斜坡道路考慮平均流量差預(yù)期效應(yīng)的格子流體力學(xué)模型

魏 麒,常銀銀,葛紅霞,程榮軍

(1.寧波財經(jīng)學(xué)院國際經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)院,浙江寧波315175;2.寧波大學(xué)海運學(xué)院,浙江寧波315211)

隨著汽車的增多,道路上的交通堵塞情況日趨嚴(yán)重.為了有效緩解交通擁堵,深入了解交通擁堵的本質(zhì)尤為關(guān)鍵.為此,學(xué)者們從不同的角度對交通流系統(tǒng)進(jìn)行了分析,并提出了大量的交通流模型,其中包括跟馳模型[1-2]、元胞自動化模型[3-4]、流體力學(xué)模型[5-6]和氣體動力學(xué)模型[7-8]等.

為了研究交通密度波的演化特征,Nagatani[9]提出了第一個經(jīng)典的格子流體力學(xué)模型,該模型的優(yōu)點在于結(jié)合了宏觀流體力學(xué)模型和微觀跟馳模型的思想,更有利于分析交通系統(tǒng)的特性.隨后,通過對駕駛員記憶效應(yīng)、交通中斷概率、預(yù)期效應(yīng)、后視效應(yīng)等因素的研究,大量真實的交通因素在模型中被提出.

在實際交通流中,不同的道路條件影響著司機的駕駛行為.因此,一些學(xué)者從平坦道路轉(zhuǎn)向有坡度的道路去研究交通流模型.基于在坡度公路上考慮重力對交通流的影響,Komada等[10]提出了最優(yōu)速度模型,以探索在坡度公路上何時何地會出現(xiàn)交通堵塞;Ge等[11]提出了在斜坡上考慮雙向行人流的格子流體動力學(xué)模型,其研究結(jié)果表明隨著坡度的增大,上坡過程中交通流穩(wěn)定性顯著提高,而下坡過程中交通流的穩(wěn)定性降低;為了分析斜坡上的交通流的穩(wěn)定性,Gupta等[12]提出了最優(yōu)流量差的格子流體力學(xué)模型,其數(shù)值模擬結(jié)果表明考慮最優(yōu)流量差可以有效地緩解交通擁堵;Cao等[13]提出了一種新的雙車道格子模型,該模型是在坡度公路上考慮相對流量對交通流的影響,研究結(jié)果顯示相對流量和車道的改變都可以有效緩解交通擁堵;隨后,Kaur等[14]考慮了司機在一個斜坡的彎道公路上的預(yù)期效應(yīng),建立了一個新的格子流體力學(xué)模型,在該論文中斜坡上的彎道公路的一些復(fù)雜的交通流問題被研究.

在駕駛過程中,司機可以根據(jù)平均流量差預(yù)測當(dāng)前的交通狀況,進(jìn)而快速調(diào)整駕駛行為.為了緩解交通壓力,許多學(xué)者研究了在單車道或雙車道上平均流量差對交通流穩(wěn)定的影響.然而,很少有人在斜坡上考慮平均流量差的預(yù)期效應(yīng)對交通流穩(wěn)定性的影響.基于以上觀點,本工作提出了一種新的格子流體力學(xué)模型,利用控制方法和約化攝動法研究了不同坡度下平均流量差預(yù)期效應(yīng)對交通流的影響.

1 改進(jìn)的模型

1998年,Nagatani[9]結(jié)合微觀跟馳模型和宏觀流體動力學(xué)模型的觀點提出了格子流體動力學(xué)模型,其連續(xù)方程和運動方程為

式中:j表示為格子點的位置;ρj和vj分別為第j個格子處、t時刻的密度和速度;a為司機的敏感系數(shù);ρ0為平均密度.

