)算成本高,此外還受到訓(xùn)練過程和訓(xùn)練數(shù)據(jù)集質(zhì)量的影響.另外,有些文獻(xiàn)報(bào)道了基于電池狀態(tài)空間的估計(jì)方法,如滑模觀測(cè)器[6]和擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)[7-8].雖然滑模觀測(cè)器能較好地處理模型的非線性效應(yīng),但當(dāng)輸出有噪聲時(shí)其性能會(huì)變差;EKF已被廣泛應(yīng)用于SOC估計(jì),然而EKF中非線性函數(shù)(或雅可比矩陣)的線性化近似增大了實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度,同時(shí)不準(zhǔn)確的雅可比矩陣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致濾波器發(fā)散,影響其穩(wěn)定性.

考慮到以上這些方法存在的問題,本工作結(jié)合變參數(shù)2階戴維南等效模型的平方根無跡卡爾曼濾波算法(square root unscented Kalman filter,SRUKF),提出了新的SOC估算方法.SRUKF不需要對(duì)非線性模型進(jìn)行線性化,并且比EKF(1階)具有更高的誤差階(2階).另外,SRUKF不需要像常規(guī)的無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)那樣對(duì)狀態(tài)協(xié)方差進(jìn)行重構(gòu).變參數(shù)2階戴維南等效模型能夠反映鋰電池各項(xiàng)參數(shù)隨SOC變化的情況,能夠比常規(guī)的固定參數(shù)模型更好地描述鋰電池實(shí)際工作狀態(tài),使SOC的估計(jì)值更接近真實(shí)情況.該方法經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,與EKF,UKF以及使用固定參數(shù)模型的估計(jì)值進(jìn)行了對(duì)比.結(jié)果表明,本工作提出的基于變參數(shù)模型的SRUKF比其他方法具有更低的誤差.

1 鋰離子電池模型

圖1為本工作所提出的鋰離子電池變參數(shù)2階戴維南等效模型.在該電路中,可變電阻R0表示為在電池充電/放電過程中的瞬時(shí)電壓降;采用2組可變電阻-電容(resistorcapacitance,RC)網(wǎng)絡(luò)來模擬電池充電/放電過程中的馳豫效應(yīng).一般來說,這種網(wǎng)絡(luò)比具有單個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的電池模型具有更高的建模精度,Rs和Cs網(wǎng)絡(luò)分支模擬電池的短時(shí)瞬態(tài)響應(yīng),而Rl和Cl是用來代表長(zhǎng)期的瞬態(tài)響應(yīng)[10].模型中的R0,Rs,Cs,Rl和Cl都是隨電池SOC變化的參數(shù).VOC代表電池的開路電壓(opening circuit voltage,OCV),Vt為電池端電壓,IB為充放電電流.

圖1 鋰離子電池的變參數(shù)2階戴維南等效模型Fig.1 Variable-parameter second-order Thevenin equivalent model for Li-ion batteries

1.1 開路電壓與荷電狀態(tài)的關(guān)系

電池的OCV與SOC具有非線性關(guān)系.為了獲得這一非線性函數(shù),試驗(yàn)使用36 A·h 3.6 V的鎳鈷錳酸鋰(Li(NiCoMn)O2)電池進(jìn)行復(fù)合脈沖功率特性測(cè)試(hybrid pulse power characterization test,HPPC).HPPC可以獲得在不同SOC水平下相應(yīng)的OCV,同時(shí)也可以對(duì)不同SOC水平下相應(yīng)的電池參數(shù)進(jìn)行計(jì)算[11].HPPC的步驟如下:①以恒流-恒壓方式將電池充滿;②以1 C的電流放去10%的電量(1C為在1 h的時(shí)間內(nèi)將電池電量從0充到 100%的電流,在數(shù)值上等于以A·h為單位的電池容量,本實(shí)驗(yàn)中為36 A);③靜置1 h,此時(shí)可測(cè)量SOC水平下相應(yīng)的VOC;④依次進(jìn)行10 s放電脈沖、40 s靜置、10 s充電脈沖,之后重復(fù)步驟②～④9次,分別在SOC為1.0,0.9,···,0.1共10個(gè)點(diǎn)上進(jìn)行電流脈沖試驗(yàn).圖2為HPPC全過程電流脈沖和電壓響應(yīng)曲線.圖3顯示了從實(shí)驗(yàn)中得到的每個(gè)SOC水平下相應(yīng)的OCV曲線.

