基于窗口傅里葉變換的線性相位誤差抑制

陳 瑜，潘永強(qiáng)*，劉丙才，田愛(ài)玲，李 靚

(1.西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院，西安 710021； 2.教育部薄膜與光學(xué)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710021)

1 引 言

光學(xué)干涉測(cè)量作為一種非接觸測(cè)量方法被定義為新世紀(jì)精密測(cè)量技術(shù)的重要發(fā)展方向。相位提取是光干涉測(cè)量過(guò)程中的關(guān)鍵技術(shù)，干涉圖的相位測(cè)量精度直接影響后續(xù)面形精度[1]；傳統(tǒng)相位提取技術(shù)主要有相移法(Phase-shifting Technique,PST)和傅里葉變換算法(Fourier Transform,FT)[2]，但其在實(shí)際應(yīng)用中各有局限性[3-5]。為克服這一缺點(diǎn)，研究人員提出將窗口傅里葉變換(Windowed Fourier Transform,WFT)應(yīng)用于相位提取技術(shù)中，在一定程度上解決了傳統(tǒng)算法的不足，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)局部分析[6]。

窗口傅里葉變換相位提取法是一種空頻分析法，其不但可以考慮到局部細(xì)節(jié)，還可以降低噪聲對(duì)圖像信號(hào)的影響，獲得較高的提取精度[7]。需要說(shuō)明的是，在窗口覆蓋區(qū)域內(nèi)，條紋幅度被假定為恒定，同時(shí)假設(shè)相位亦是恒定的，因此，局部頻率也應(yīng)為恒定[8]。而在實(shí)際條紋圖中，條紋圖案的相位一般為非線性分布，這就導(dǎo)致在相位提取中存在了線性相位誤差，影響后續(xù)相位提取精度。研究者對(duì)此情況下的線性相位誤差進(jìn)行了抑制嘗試：Chong Yang[9]等人對(duì)WFT算法的窗口尺寸選取進(jìn)行了研究，推導(dǎo)窗口尺寸與二階相位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過(guò)對(duì)理論推導(dǎo)的窗口尺寸進(jìn)行仿真分析驗(yàn)證了其選取依據(jù)較傳統(tǒng)算法對(duì)線性相位誤差有抑制效果；錢(qián)克矛[10]結(jié)合對(duì)窗口尺寸的理論推導(dǎo)，根據(jù)不同類型條紋的特點(diǎn)及其噪聲因素的影響，研究在不同窗口尺寸變換下條紋圖案的去噪問(wèn)題，認(rèn)為針對(duì)非線性度較大的干涉圖案，選取小尺寸窗口(σ≤10 pixel)可抑制條紋線性相位誤差。以上研究均通過(guò)對(duì)窗口尺寸進(jìn)行了調(diào)整從而達(dá)到抑制線性相位誤差的作用，發(fā)現(xiàn)在空域內(nèi)選取小尺寸窗口可使范圍內(nèi)條紋信息成分近似線性，從而抑制線性相位誤差。但由于窗口傅里葉變換是一個(gè)空頻聯(lián)合域處理技術(shù)，其在空域內(nèi)的小尺寸窗口轉(zhuǎn)換到頻域內(nèi)范圍激增，導(dǎo)致該窗口區(qū)域內(nèi)頻率分辨率下降，且在窗口范圍內(nèi)的頻譜成分中，低頻成分易受背景光強(qiáng)干擾導(dǎo)致相位連續(xù)性降低，使線性相位誤差在抑制的同時(shí)受到新的因素干擾，故在WFT技術(shù)處理之前對(duì)輸入條紋的背景光強(qiáng)進(jìn)行濾除顯得尤為重要。

