基于協同進化的動態(tài)雙重自適應改進PSO算法

宋 美，葛玉輝，劉舉勝

上海理工大學 管理學院，上海 200093

1 引言

微粒群算法（Particle SwarmOptimization，PSO）[1]由于其具有實現簡單，群體共同進化等優(yōu)化性能從1995年，被Eberhart 和Kennedy 提出以后，在路徑規(guī)劃、疾病檢測、圖像分割、電力故障預測等方面產生了巨大的應用價值[2-3]。

雖然PSO算法具有較好的優(yōu)化性能，然而易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生早熟也是其缺陷之一。對此研究人員借鑒自適應和非線性機制對算法參數的取值方式進行了相關改進。借鑒自適應機制，文獻[4]針對粒子群算法具有易陷入局部最小值和全局尋優(yōu)能力差的缺陷，提出了一種自適應慣性權重粒子群算法（AIW_PSO）。研究發(fā)現該算法能夠有效平衡粒子的位置和速度。文獻[5]針對粒子群算法在處理優(yōu)化問題時缺乏有效的參數控制這一缺陷，采用異步變化策略對學習因子進行更新，采用非線性遞減的方式對慣性權重進行更新，改進算法較原算法具有一定的求解優(yōu)勢。文獻[6]通過對慣性權重進行自適應取值，將改進的PSO 算法與支持向量機（SVM）進行了結合，利用改進算法對花粉濃度進行了有效的預測。文獻[7]將自適應變異應用于PSO 算法中，通過對算法中全局最優(yōu)值進行擾動，以提高種群多樣性，最終形成自適應優(yōu)化PSO 算法。之后將該算法與小波網絡進行結合，形成自適應優(yōu)化小波網絡算法，研究發(fā)現該算法預測精度提升率最高。文獻[8]根據迭代次數和粒子的位置的變化情況設計了一種新的自適應慣性權重混沌PSO 算法，該算法能夠有效避免陷入極值，提高算法性能。

借鑒非線性機制，文獻[9]通過引入非線性慣性權重系數，對慣性權重進行非線性取值，形成改進PSO 算法，之后將改進PSO算法與BP算法進行結合，形成了非線性BP 神經網絡模型。實驗結果表明，改進算法對非線性函數具有良好的擬合效果。文獻[10]針對文化算法中的函數優(yōu)化問題存在過早收斂，不確定等缺陷，基于文化算法框架，將混沌搜索引入算法中，提出了一種混沌文化算法。該算法具在搜索效率、搜索精度及穩(wěn)定性上有顯著表現。文獻[11]通過對慣性權重進行非線性取值，形成了一種非線性PSO 算法，該算法在分配網絡路由節(jié)點和平衡簇結構系統(tǒng)方面具有良好的性能。文獻[12]通過引入非線性慣性權重替代傳統(tǒng)慣性權重遞減，構造了一種改進優(yōu)化PSO算法的小波支持向量機預警模型，在預測效果上，改進后的算法具有更好的預測性能。

上述研究主要從自適應性和非線性等方面對算法進行設計。設計大多圍繞PSO 算法的慣性權重進行了相關改進，且改進算法的求解效果有一定的提升。然而上述改進只是從單個方面對算法的某種參數取值方式進行了改進，鮮有學者將混沌、自適應、非線性和共同演化等特征都考慮到算法中，對粒子群算法中的學習因子、粒子初始值選取以及慣性權重等參數進行協同優(yōu)化，以提升算法的求解性能。

基于此，本文基于協同進化理論，借鑒協同進化理論中混沌、自適應、非線性和共同演化等諸多特性通過對PSO 進行改進形成動態(tài)雙重自適應PSO 算法（DDAPSO）。對此算法進行了仿真測試，實驗結果表明DDAPSO能夠有效避免算法陷入局部極值，具有較好的求解性能。

2 標準PSO算法原理

PSO算法在可行解空間中首先會初始化一群粒子，初始化后的粒子可以看作初始解，用位置、速度、適應度值來表示該粒子或該解的特征。粒子會根據一定的更新法則在解空間中不斷運動，在解空間運動的過程中，通過跟蹤個體極值pbest和群體極值gbest更新個體位置，粒子每更新一次，計算一次適應度值，通過比較個體極值pbest和群體極值gbest的優(yōu)劣，從而逐步迭代求得全局最優(yōu)解。粒子群算法按照式（1）和式（2）進行速度和位置的更新[13]。