為了描述圖3中OCV與SOC之間的關(guān)系,采用多項(xiàng)式曲線擬合

式中:ξ表示為SOC.基于圖3中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),利用Matlab軟件中的擬合工具計(jì)算出的系數(shù)分別為m1=8.388,m2=?28.65,m3=35.58,m4=?19.14,m5=4.743,m6=3.231.此處擬合為一個(gè)5階方程是適當(dāng)?shù)?產(chǎn)生誤差的范數(shù)僅為0.019 5.

圖2 HPPC全過程電流脈沖和電壓響應(yīng)曲線Fig.2 Current pulse and voltage response curves of HPPC

圖3 實(shí)驗(yàn)得到的SOC-OCV關(guān)系及其擬合曲線Fig.3 SOC-OCV relation obtained from experiment and its fitting curve

1.2 電池狀態(tài)空間方程

電池SOC可以表示為離散時(shí)間變量

式中:Qb表示為電池放電容量;IB為放電電流;?t為采樣時(shí)間;η為庫倫效率.根據(jù)基爾霍夫電路定律,2個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的電路動(dòng)力學(xué)方程為

將[ξVsVl]T作為狀態(tài)變量,由式(2)～(4)可以得到電池狀態(tài)空間方程為

根據(jù)圖1,以電池端電壓Vt作為系統(tǒng)輸出,以充放電電流IB作為系統(tǒng)輸入,可以獲得Vt的測(cè)量函數(shù)H為

這里,為了估計(jì)ξ,Vs和Vl,需要知道電池參數(shù)R0,Rs,Rl,Cs和Cl.

1.3 電池參數(shù)的提取

在本工作中,使用傳遞函數(shù)法來識(shí)別所需的電池參數(shù)[12].在頻域的電池端電壓可以寫成

式中:S為拉普拉斯變換變量.考慮Vt?VOC作為輸出,電流IB作為輸入,則能夠?qū)С鰝鬟f函數(shù)G(s)為

通過在HPPC中不同的SOC間隔內(nèi)注入充放電脈沖,并測(cè)量相應(yīng)的電壓響應(yīng),可以識(shí)別出傳遞函數(shù)和辨識(shí)參數(shù).圖4為在90%的SOC下充放電脈沖和電壓響應(yīng)的一個(gè)示例.

圖4 HPPC單個(gè)電流脈沖和對(duì)應(yīng)的電壓響應(yīng)曲線Fig.4 Single current pulse and corresponding voltage response curve in HPPC

利用注入的電流脈沖和相應(yīng)的電壓響應(yīng),可以得到傳遞函數(shù)G(s)的系數(shù)(a2,a1,a0,b1和b0).通過求解這些系數(shù),能夠得到電池參數(shù)(R0,Rs,Cs,Rl和Cl).在每個(gè)SOC水平上,針對(duì)每個(gè)測(cè)量電壓識(shí)別不同的傳遞函數(shù)并辨識(shí)參數(shù).由于參數(shù)的變化對(duì)SOC有重要的影響[9],故不能取參數(shù)的平均值,而要使模型中的這些參數(shù)隨SOC的變化而變化,這就是變參數(shù)模型.表1列出了已辨識(shí)的電池參數(shù),圖5為利用所得到的SOC-OCV關(guān)系和電池參數(shù)在Matlab軟件上建立的鋰電池變參數(shù)2階戴維南等效模型.

為了驗(yàn)證所建立的電池模型,在模型上進(jìn)行同樣的HPPC.真實(shí)電池的電壓響應(yīng)和模型的電壓響應(yīng)及其絕對(duì)誤差分別如圖6和7所示.從圖7中能夠看出,在施加充放電脈沖時(shí),端電壓最大絕對(duì)誤差小于50 mV,說明利用所得到的SOC-OCV關(guān)系和電池參數(shù)建立的電池模型能夠準(zhǔn)確地表示出真實(shí)電池的工作狀態(tài).

表1 參數(shù)識(shí)別結(jié)果Table 1 Results of parameter identification

圖5 在Matlab軟件上建立的變參數(shù)2階戴維南等效模型Fig.5 Variable-parameter second-order Thevenin equivalent model based on Matlab software

圖6 真實(shí)電池電壓和模型電壓的比較Fig.6 Comparison between real battery voltage and model voltage

圖7 模型電壓的絕對(duì)誤差Fig.7 Absolute errors of model voltage

2 平方根無跡卡爾曼濾波SOC估計(jì)算法

本工作引入了SRUKF算法,運(yùn)用矩陣的QR分解和Cholesky分解來處理UKF算法在數(shù)字計(jì)算的穩(wěn)定性和狀態(tài)協(xié)方差的半正定性方面存在的問題[13].

