復(fù)雜情境下生長(zhǎng)兒童數(shù)學(xué)融通能力的教學(xué)尋繹

李相林

摘? 要：復(fù)雜情境是學(xué)科素養(yǎng)的“場(chǎng)域”，融通能力則是兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)在這個(gè)場(chǎng)域的“結(jié)晶”。本文通過(guò)不同結(jié)構(gòu)特質(zhì)的復(fù)雜情境場(chǎng)域的構(gòu)建，生長(zhǎng)兒童數(shù)學(xué)融通能力。

關(guān)鍵詞：融通能力;復(fù)雜情境

復(fù)雜情境下發(fā)展兒童數(shù)學(xué)融通能力是“在一種真實(shí)的、未知的、不可預(yù)測(cè)的問(wèn)題探究場(chǎng)下，兒童參與情境構(gòu)造，發(fā)展‘融合知識(shí)方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)、形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的思維能力”，是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中“堆砌式”“碎片化”散狀學(xué)習(xí)的理性匡正，從整體的視角實(shí)現(xiàn)融合知識(shí)方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)、形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“建筑式”學(xué)習(xí)，有效解決兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的“缺乏判斷、不善分析、無(wú)意關(guān)聯(lián)、難有融通”淺層次學(xué)習(xí)問(wèn)題。

復(fù)雜情境下生長(zhǎng)兒童融通能力是一種真實(shí)性學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)。復(fù)雜不是繁雜，深度并非難度，真實(shí)不僅是現(xiàn)實(shí)。學(xué)段的低高、知識(shí)的易難，不等于思維品質(zhì)由低階到高階。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以通過(guò)不同結(jié)構(gòu)特質(zhì)的復(fù)雜情境場(chǎng)域的構(gòu)建，生長(zhǎng)高階高品的融通能力。

一、立足：慧眼捕捉教材“內(nèi)涵”生長(zhǎng)融通能力

教材中不少良好特質(zhì)的問(wèn)題可以直接用作復(fù)雜情境構(gòu)建的內(nèi)核。我們教師應(yīng)習(xí)慣性地用“融析”的目光捕捉這類問(wèn)題，組織推動(dòng)以“好問(wèn)題”“兒童參與構(gòu)造”等為要素的復(fù)雜情境場(chǎng)域運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)。

【案例1】不就是等差數(shù)列求和嗎？

四下補(bǔ)充習(xí)題：90+91+92+…+99。

多數(shù)人見(jiàn)到此題的反應(yīng)是：不就是等差數(shù)列求和嗎？用（90+99）×10÷2即可。我們來(lái)看看以此題為內(nèi)核的復(fù)雜情境下兒童真實(shí)的融析過(guò)程。

首先，孩子們?cè)诤诎迳辖o出五種方法。分析得出“分組配對(duì)”“湊整+分組”“基數(shù)法（把每個(gè)數(shù)看作90）”與“平均數(shù)的規(guī)律”（單數(shù)，即奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是正中間那個(gè)數(shù)）等。

接著，一個(gè)融通能力特別強(qiáng)的孩子的發(fā)言讓大家耳目一新：“老師，現(xiàn)在我更明白為什么說(shuō)‘乘法是高級(jí)運(yùn)算，而加法是低級(jí)運(yùn)算了。你們看，所有的解法里都有乘法，求很多個(gè)數(shù)相加的和，不管是湊整、分組、假設(shè)，最終的目的都一樣，那就是把這么多加數(shù)變成幾個(gè)相同的數(shù)，也就是乘法，再把零頭處理掉！”（對(duì)呀，數(shù)學(xué)的發(fā)展和研究不也是一個(gè)從低級(jí)向高級(jí)邁進(jìn)的過(guò)程嗎？）

等差數(shù)列求和是小學(xué)每種版本奧數(shù)教材中的必修內(nèi)容，重心落在對(duì)求和公式的理解、記憶與運(yùn)用上。而融通能力解法多樣化、關(guān)系清晰化、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化、認(rèn)識(shí)高度化，學(xué)生更易抽象為算法（含公式）且不會(huì)形成思維定式，心理轉(zhuǎn)向快，具有高度的思維靈活性。

二、改造：匠心整合教學(xué)“實(shí)質(zhì)”生長(zhǎng)融通能力

問(wèn)題的多層結(jié)構(gòu)和“知識(shí)豐富領(lǐng)域的問(wèn)題解決”是我們改造優(yōu)化教材、構(gòu)建復(fù)雜情境時(shí)的重要考量。在豐富與多層的復(fù)雜探究場(chǎng)中，個(gè)體與集體、一維與多維、獨(dú)立和共建同時(shí)存在，實(shí)現(xiàn)由“析”到“融”再到“通”的融通能力過(guò)程。