其中，ω為慣性權重，d=1,2,…,D表示粒子的維數；i=1,2,…,n表示粒子的個數；k為當前迭代次數；Vid表示粒子的速度；X表示粒子的位置；c1和c2為加速度因子，c1稱為個體學習因子，c2稱為社會學習因子；r1和r2是分布于[0，1]區(qū)間的隨機數，Pid為個體極值，Pgd為群體極值。

3 協同進化理論及其特征

關于協同進化的研究，最早始于國外學者對生物學的探索，Ehrlich和Raven最早在研究蝶類與植物之間的作用關系時提出了協同進化這一概念[14]，Jazen[15]隨后對協同進化給出了定義：協同進化就是一個物種的特征隨著另一個物種的某一特征變化而進行變化，后者的特征同樣隨著前者特征變化而進化。具體來說協同進化理論具有如下特征：

（1）協同進化中的個體具有多樣性[16]。參與協同進化的主體可以是不同形態(tài)、不同性質的主體，主體的多樣性可以使得整體系統(tǒng)的熵增減小，系統(tǒng)的無序性受到削減，最后在混沌中快速找到最優(yōu)解。

（2）協同進化中的個體具有自組織、自適應性[17-18]。在復雜系統(tǒng)中，兩個或多個個體在協同進化的過程中，個體與個體、個體與環(huán)境之間會協同演化，不斷地促使整個系統(tǒng)達到最優(yōu)，同時系統(tǒng)會根據系統(tǒng)的演化結果及時向個體反饋信息，個體會根據反饋信息進行進一步的調整，最終實現個體與系統(tǒng)的協調發(fā)展。

（3）協同進化中的個體與環(huán)境具有非線性[19]。在個體與整體協同進化過程中，個體與整體將會發(fā)生非線性作用，這一作用會促使個體和整體相互演化，進而最終實現協同進化。在協同進化的作用下，個體最優(yōu)與群體最優(yōu)將趨于同質，最終促使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

基于協同進化理論，結合粒子群算法的進化特點，提出了一種改進的動態(tài)雙重粒子群算法（Dynamic Dual Adaptive PSO algorithm，DDAPSO）。

4 DDAPSO算法

4.1 算法原理

DDAPSO 算法從PSO 算法的搜索機制和信息傳遞機制進行了相關設計[20]。其借鑒生物學中的協同進化論對傳統(tǒng)粒子群算法進行相關改進，通過對粒子初始值混沌取值，對自我學習因子和社會學習因子非線性取值，對慣性權重進行自適應取值等多種方式，促使算法對目標函數快速求解，具體原理如圖1所示。

圖1 DDAPSO算法原理

如圖1所示，在DDAPSO中，首先，在初始值的選取上，由于混沌算法具有一定的隨機性和遍歷性，能夠以較為隨機的搜索方式，對粒子的初值進行取值，因此在算法解解空間一定的情況下，能夠使得初值選取更為隨機，有效擴展了初值的隨機性。

其次，對自我學習因子和社會學習因子進行非線性取值能夠使得自我學習因子和社會學習因子借鑒復雜系統(tǒng)中的非線性關系，清楚呈現自我學習因子和社會學習因子的動態(tài)變化關系，并根據搜索的迭代次數恰當調整粒子學習能力，進而對局部搜索和全局搜索進行一定平衡。

最后，DDAPSO算法的慣性權重取值區(qū)別于傳統(tǒng)慣性權重線性遞減形式，其根據粒子的適應度值自適應更新慣性權重。當目標函數適應度值較小時，對慣性權重選取一個較小值，粒子在局部位置進行搜索；當目標函數適應度值較大時，對慣性權重選取一個較大值，粒子在全局進行搜索。此時，粒子的慣性權重能夠根據適應度值進行自適應進化，從而促使函數值不斷向著最優(yōu)解進行趨近，直到最終找到最優(yōu)解。

4.2 算法表示

（1）混沌并不是一片混亂，而是有著精致的內在結構的一類現象，混沌運動能在一定范圍內按自身的“規(guī)律”不重復地遍歷所有狀態(tài)。在PSO中，初始化種群時，種群的多樣性以及初始化粒子時的隨機性與粒子的搜索效率有很大的關系，為了使得種群的多樣性和隨機性得以增強，結合協同進化理論，將混沌這種具有隨機性、遍歷性及規(guī)律性特點的非線性動力系統(tǒng)特有運動形式引入進化計算，利用其具有隨機性和遍歷性優(yōu)勢，可以有效避免搜索過程陷入局部最優(yōu)。由于Feigenbaum 迭代與其他產生混沌變量的動力系統(tǒng)相比簡單、計算量小、使用方便，所以本文采用Feigenbaum迭代，來構造混沌序列，進行粒子位置和速度的初始化，具體如式（3）所示，其中xn的初始值不能取該混沌迭代方程的不動點。