卡爾曼濾波的主要思想是,結(jié)合前一時(shí)刻狀態(tài)的估算量、新的系統(tǒng)輸入量和觀測(cè)量,通過系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到當(dāng)前時(shí)間的狀態(tài)估計(jì).通常非線性系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程為

式中:x為狀態(tài)變量[ξ VsVl]T;y為觀測(cè)變量Vt;f為非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(見式(5));h為非線性觀測(cè)方程(見式(6));wk,vk為狀態(tài)變量x與觀測(cè)變量y的高斯白噪聲,其方差矩陣分別為

當(dāng)估算系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí),需要預(yù)先給出狀態(tài)量的初始值.設(shè)狀態(tài)量的初始值為bx0,初始狀態(tài)估算誤差的協(xié)方差P0的Cholesky分解因子為S0,則有

2.1 無跡變換

每一時(shí)刻狀態(tài)變量的均值bx與協(xié)方差P的Cholesky分解因子S,經(jīng)過無跡變換獲得2n+1個(gè)(n為狀態(tài)變量的維數(shù))采樣點(diǎn)(稱為Sigma點(diǎn)集)與其權(quán)值ω,Sigma點(diǎn)集的選擇通常根據(jù)先驗(yàn)均值和先驗(yàn)協(xié)方差矩陣平方根的相關(guān)列來實(shí)現(xiàn):

式中:Si表示為S的第i列.Sigma點(diǎn)集權(quán)值的計(jì)算為

式中:ωm為Sigma點(diǎn)集均值的權(quán)重;ωc為協(xié)方差的權(quán)重;參數(shù)λ=α2(n+ki)?n是一個(gè)縮放比例,能夠降低系統(tǒng)總的估計(jì)誤差;α與采樣點(diǎn)的狀態(tài)分布有關(guān),通常將α設(shè)為較小的正值以降低高階矩的影響;β是一個(gè)非負(fù)權(quán)系數(shù),可以減小狀態(tài)估計(jì)的峰值誤差,改善協(xié)方差的準(zhǔn)確度.

2.2 平方根無跡卡爾曼濾波

SRUKF算法的基本步驟如下:

(1)利用式(12),(13)中無跡變換得到2n+1個(gè)采樣點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的權(quán)值,即

(2)通過系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,計(jì)算這些采樣點(diǎn)的一步預(yù)測(cè),

(3)由Sigma點(diǎn)集的一步預(yù)測(cè)和Sigma點(diǎn)集的權(quán)值ω計(jì)算狀態(tài)量的一步預(yù)測(cè)均值,

(4)由Sigma點(diǎn)集的一步預(yù)測(cè)值和系統(tǒng)輸入量,通過系統(tǒng)的觀測(cè)方程,計(jì)算得到系統(tǒng)觀測(cè)量的2n+1個(gè)預(yù)測(cè)值,

(5)2n+1個(gè)觀測(cè)量預(yù)測(cè)值加權(quán)求和,獲得系統(tǒng)觀測(cè)變量的預(yù)測(cè)均值以及觀測(cè)變量協(xié)方差的Cholesky因子,

(6)計(jì)算卡爾曼增益矩陣,

(7)利用K更新,

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證所提出的方法,將上述對(duì)36 A·h 3.6 V的Li(NiCoMn)O2電池做HPPC時(shí)獲得的電池充放電電流數(shù)據(jù),與端電壓數(shù)據(jù)分別輸入給應(yīng)用在變參數(shù)模型的EKF,UKF和SRUKF算法,將這3種方法得到的SOC估計(jì)值與HPPC過程中記錄到的電池SOC真實(shí)值作對(duì)比,其結(jié)果如圖8所示.圖9顯示了3種估計(jì)算法所得結(jié)果的絕對(duì)誤差,可以發(fā)現(xiàn)在初始的一段很短的時(shí)間內(nèi)3種方法誤差均較大,原因是對(duì)于算法來說初始SOC值是未知的,因此需要一定的時(shí)間將估計(jì)值收斂到真實(shí)值.從圖9中還可以看出,3種方法均能在200 s內(nèi)收斂到真實(shí)的SOC,收斂時(shí)間非常短,說明這3種卡爾曼濾波算法都有著較好的收斂性.在3種算法的結(jié)果都收斂到真實(shí)SOC時(shí),可以直觀地看出SRUKF的誤差是相對(duì)最小的.為了準(zhǔn)確評(píng)價(jià)這3種不同的SOC估計(jì)方法的性能,分別計(jì)算其估計(jì)結(jié)果的最大絕對(duì)誤差、平均絕對(duì)誤差(mean absolute error,MAE)和均方根誤差(root mean square error,RMSE),結(jié)果如表2所示.在3種同樣應(yīng)用于變參數(shù)模型的SOC估計(jì)算法中,SRUKF的3項(xiàng)指標(biāo)都是最小的,這表明SRUKF對(duì)SOC的估計(jì)有著更高的精確度.