本文基于WFT相位提取算法在實(shí)際操作過(guò)程中存在的線性相位誤差問(wèn)題進(jìn)行研究，具體研究過(guò)程為：(1)在傳統(tǒng)WFT相位提取算法原理基礎(chǔ)上，推導(dǎo)利用空頻聯(lián)合分析法濾除背景光強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論。(2)開(kāi)展仿真實(shí)驗(yàn)，首先確定可使WFT技術(shù)中線性相位誤差抑制度達(dá)最大時(shí)的窗口尺寸選取依據(jù)，其次基于理論推導(dǎo)及仿真得出的最優(yōu)窗口尺寸對(duì)線性相位誤差做綜合抑制，通過(guò)與傳統(tǒng)線性相位誤差抑制作用下的WFT算法精度進(jìn)行對(duì)比，評(píng)價(jià)其線性相位誤差的抑制程度。(3)對(duì)大口徑拋物面進(jìn)行面形重構(gòu)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文線性相位誤差抑制技術(shù)可解決傳統(tǒng)WFT技術(shù)在抑制線性相位誤差時(shí)存在的問(wèn)題并將該技術(shù)運(yùn)用在相位提取算法中，實(shí)現(xiàn)算法精度的提高。

2 基本理論

2.1 窗口傅里葉變換理論

對(duì)于二維信號(hào)f(x,y)，其光強(qiáng)分布表達(dá)式:

f(x,y)=a(x,y)+

b(x,y)cos(φ0(x,y)+f1x+f2y),

(1)

其中：a(x,y)為干涉條紋的背景光強(qiáng)分布，b(x,y)為其對(duì)應(yīng)調(diào)制度分布，φ0(x,y)為含有待測(cè)波面相位信息的初始相位分布函數(shù)，f1,f2分別為沿x,y方向的載頻成分[11]。

其對(duì)應(yīng)窗口傅里葉譜分布表達(dá)式可表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

如式(4),在窗口覆蓋范圍內(nèi)定位可使頻譜分布值達(dá)最大時(shí)的自變量值ξ,η，將該值賦給該區(qū)域相位的局部頻率(相位導(dǎo)數(shù))，通過(guò)移動(dòng)窗口表征整幅干涉圖案從而獲取相位[14]，這就使頻譜成分中譜值能量相對(duì)較低的噪聲成分被抑制，相較于傳統(tǒng)傅里葉變換相位提取算法，WFT算法有良好的去噪能力。

2.2 背景光強(qiáng)的傅里葉空頻分析法

根據(jù)傅里葉變換空頻分析法，對(duì)空域內(nèi)的二維信號(hào)f(x,y)做傅里葉變換，得到其頻譜分析:

F(f1,f2)=A(f1,f2)+C+(f1,f2)+C-(f1,f2).

(6)

一般地，對(duì)于載頻條紋(1)，其頻譜分布主要包含等式(6)右側(cè)三項(xiàng)，從左至右依次是干涉圖案背景光強(qiáng)的頻譜分布(或稱為零級(jí)譜函數(shù)A(f1,f2))、正一級(jí)頻譜的分布函數(shù)C+(f1,f2)、負(fù)一級(jí)頻譜的分布函數(shù)C-(f1,f2)。選取一個(gè)中心頻率為(f1,f2)的濾波器將正一級(jí)頻譜提取出來(lái)并平移至原點(diǎn)，得到濾除背景光強(qiáng)干擾的正一級(jí)頻譜分布，并對(duì)其進(jìn)行二維傅里葉逆變換轉(zhuǎn)換到空域內(nèi)[15]，即:

(7)

(8)

同理根據(jù)式(5)得，后續(xù)相位值為:

φ(u,v)=∠max|SF[u,v;ωx,ωy]|.