為了直觀展現混沌迭代軌跡，取初值x0=0.007 時，將式（3）的Feigenbaum 迭代軌跡進行了仿真，具體如圖2所示（迭代次數取500）。

圖2 Feigenbaum迭代軌跡

（2）在PSO 算法中，學習因子體現了粒子的學習能力，其中自我學習因子，體現了粒子的自我學習能力，社會學習因子體現了粒子的社會學習能力。不同的學習因子表明粒子具有不同的尋優(yōu)能力。在粒子尋優(yōu)的過程中，初始時期，粒子需要具備較強的個體學習能力，這樣其可以在更大的搜索空間中快速尋找到最優(yōu)解的位置；在搜索后期，粒子需要較大的社會學習能力，可以在周圍局部解范圍內進一步進行局部搜索。為此，借鑒協同進化理論中非線性優(yōu)勢，引入非線性調整策略來平衡c1、c2的關系，c1、c2通過非線性變化，控制粒子的飛行速度與方向，來提高解的收斂速度與精度，具體調整策略為：

其中，iter為當前迭代次數，itermax為最大迭代次數，c1b、c1e、c2b和c2e分別為c1和c2的初始值和最終值，一般取c1b=2.5，c1e=0.5，c2b=0.5 和c2e=2.5 時算法效果較好，c1、c2的取值如圖3所示（學習次數取500）。

（3）為了避免慣性權重線性遞減，本文采用自適應慣性權重遞減的方法對w進行自適應取值。這樣取值可以有效促使w的取值會隨著目標函數值得變化而發(fā)生相應的調整，及時更新自身信息，不斷將自我信息與全局信息進行比較，促使自身信息能夠在獲取全局信息的基礎上進行個體更新和改變，最終實現自身與系統(tǒng)的協同進化。具體自適應慣性權重更新公式如式（6）和（7）所示。

圖3 c1、c2 自適應變化圖

式中，ωmax表示ω的最大值，ωmin表示ω的最小值，f表示當前目標函數值，favg表示當前平均目標函數值，fmin表示目標函數極小值。

4.3 算法步驟

步驟1 混沌初始化粒子群參數。對初始的粒子按照（3）式進行混沌隨機取值，生成初始的粒子速度vi和粒子位置xi。

步驟2 評價粒子群。計算出粒子的適應值，通過fitness 函數將粒子的個體最優(yōu)值存儲到pbest中，群體最優(yōu)值存儲到gbest中。

步驟3 更新自我學習和社會學習因子，按照式（4）和式（5）更新自我學習因子c1和社會學習因子c2。

步驟4 更新慣性權重w，若當前目標函數值f小于平均目標值favg，則按照式（6）更新慣性權重；若當前目標函數值f大于平均目標值favg則按照式（7）更新慣性權重。

步驟5 更新粒子的位置。按照式（1）和式（2）更新粒子的速度和位置。

步驟6 更新個體最優(yōu)。將粒子的適應度值與上一次迭代的適應度值進行比較，取較好的粒子作為后代粒子。

步驟7 更新全局最優(yōu)。比較個體最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest，若pbest優(yōu)于gbest，則將pbest賦值給gbest。

步驟8 當算法滿足迭代結束條件，結束算法，否則返回步驟3繼續(xù)搜索，直到滿足停止條件跳出循環(huán)。

DDAPSO 算法流程圖如圖4 所示（其中N為算法最大迭代次數）。

圖4 DDAPSO算法流程

5 算法復雜度及收斂性分析

5.1 算法復雜度分析

在經典粒子群算法中，粒子群的規(guī)模為N，每個粒子的維數為D，粒子每進行一次迭代，其計算復雜度為O(N)[21]；在DDAPSO 算法中，主要的執(zhí)行運算的復雜度包括：

（1）粒子的初始值混沌取值，其算法的復雜度為O(DN)。

（2）計算適應度的均值，其算法復雜度為O(N+1)。

因此，DDAPSO 算法整體復雜度為O(DN)。該算法理論復雜度理論上高于經典PSO算法，并且算法的復雜度會隨著粒子個數的增加和維數的增加而進一步增大。但在求解時間和求解效率上，由于DDAPSO 算法借鑒了復雜協同進化理論的協同進化，自適應和非線性等諸多特性卻具有較好求解性能。

5.2 算法收斂性分析

在算法的收斂性方面，相關研究已經對PSO 算法收斂性進行了相關分析[22-24]，結合前人研究，本文依據文獻[22-23]對DDAPSO 算法的收斂性進行相關分析，具體如下。