最近,Jiang等[15]在平坦道路上考慮了平均流量差對交通流穩(wěn)定的影響,并證實該模型提高了交通流的穩(wěn)定性.在實際交通中,斜坡公路上的交通行為不同于平坦公路.假設(shè)在一個單車道的坡度公路上有很多前行的車輛,作用于上坡和下坡時公路上的車輛所受的力如圖1所示.圖中,斜坡的坡度用θ表示,g為重力加速度,m為車輛的質(zhì)量.在平行坡面方向上,當(dāng)司機不剎車時,有一外力mg sinθ.根據(jù)以上觀點,在坡度公路上考慮平均流量差預(yù)期效應(yīng)的格子流體動力學(xué)模型被提出:

式中:k為影響系數(shù),反映了坡度道路平均流量差預(yù)期效應(yīng)的強度;為在格子j到j(luò)+l處預(yù)期的平均流量,t0為預(yù)期時間;qj為格子j處的交通流量,反映的是ρj和vj的乘積;V(ρj+1,θ)為斜坡上的優(yōu)化速度函數(shù),其中上坡公路

下坡公路

式中:vf,max為無坡度時的最大速度;“?”對應(yīng)于上坡情況,“+”對應(yīng)于下坡情況;hc,θ為制動距離,在上坡時hc,u,θ=hc(1?εsinθ),下坡過程中hc,d,θ=hc(1+φsinθ),ε和φ分別為上、下坡時的系數(shù);vg,u,max和vg,d,max為上坡最大減小速度和下坡最大增強速度,其表達(dá)式為

式中:μ為摩擦系數(shù).為了便于計算,令ε=φ=1,mg/μ=1,?8?<θ<8?,結(jié)合式(5)和(6),最優(yōu)速度函數(shù)可改寫為

式中:vg,max為坡度公路上的最大速度,vg,max=vg,u,max=vg,d,max,hc,θ =hc,u,θ =hc,d,θ. 這里可令

2 線性穩(wěn)定分析

利用控制方法對坡度公路上考慮平均流量差預(yù)期效應(yīng)的格子模型進(jìn)行研究,從而得到滿足線性穩(wěn)定的條件.假設(shè)在穩(wěn)態(tài)均勻流下的期望密度和期望流量滿足由于在現(xiàn)實交通流中絕對的穩(wěn)定狀態(tài)并不存在,因此在穩(wěn)定狀態(tài)周圍加入一個小擾動,得到

對式(9)和(10)進(jìn)行拉普拉斯變換,可以得到

式中:L(ρj+1)=Pj+1(s),L(qj+1)=Qj+1(s),L(qj)=Qj(s),L(qj?1)=Qj?1(s);L(·)為拉普拉斯變換;s為一個復(fù)雜變量.消去式(11)和(12)中的變量Pj+1(s),得到

假設(shè)不發(fā)生交通擁堵,模型應(yīng)滿足:特征多項式p(s)穩(wěn)定且傳遞函數(shù).根據(jù)Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知,不等式即滿足特征多項式p(s)穩(wěn)定的條件.利用范數(shù)的性質(zhì),得出了滿足∥G(s)∥∞6 1的條件,即

傳遞函數(shù)可以展開為

對式(16)進(jìn)行化簡,得到

通過上述分析,滿足傳遞函數(shù)||G(s)||∞6 1的充要條件為

3 非線性分析

為了描述交通密度波的演變特征,通過約化攝動法得到了臨界點(hc,ac)附近的mKdV方程.在臨界點(hc,ac)附近,引入時間變量t、空間變量j、慢變量X和T,有如下定義:

式中:b為待定常數(shù);ε是一個小的正尺度參數(shù),滿足0<ε?1.假設(shè)密度ρj滿足

把式(19)和(20)帶入式(4)中,對式(4)進(jìn)行泰勒展開,展開到ε的5階項,得到如下偏微分方程:

式中,系數(shù)gi如表2所示.