（一）延展式復(fù)雜情境

延展式復(fù)雜情境是將一個(gè)好問(wèn)題進(jìn)一步延伸、展開(kāi)和一般化，成為豐富的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的起點(diǎn)，在延展中生長(zhǎng)兒童融通能力。

【案例2】有沒(méi)有更“斜”的？

四下教材練習(xí)十四第2題：在方格紙上畫一個(gè)底4厘米、高3厘米的平行四邊形。

學(xué)生按要求每人獨(dú)立畫出一個(gè)平行四邊形后，教師在實(shí)物投影上展示兩種不同的畫法，學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)兩種畫法都符合數(shù)據(jù)要求，只是傾斜度不同。

教師進(jìn)行延展：你能畫出一個(gè)符合要求且更“斜”的平行四邊形嗎？

學(xué)生們立刻興奮起來(lái)，一個(gè)個(gè)更“斜”的平行四邊形展示出來(lái)。

在“有沒(méi)有更‘斜的？”刺激下，“超級(jí)斜”（如圖1）誕生了！

“還有沒(méi)有更‘斜的？”教師繼續(xù)延展。

學(xué)生的思維由直觀操作進(jìn)入無(wú)限世界，借助想象和理性思維，融通了多種畫法的有序傾斜，紛紛提出自己的想法。“我覺(jué)得有更斜的平行四邊形，如果把方格紙變得和黑板一樣大。”“一條線，最后變成一條線！”“不是一條線，差一點(diǎn)點(diǎn)才變成一條線……”“但是它還是一個(gè)平行四邊形，只不過(guò)無(wú)限接近于一條線！”學(xué)生已經(jīng)隱約想象出“臨界點(diǎn)”。其實(shí)，學(xué)生的腦海中已經(jīng)有了“動(dòng)態(tài)幾何”的軌跡，底、高不變，隨著傾斜角度的變小，平行四邊形無(wú)限接近于一條線。在延展式復(fù)雜情境中，數(shù)學(xué)極限思想和等積變形也在學(xué)生思維的融析中得到發(fā)展。

（二）遞進(jìn)式復(fù)雜情境

遞進(jìn)式是結(jié)構(gòu)較復(fù)雜、思維次序關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)的問(wèn)題情境，融析過(guò)程中環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，方能抵達(dá)思維核心，如同一層一層剝?nèi)ビ衩装拢虼擞址Q“剝玉米苞”式情境。

【案例3】“三階幻方”如此美妙！

四下教材練習(xí)七第6題：用方格中的數(shù)（如圖2），按定序?qū)懰闶健Ｓ^察算式特點(diǎn)，算和，找發(fā)現(xiàn)。

49+35+81? ? ? 18+53+94

42+37+86? ? ? 68+73+24

38+51+76? ? ? 67+15+83

492+357+816? ?618+753+294

教學(xué)中，我們以此問(wèn)題為內(nèi)核，進(jìn)行遞進(jìn)式改造，構(gòu)建復(fù)雜情境。學(xué)生由外而內(nèi)，經(jīng)歷了四個(gè)層次的思維分析、關(guān)聯(lián)、融通的過(guò)程。

表層發(fā)現(xiàn)：規(guī)律是什么？通過(guò)觀察、比較和計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)序相反的四組算式中，三個(gè)兩位數(shù)的和都是165，三個(gè)三位數(shù)的和都是1665。

深層思考：為什么三個(gè)兩位數(shù)的和是165？經(jīng)過(guò)多角度分析，有學(xué)生用連線法（如圖3）得出：十位數(shù)字之和是15，個(gè)位數(shù)字之和是15，即15個(gè)十加15個(gè)一得165，這在其他算式中也得到驗(yàn)證。此題中，為什么三個(gè)三位數(shù)的和是1665，也自然關(guān)聯(lián)得出緣由。

核心層融通：為什么相同數(shù)位上數(shù)字之和是15？學(xué)生的思維融析并未停步，而是抽絲剝繭，繼續(xù)深入。結(jié)合表格數(shù)據(jù)特征，最終發(fā)現(xiàn)此題最核心的原因在于利用了三階幻方“幻和一定”的性質(zhì)。

數(shù)學(xué)文化層融入：經(jīng)歷了觀察、比較、關(guān)聯(lián)和層層深入、不斷融通后，學(xué)生對(duì)三階幻方趣味盎然?！奥搴由駮?shū)”“九宮格”“楊輝法”等在課后資料查閱中紛紛映入學(xué)生腦海，交匯出一幅三階幻方數(shù)學(xué)文化圖。

在這個(gè)遞進(jìn)式探究場(chǎng)中，兩次“為什么”的融析讓數(shù)學(xué)思維的有序性得以體現(xiàn)，而數(shù)學(xué)文化的融入也讓學(xué)生強(qiáng)烈感受到數(shù)學(xué)如此美妙！