假設1 目標函數f的解空間為Rn到R，Q為Rn的一個子集，算法的最終目的是在Q的范圍內找到一個最優(yōu)解z，使得目標函數最小化。當存在f(D(z,δ))≤f(z)時，若δ∈Q，則f(D(z,δ))≤f(δ)。其中，D為迭代函數。

假設2 對于Q的任意Borel子集B，如果測度u(B)>0 ，則有，其中vi[B]是由測度vi所得到B的概率。

定理1 若目標函數f為可測函數，Q為可測子集，滿足假設1 和假設2，同時假設為算法生成的解序列，則

證明DDAPSO 算法的收斂性，需要證明其符合假設1、假設2和定理1。

引理1 DDAPSO滿足假設1。

由步驟7 可知，比較個體最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest，若pbest優(yōu)于gbest，則將pbest賦值給gbest。

在DDAPSO算法中，假設D為算法的迭代函數，則D函數的描述可以根據步驟7定義為：

若f(gbest)≤f(pbest) ，則D(gbest,pbest)= gbest，因此f(D(gbest,pbest))= f(gbest)≤f(pbest) 。若f(gbest)≥f(pbest) ，則D(gbest,pbest)=pbest，因此，f(D(gbest,pbest))=f(pbest)≤f(pbest) 。因此，DDAPSO 算法滿足假設1。

引理2 DDAPSO算法滿足假設2。

定義Q的任意 Borel 子集B=Mi,k，在 DDAPSO 算法中，令φ1=c1×r1，φ2=c2×r2，由式（1）和式（2）可得：

其中，w按照式（6）和式（7）自適應取值，c1和c2按照式（4）和式（5）非線性取值。隨著迭代次數的增加，c1、c2的非線性取值以及w的自適應取值使得Borel 子集中的元素更加隨機。因此，種群中粒子測度u(Mi,k)不斷增大，其并集也不斷增大。此時，假設種群中粒子支持集的并集為β，則DDAPSO 算法搜索停止時，。因此，DDAPSO算法的樣本空間的并集包含Q，此時u(B)>0，存在

綜上，DDAPSO算法滿足假設2。

引理3 DDAPSO算法是一個全局收斂算法。

證明因DDAPSO算法滿足假設1和假設2，由定理1知，則DDAPSO是一個全局收斂算法。

6 測試仿真

6.1 測試函數

為了檢驗DDAPSO 算法的性能，本文選取了6 個經典Benchmark 函數進行測試。在6 個測試函數中，De Jong、Quadric、Rosenbrock valley為單模態(tài)函數；Rastrigin、Schaffers、Ackley 為多模態(tài)函數。其中 De Jong 為復雜的非線性對稱單模函數，Rosenbrock valley為很難極小化的典型病態(tài)單模函數；在6 個函數中，函數的全局最優(yōu)位置均為[0，0]，各個函數對應的極小值均為0，具體的函數軌跡如圖3所示。

單模態(tài)函數：

函數1 De Jong函數

De Jong 函數實際上是一個Sphere 函數，此函數存在極小值，其全局最優(yōu)解在一個狹窄的椎體底端，在x1=x2=0 時存在全局最小值，具體如圖5（a）所示。

函數2 Quadric函數

Quadric 函數是一個典型的單模態(tài)測試函數，其全局最優(yōu)解在一個狹長的山谷中，是一個很難極小化的測試函數，當x1=x2=0 時其存在全局極小值，具體如圖5（b）所示。

函數3 Rosenbrock’s valley函數

Rosenbrock’s valley 是一個非常經典的優(yōu)化測試函數，其全局最優(yōu)值位于一個帶有拋物面的卷狀的峽谷中。雖然山谷的坡度不是很大，但全局收斂很難，當x1=x2=1 時，此函數存在全局極小值點，具體如圖5（c）所示。

多模態(tài)函數：

函數4 Rastrigin函數

Rastrigin函數是一個基于De Jong函數的局部最小值規(guī)則分布的多模態(tài)函數，是一個典型的多模態(tài)函數，該函數在求解最優(yōu)解過程中，極易陷入局部最優(yōu)解中，當x1=x2=0 時，全局最小值，具體如圖5（d）所示。

函數5 Schaefer’sf7 函數

Schaefer’sf7 函數是一個典型的病態(tài)多模態(tài)函數，該函數在自變量取值范圍內存在很多局部最優(yōu)點，在尋求最優(yōu)解過程中很難找到全局極值點，是一個典型的多模測試函數。當x1=x2=0 時，存在全局最小值，具體如圖5（e）所示。