表1 模型中的系數(shù)kiTable 1 Coefficients kiof the model

表2 模型中系數(shù)giTable 2 Coefficients giof the model

忽略校正項o(ε)的影響,標(biāo)準(zhǔn)的mKdV方程的扭結(jié)-反扭結(jié)孤立波解為

假設(shè)R′(X,T′)=R′0(X,T′)+εR′1(X,T′),為了獲得扭結(jié)-反扭結(jié)孤立波的傳播速度c,必須滿足的可解性條件為

根據(jù)以上分析,坡度道路上考慮平均流量差預(yù)期效應(yīng)的交通流扭結(jié)-反扭結(jié)孤立波的一般解可表示為

4 數(shù)值模擬

為了驗證斜坡上預(yù)期效應(yīng)的平均流量差對交通流的影響,本工作對模型進(jìn)行了數(shù)值模擬.首先對模型進(jìn)行離散,得到

式中:?t=0.05為時間步長.

模型的初始條件設(shè)置如下:

式中:總格子數(shù)N=100.模型的其他參數(shù)值可設(shè)為ρ0=ρc=0.25,a=1.8,t=3 000,

首先,通過數(shù)值模擬來探究坡度因素對交通流穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響.圖2為在控制參數(shù)k=0.01,t0=1等因素不變的情況下,只改變上坡坡度大小所得到的密度波的時空演化圖.圖2(a)中沒有設(shè)置坡度,可以用來與設(shè)置坡度后的交通流狀態(tài)進(jìn)行對比.圖2的(a),(b),(c)均為不穩(wěn)定狀態(tài),也就是穩(wěn)定性條件都沒有得到滿足;但隨著上坡坡度的不斷增大,密度波波動的幅度逐漸減小,最后當(dāng)上坡坡度增大到θ=6?時,交通流達(dá)到穩(wěn)定.圖2整體的密度波演化趨勢可以說明在上坡時,坡度的增大可以改善交通流的穩(wěn)定性,有助于緩解交通擁堵.當(dāng)時間t=3 000 s時,對應(yīng)于圖2的密度剖面圖如圖3所示,流量剖面圖如圖4所示.從圖3和4可以更加直觀地看出,當(dāng)上坡坡度增大到一定值時,加入系統(tǒng)的擾動經(jīng)過足夠長時間后消失,系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài),密度和流量恢復(fù)為初始的均勻流.這2個圖也可以表明,在一定范圍內(nèi)設(shè)置坡度相較于沒有坡度是可以增強交通流穩(wěn)定性的,且在上坡時坡度的增大有利于交通流的穩(wěn)定.

圖2 在k=0.01,t0=1時不同上坡坡度θ下的密度波的時空演化Fig.2 Temporal and spatial evolution of density wave under different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1

圖3 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同上坡坡度θ下的密度剖面Fig.3 Density profile of different uphill slopes when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖4 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同上坡坡度θ下的流量剖面Fig.4 Flux profile of different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖5為調(diào)整不同上坡坡度θ所模擬出的遲滯環(huán).很明顯地,隨著上坡坡度θ從0?增大到3?,6?,9?,遲滯環(huán)的尺寸在不斷縮小;當(dāng)θ=9?時,遲滯環(huán)縮小為一個點,此時的交通流達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),從遲滯環(huán)的角度依然可以得出結(jié)論,即當(dāng)上坡時,一定范圍內(nèi)坡度的增大可以使交通流趨于穩(wěn)定.

圖5 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同上坡坡度θ下的遲滯環(huán)Fig.5 Hysteresis loop of different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

接下來,本工作將通過數(shù)值模擬展示下坡時坡度大小對交通流穩(wěn)定性的影響.圖6為k=0.01,t0=1時不同下坡坡度θ下的密度波的時空演化圖.圖6中的4種交通流模式均為不穩(wěn)定交通流.當(dāng)設(shè)置θ=0?時,也就是沒有設(shè)置坡度的情況,密度波的振幅范圍為0.21～0.29;當(dāng)設(shè)置θ=?3?時,密度波的振幅范圍加大到0.21～0.31,意味著擾動的波動幅度在增大,不利于緩解交通阻塞.整體比較分析圖6中的4張圖后可知,設(shè)置下坡坡度相比較于無坡度情況是不利于交通流穩(wěn)定的,且在下坡時坡度的增大會降低交通流穩(wěn)定性,從而加劇交通擁堵.圖7為對應(yīng)圖6的密度剖面圖,圖8為對應(yīng)的流量剖面圖.從圖7和8可知,隨著參數(shù)θ從0?逐漸變化為?3?,其密度的波動情況和流量的波動情況都是在加劇的,也就是說能得出和圖6一致的結(jié)論,即在一定范圍內(nèi),交通流的穩(wěn)定性會隨著下坡坡度的增大而不斷下降.