(9)

對(duì)比式(4), 此方法可實(shí)現(xiàn)相位提取，得到的頻譜譜值僅為傳統(tǒng)WFT相位提取中譜值的0.7倍，一般地，干涉條紋的背景光強(qiáng)在整個(gè)頻域內(nèi)占據(jù)較高的幅值，而通過(guò)傅里葉空頻分析法將其濾除，降低了高譜值背景光強(qiáng)的影響，提高窗口傅里葉脊值的提取精度，從而恢復(fù)真實(shí)相位，并保留WFT技術(shù)良好的去噪能力。

3 仿真分析

3.1 最優(yōu)窗口尺寸判定

為確定可使線性相位誤差抑制度達(dá)到最大時(shí)的窗口尺寸選取依據(jù)，對(duì)WFT技術(shù)的窗口尺寸進(jìn)行仿真判定。定義相位絕對(duì)誤差如式(10)，通過(guò)對(duì)相位絕對(duì)誤差的計(jì)算分析線性相位誤差對(duì)干涉信號(hào)的影響程度，其中φ0為初始仿真相位，φ為經(jīng)相位提取算法提取出的相位N為所處理干涉圖的尺寸，本文中所用干涉圖案均為300×300 pixel。

Δφ=1/N·sum(φ0-φ).

(10)

仿真干涉條紋圖A，對(duì)其引入水平方向載頻增加條紋非線性度如式(11)。變換窗口尺寸取值區(qū)間為[1,30]，計(jì)算每一尺寸下的Δφ的值，為避免由于窗口尺寸過(guò)大引入的邊緣效應(yīng)問(wèn)題，僅選取條紋圖中心區(qū)域(如圖1)進(jìn)行計(jì)算，繪制對(duì)應(yīng)σ-Δφ曲線趨勢(shì)圖如圖3的Phase error A所示。

fA(x,y)=255+10cos(φ(x,y)+2x).

(11)

圖1 仿真干涉圖 AFig.1 Simulated interferogram A

在實(shí)際干涉圖案中，噪聲成分滲透干涉圖案整個(gè)區(qū)域，為使研究更具嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)條紋圖案進(jìn)行加噪處理，通過(guò)仿真分析確定在此情況下的窗口尺寸選取準(zhǔn)則。仿真樣本選取干涉圖案A并引入均值μ=0，σ=1的高斯白噪聲如圖2所示，計(jì)算不同窗口尺寸下的相位絕對(duì)誤差，并繪制對(duì)應(yīng)σ-Δφ曲線趨勢(shì)圖如圖3的Phase error B所示。

圖2 仿真干涉圖 A(加噪)Fig.2 Simulated interferogram A

圖3 不同窗口尺寸下干涉圖相位殘差曲線Fig.3 Phase residual curve of interferogram under different window sizes

通過(guò)對(duì)圖3的分析可知，在綜合了噪聲因素的情況下，兩條曲線趨勢(shì)相似。分析其主要原因?yàn)?，WFT相位提取技術(shù)主要針對(duì)某一區(qū)域內(nèi)的條紋圖提取局部頻率并最后獲取所需相位，在操作中可對(duì)局域內(nèi)噪聲起到良好的消除作用，因此噪聲因素對(duì)其相位提取精度影響不大，確定可對(duì)線性相位誤差抑制程度最大的窗口選取依據(jù)為小尺寸窗口(σ=5 pixel)，縮小了傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)的窗口尺寸判定范圍。

3.2 線性相位誤差抑制度對(duì)比

為驗(yàn)證本文提出的線性相位誤差抑制技術(shù)的可行性，仿真如圖4(a)所示一維信號(hào)，長(zhǎng)度為1×300 pixel，添加水平方向非線性度及噪聲，圖4(b)為該信號(hào)對(duì)應(yīng)的初始相位導(dǎo)數(shù)分布曲線。分別利用傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)及本文提出技術(shù)應(yīng)用于圖4(a)一維信號(hào)的WFT相位提取處理中，選取可以反映相位變化率的相位導(dǎo)數(shù)(局部頻率)為對(duì)比參量，通過(guò)比較兩種技術(shù)處理下得到的相位導(dǎo)數(shù)分布情況研究不同方法對(duì)線性相位誤差的抑制程度。兩種技術(shù)處理過(guò)程分別如下[6-7]：傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)可通過(guò)選取小尺寸窗口(σ≤10 pixel)實(shí)現(xiàn)抑制條紋中線性相位誤差的作用，同時(shí)結(jié)合本文3.1分析，選定在窗口尺寸σ=5 pixel時(shí)為傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)的窗口尺寸選取，圖4(e)為經(jīng)該方法提取的相位導(dǎo)數(shù)。