（三）嵌入式復(fù)雜情境

嵌入式復(fù)雜情境是把指向同一實(shí)質(zhì)的兩個(gè)（以上）關(guān)聯(lián)問(wèn)題進(jìn)行嵌入構(gòu)造，學(xué)生從不同維度融析，對(duì)事物的本質(zhì)和規(guī)律認(rèn)識(shí)更全面、更深刻，思維周密性很強(qiáng)。算法數(shù)學(xué)和思辨數(shù)學(xué)兩種形態(tài)的相得益彰在嵌入式情境融析中體現(xiàn)較多。

【案例4】?jī)煞N數(shù)學(xué)形態(tài)的解釋！

針對(duì)四下“三位數(shù)乘兩位數(shù)的積是幾位數(shù)”的實(shí)質(zhì)，我們將教材中“132×28……”與“最大的三位數(shù)乘最大的兩位數(shù)，積是（? ? ）”兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了修改和嵌入。

學(xué)生通過(guò)算法（計(jì)算）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)乘數(shù)最高位的乘積滿十時(shí)，則三位數(shù)乘兩位數(shù)的積是五位數(shù);當(dāng)兩個(gè)乘數(shù)最高位的乘積不滿十時(shí)，則積是四位數(shù)。而90×150這一特例又讓學(xué)生反思糾正：三位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，最高位向前進(jìn)位則積為五位數(shù)，不進(jìn)位則積為四位數(shù)。

后題計(jì)算后，學(xué)生給出了具有一定邏輯的解釋：三位數(shù)乘兩位數(shù)，乘積范圍在1000～98901間，因此積可能是四位數(shù)，也可能是五位數(shù)。

學(xué)生從算法數(shù)學(xué)和思辨數(shù)學(xué)兩個(gè)維度得出“三位數(shù)乘兩位數(shù)的積可能是四位數(shù)，也可能是五位數(shù)”的結(jié)論，融通了“算法數(shù)學(xué)的具體與可見(jiàn)”和“思辨數(shù)學(xué)的邏輯與概括”的互生互補(bǔ)。

在五下探討“一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)”時(shí)，學(xué)生給出了更為嚴(yán)密的解釋：一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身，因數(shù)個(gè)數(shù)在“1～它本身”之間，所以個(gè)數(shù)有限。學(xué)生在思維融析后表現(xiàn)出很強(qiáng)的“合理性選擇”傾向。

三、創(chuàng)新：巧意借力兒童“生成”生長(zhǎng)融通能力

兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中產(chǎn)生的很多基于自身體驗(yàn)的疑問(wèn)和發(fā)現(xiàn)等，具有真實(shí)性與獨(dú)特性。以這些價(jià)值點(diǎn)為內(nèi)核，創(chuàng)新情境構(gòu)造，在不斷生成中生長(zhǎng)兒童的融通能力。

【案例5】有0°角嗎？

“鐘面上的分針和時(shí)針重合時(shí)組成的是什么角？”是四上單元知識(shí)結(jié)構(gòu)交流時(shí)一個(gè)孩子提出的問(wèn)題，他有著自己的思考。概念教學(xué)，基本上是規(guī)定、說(shuō)明和強(qiáng)調(diào)，可不可以有些原理的領(lǐng)悟、關(guān)系的融通、結(jié)構(gòu)的建構(gòu)呢？教學(xué)時(shí)，我們以這個(gè)“節(jié)外生枝”的想法為內(nèi)核，構(gòu)建情境，展開(kāi)融通能力。

由鐘面角生成“有沒(méi)有0°角”的問(wèn)題，生成“0°角有必要存在”的成果，又由這一成果生成“0°角是不是銳角”的問(wèn)題。

“問(wèn)題球”在孩子間不斷傳遞、碰撞開(kāi)來(lái)，最終大家融析生成這樣一個(gè)思維圖式（如圖4）。

源于兒童自身的創(chuàng)新情境更具親切感和探究性，融通能力的批判性凸顯得更為豐盈。兒童不會(huì)不經(jīng)思考就附和他人意見(jiàn)，他們發(fā)現(xiàn)自身錯(cuò)誤時(shí)更愿意糾正并接受其中的教訓(xùn)，變“理解性”的學(xué)會(huì)為“批判性”的會(huì)學(xué)。

從應(yīng)用性和客觀標(biāo)準(zhǔn)性很強(qiáng)的SOLO水平分類來(lái)看，復(fù)雜情境下的融通能力主要處于高階的“多元結(jié)構(gòu)”向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”跨越階段，時(shí)而達(dá)到“擴(kuò)展抽象”層次（最高層次）。在兒童與數(shù)學(xué)的深度遇見(jiàn)中，激活兒童心智，喚醒兒童生命，找到了人（兒童），發(fā)展了人（學(xué)科素養(yǎng)）。