圖9為當(dāng)k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ情況下的遲滯環(huán).從圖中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)設(shè)置θ=0?,?2?,?4?,?6?時,4種交通流均為不穩(wěn)定狀態(tài),遲滯環(huán)的尺寸均較大.但是通過比較分析圖9中4個遲滯環(huán)的變化趨勢可以發(fā)現(xiàn),隨著下坡坡度的逐步增大遲滯環(huán)尺寸也在不斷增大,因此可以得出下坡坡度的加大會加劇交通擁堵的結(jié)論.

圖6 在k=0.01,t0=1時不同下坡坡度θ下的密度波的時空演化Fig.6 Temporal and spatial evolution of density wave under different downhill slope θ when k=0.01,t0=1

圖7 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ下的密度剖面Fig.7 Density profile of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖8 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ下的流量剖面Fig.8 Flux profile of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

圖9 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s時不同下坡坡度θ下的遲滯環(huán)Fig.9 Hysteresis loop of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

為了研究平均流量差預(yù)期效應(yīng)對交通流穩(wěn)定性的影響,當(dāng)固定θ=2?,t0=1時,圖10給出了不同平均流量差預(yù)期效應(yīng)強度k=0,0.03,0.06,0.15下的交通密度時空演變圖.當(dāng)t=3 000s時相應(yīng)的密度剖面圖如圖11所示,流量剖面圖如圖12所示.從圖中可知,隨著參數(shù)k的增大,曲線波動的幅度減小,說明考慮平均流量差預(yù)期效應(yīng)可以有效緩解交通擁堵,減小交通密度振蕩壓力.

圖10 在θ=2?,t0=1時不同k下的密度波的時空演化Fig.10 Temporal and spatial evolution of density wave under different k when θ =2?,t0=1

圖11 在θ=2?,t0=1,t=3 000 s時不同k下的密度剖面Fig.11 Density profile of different k when θ=2?,t0=1,t=3 000 s

圖13 為系數(shù)k=0,0.04,0.08,0.12時遲滯環(huán)的流量和密度關(guān)系圖.由圖13可以看出:遲滯環(huán)的尺寸很大,隨著坡度平均流量差預(yù)期效應(yīng)強度的增大,遲滯環(huán)的尺寸明顯減小,最后只有一個點.這說明格子流體力學(xué)模型中平均流量差預(yù)期效應(yīng)對緩解交通擁堵起到了積極的作用.

5 結(jié)束語

圖12 在θ=2?,t0=1,t=3 000 s時不同k下的流量剖面Fig.12 Flux profile of different k when θ =2?,t0=1,t=3 000 s

圖13 在θ=2?,t0=1,t=3 000 s時不同k下的遲滯環(huán)Fig.13 Tysteresis loop of different k when θ=2?,t0=1,t=3 000 s

考慮坡度公路上平均流量差預(yù)期效應(yīng)對交通系統(tǒng)的影響,本工作提出了改進(jìn)的格子流體動力學(xué)模型.在線性分析時,利用控制方法得到了模型滿足穩(wěn)定性所需的條件;在非線性分析中,通過約化攝動法得到了臨界點附近的mKdV方程,以研究交通密度波的傳播特性.數(shù)值模擬結(jié)果表明,隨著坡度的增大,上坡過程中交通流穩(wěn)定性顯著提高,而下坡過程中交通流的穩(wěn)定性降低.此外,斜坡上考慮平均流量差的預(yù)期效應(yīng)對交通流的穩(wěn)定也起到了積極的作用.