采取本文提出方法，首先對(duì)初始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，即濾除背景光強(qiáng)干擾同時(shí)保留包含相位成分的正一級(jí)頻譜，圖4(c)為經(jīng)FT變換得到的初始信號(hào)的頻譜分布，其背景光強(qiáng)所在位于(151,0)處，選取中心頻率為(74,0)的矩形濾波窗將虛線區(qū)域內(nèi)所示的正一級(jí)頻譜濾出并移至中心位置如圖4(d)，對(duì)其做傅里葉逆變換后得到時(shí)域內(nèi)的信號(hào)成分并對(duì)其做后續(xù)WFT相位提取處理，此處窗口尺寸選取抑制線性相位誤差程度達(dá)最大的σ=5 pixel，提取相位導(dǎo)數(shù)結(jié)果圖4(f)，通過(guò)對(duì)圖5中仿真所獲相位導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析。

圖4 不同線性相位抑制技術(shù)作用下相位導(dǎo)數(shù)提取結(jié)果圖

傳統(tǒng)WFT法選取小尺寸窗口(σ=5 pixel)以達(dá)到抑制線性相位誤差的作用，所獲相位導(dǎo)數(shù)(局部頻率)如圖4(e)所示，對(duì)比初始相位導(dǎo)數(shù)如圖4(b)有很大偏差，分析其原因可能為選取小尺寸窗口降低了窗口范圍內(nèi)條紋信息的非線性度，從而達(dá)到降低線性相位誤差的效果，但空域內(nèi)小尺寸窗口在頻域內(nèi)尺寸變大，某些低頻成分受背景光強(qiáng)的干擾，導(dǎo)致相位變化不明顯，相位一階導(dǎo)數(shù)(局部頻率)在某些區(qū)域處于穩(wěn)定值，此處相位不發(fā)生變化。

本文提出的抑制線性相位誤差技術(shù)，在利用小尺寸窗口(σ=5 pixel)削弱條紋非線性度引入的誤差的同時(shí)通過(guò)空頻聯(lián)合分析法消除了背景光強(qiáng)干擾，提取相位的局部頻率如圖4(f)所示，相較于傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)，其處理所得相位一階導(dǎo)數(shù)更接近初始相位一階導(dǎo)數(shù)(局部頻率)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證仿真結(jié)果的可行性及精度，對(duì)大口徑拋物面型進(jìn)行面形重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)階段所用菲索干涉儀為美國(guó)Zygo公司生產(chǎn)的Verifire PE激光干涉儀，該干涉儀是共光路面形計(jì)量干涉儀，光源為低功率的632.8 nm的氦氖激光，其干涉儀裝置如圖5，采用PZT移相干涉裝置可對(duì)光學(xué)元件面形進(jìn)行檢測(cè)。

圖5 Zygo激光干涉儀實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 Zygo laser interferometerdevice diagram

圖6 實(shí)驗(yàn)采集干涉圖(截取圖)Fig.6 Experimental interferogram(intercept diagram)

圖6為Zygo干涉儀采集實(shí)驗(yàn)干涉圖，為便于計(jì)算機(jī)離散化處理，將圓域干涉圖截取為300×300尺寸矩形干涉圖，通過(guò)對(duì)比重構(gòu)面形中波面評(píng)價(jià)參數(shù)，驗(yàn)證傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)及本文所提方法對(duì)WFT相位提取精度的影響。為直觀線性相位誤差影響效果，圖7(a)～圖7(c)分別為WFT算法在σ=3 ,5,10 pixel作用下生成的包裹相位圖，圖7(d)為本文提出的線性相位誤差抑制技術(shù)作用下WFT算法所獲包裹相位圖。