圖8 3種SOC估計(jì)算法結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison between results of three SOC estimation algorithms

圖9 3種估計(jì)算法的絕對(duì)誤差Fig.9 Absolute errors of three estimation algorithms

表2 各估計(jì)算法的誤差指標(biāo)Table 2 Error indexes of each estimation algorithm

為了將本工作所建立的變參數(shù)模型與固定參數(shù)模型作對(duì)比,將辨識(shí)出的不同SOC水平下的各項(xiàng)參數(shù)取平均值作為這些參數(shù)的固定值,建立常規(guī)的2階戴維南等效模型;并在此模型上應(yīng)用SRUKF,輸入同樣的電池充放電電流數(shù)據(jù)與端電壓數(shù)據(jù),將所得的SOC估計(jì)結(jié)果與變參數(shù)模型下得到的估計(jì)結(jié)果作對(duì)比,結(jié)果如圖10所示.圖11顯示了2種模型所得結(jié)果的絕對(duì)誤差,可以直觀地看出變參數(shù)模型的誤差是相對(duì)較小的.為了準(zhǔn)確評(píng)價(jià)2種模型的SOC估計(jì)方法的性能,分別計(jì)算其估計(jì)結(jié)果的最大絕對(duì)誤差MAE和RMSE,其結(jié)果亦列于表2中.從表2可以看出變參數(shù)模型的3項(xiàng)指標(biāo)比較小,說明應(yīng)用于變參數(shù)模型的SOC估計(jì)算法有著更高的準(zhǔn)確度.

圖10 SRUKF分別應(yīng)用在變參數(shù)模型和固定參數(shù)模型上的估計(jì)結(jié)果Fig.10 Estimation results of SRUKF applied to the variable-parameter model and the fixedparameter model respectively

圖11 固定參數(shù)模型與變參數(shù)模型的絕對(duì)誤差Fig.11 Absolute errors of fixed-parameter model and variable-parameter model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本工作所提出的SRUKF與鋰電池變參數(shù)模型結(jié)合的方法在SOC估算方面的準(zhǔn)確性,本工作與其他文獻(xiàn)中同類使用SRUKF估算SOC的結(jié)果進(jìn)行了比較.其中文獻(xiàn)[14]使用了SRUKF估算SOC,該文獻(xiàn)亦考慮了電池模型參數(shù)隨SOC變化的狀況,但沒有應(yīng)用如本工作類似的變參數(shù)模型;文獻(xiàn)[15]則采用了做球面變換的SRUKF來估算SOC,該方法對(duì)SRUKF算法本身進(jìn)行了改進(jìn),降低了計(jì)算要求,對(duì)比結(jié)果如表3所示.從表3中可以看出,采用本工作的方法估算SOC的準(zhǔn)確性比其他2種文獻(xiàn)中的方法高.

表3 本方法與其他文獻(xiàn)中同類方法的比較Table 3 Comparison between the method in this paper and the similar methods in other literatures

4 結(jié)束語

本工作為改善鋰離子電池SOC估算的準(zhǔn)確性,在鋰離子電池2階戴維南等效模型的基礎(chǔ)上,建立變參數(shù)模型以提高電池模型的精確度,并在此模型上應(yīng)用SRUKF算法進(jìn)行鋰離子電池的SOC實(shí)時(shí)估計(jì).該算法不存在EKF中線性化處理非線性函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的誤差,同時(shí)解決了UKF中難以分解非正定矩陣的問題,優(yōu)化了數(shù)字計(jì)算的穩(wěn)定性和狀態(tài)協(xié)方差的半正定性.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析,證實(shí)了在變參數(shù)模型上應(yīng)用SRUKF的方法估算電池SOC具有較強(qiáng)的實(shí)用性、較快的收斂性和較高的準(zhǔn)確性.