圖7 不同線性相位誤差抑制技術(shù)下WFT算法處理所獲包裹相位圖Fig.7 Wrapped phase obtained by WFT algorithm under different linear phase error suppression techniques

對(duì)圖7(a)～圖7(c)中包裹相位圖進(jìn)行分析可知，選取不同窗口尺寸作用得到的包裹相位均存在線性相位誤差影響，其中圖(a)為選取小尺寸窗口作用下，頻譜中低頻成分受到背景光強(qiáng)影響致使相位在某些區(qū)域出現(xiàn)相位模糊的現(xiàn)象。圖(b)在選取較大的窗口尺寸時(shí)，窗口區(qū)域內(nèi)非線性度增加，導(dǎo)致圖中所示相位缺失現(xiàn)象；選取窗口尺寸σ=5 pixel時(shí)的作用效果最佳如圖(c)所示，但中心區(qū)域及邊緣仍有模糊現(xiàn)象，即少部分頻譜成分受到背景光強(qiáng)干擾；采取本文提出的線性相位誤差抑制技術(shù)處理所獲包裹相位如圖(d)，較傳統(tǒng)小尺寸窗口抑制作用下的WFT算法所獲相位結(jié)果更清晰。為增加實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信度，對(duì)上述4種包裹相位進(jìn)行最小二乘法解包裹處理獲得連續(xù)相位，并通過(guò)Zernike擬合生成如圖8(a)～圖8(d)所示的面形分布。

圖8 不同線性相位誤差抑制技術(shù)下WFT算法所獲波面分布

分析圖8可知，受線性相位誤差影響較大程度的包裹相位經(jīng)擬合生成的波面(如圖8(a)～圖8(b)較圖8(c)～圖8(d)在邊緣處有偏差。為量化數(shù)據(jù)處理過(guò)程，對(duì)以上4種面形的波面評(píng)價(jià)參數(shù)PV，RMS進(jìn)行計(jì)算，并與Zygo干涉儀所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差計(jì)算，分別記為ΔPV及ΔRMS，并記錄如表1。

表1 Zernike擬合生成波面評(píng)價(jià)參數(shù)匯總(λ=632.8 nm)

對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在選取窗口尺寸為σ=3,10 pixel時(shí)，線性相位誤差影響較大，致使后續(xù)相位提取精度在面形參數(shù)上較相移干涉技術(shù)偏差較大。在σ=5 pixel時(shí)線性相位誤差影響最小，其在面形擬合上評(píng)價(jià)參數(shù)的殘差值較σ=3,10 pixel時(shí)降低，即在傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)時(shí)，σ=5 pixel可達(dá)到最優(yōu)線性相位誤差抑制效果；采用本文提出的線性相位誤差抑制技術(shù)作用生成的面形與相移干涉技術(shù)殘差達(dá)到最小，較傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)得到了提升。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)傳統(tǒng)WFT相位提取算法中選取小尺寸窗口抑制線性相位誤差的傳統(tǒng)技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種利用空頻聯(lián)合分析法對(duì)干涉圖案頻譜成分進(jìn)行預(yù)處理，使低頻成分不受背景光強(qiáng)干擾的線性相位誤差抑制技術(shù)，并利用仿真分析確定了可使線性相位誤差抑制度達(dá)最大時(shí)的最優(yōu)窗口尺寸選取準(zhǔn)則，結(jié)合以上兩種作用效果對(duì)WFT相位提取技術(shù)中線性相位誤差做綜合抑制，仿真及實(shí)驗(yàn)的對(duì)比分析均表明，本文提出方法較傳統(tǒng)線性相位誤差抑制技術(shù)的抑制程度得到了提高，抑制效果體現(xiàn)為算法重構(gòu)面形精度與相移干涉技術(shù)的PV殘差值由0.115 1λ降低到0.079 2λ，波面均方根殘差值由0.019 6λ降低到0.009 2λ。