函數6 Ackly函數

Ackley是一個使用廣泛的多模測試函數，其全局最優(yōu)解在一個狹小的椎體底部，在尋求最優(yōu)解的過程中，算法極易停滯不前陷入局部最優(yōu)，從而找不到全局最優(yōu)解。當x1=x2=0 時，其全局最小值，具體如圖5（f）所示。

6.2 測試環(huán)境與參數設置

測試環(huán)境如下：計算機的CPU 為Intel?Core? i7-8700 CPU @3.20 GHz 3.19 GHz，運行內存為8.0 GB；軟件為Windows10操作系統(tǒng)下的Matlab2018A中文版。

在實驗中，本文將與PSO（算法1），文獻[25]中的指數型函數遞減慣性權重的PSO 算法（算法2），文獻[26]中的高階指數型函數的遞減慣性權重PSO 算法（算法3），文獻[27]中的二階振蕩微粒群算法（算法4），文獻[28]中的帶收縮因子的PSO 算法（算法5）進行了對比。其中PSO算法中的慣性權重采用線性遞減的形式，慣性權重w在區(qū)間[0.4，0.9]之間線性取值；文獻[25]中指數型函數遞減慣性權重中的α為控制因子，控制w與迭代次數變化曲線的平滑度，通常取3；文獻[26]中高階指數型函數的遞減慣性權重中的β一般取20。其余參數具體設置：自我學習因子和社會學系因子的初始值和最終值分別為c1b=2.2，c1e=0.5，c2b=0.5，c2e=2.2，粒子數目為30，迭代次數為500 次，混沌初始化中的u取4，測試算法參數設置具體取值如表1所示。

6.3 測試結果及分析

對每種算法分別獨立運行10 次，將其運行結果進行統(tǒng)計，其中Function 表示最優(yōu)化目標函數，Algorithm表示算法，Goal表示目標值，◢best表示最優(yōu)值，◢worst表示最差值，◢avg 表示平均值，◢std 表示標準差，◢num表示尋優(yōu)次數，◢%表示尋優(yōu)率，t表示運行時間（單位s），本文以10?6為誤差容忍度，測試結果如表2、表3所示，函數迭代軌跡如圖6、圖7所示（圖中為了使曲線變化對比明顯，縱軸表示種群平均適應度自然對數值，橫軸表示進化代數）。

表1 相關參數設置

表2 顯示的是DDAPSO 算法與其余算法在單模態(tài)函數上測試所得的結果。從表2中的最優(yōu)解，標準差和尋優(yōu)率上可以發(fā)現，DDAPSO 算法較算法4、算法5 而言，首先在求解精度上具有極大的優(yōu)勢，這一點在Rosenbrock’s valley 函數上，表現尤為明顯；在穩(wěn)定性方面，從De Jong、Quadric 這兩個單模態(tài)函數上可以發(fā)現DDAPSO 的求解性能較為穩(wěn)定，較其他算法具有明顯的優(yōu)勢；其次，從算法的運行時間上來看，DDAPSO在尋求最優(yōu)解的過程中所花費的時間最少，在求解效率上具有一定的優(yōu)勢。此外，將DDAPSO 算法與算法1、算法2、算法3進行對比，發(fā)現DDAPSO算法在求解精度和尋優(yōu)效率上也具有相當大的優(yōu)勢，由于DDAPSO 中的自適應慣性權重較線性慣性權重遞減具有較強的適應環(huán)境的能力，這樣在尋求最優(yōu)解的過程中，可以不斷與外界環(huán)境進行交互，協同進化，從而快速找到最優(yōu)解。

圖 6 顯示的是 De Jong、Quadric 和 Rosenbrock’svalley 函數在求解最優(yōu)解的過程中的迭代軌跡，從上述優(yōu)化結果中可以看出，DDAPSO算法在求解單模態(tài)函數時，較其他算法具有明顯的優(yōu)勢。在尋優(yōu)性能上，最差的是PSO 算法，在尋優(yōu)的過程中容易陷入局部最優(yōu)解，從而使得算法停滯不前，發(fā)生早熟現象。DDAPSO由于借鑒了協同進化理論中的個體的多樣性以及主動性，利用混沌搜索克服前期所選粒子的單一性，使得種群的多樣性得以增加，從而使得進化能夠跳出局部最優(yōu)，快速找到全局最優(yōu)解。

表2 單模態(tài)函數測試對比

表3 多模態(tài)函數測試對比

表3顯示的是動態(tài)雙重自適應PSO算法（DDAPSO）與其他算法在多模態(tài)函數上測試所得的結果。從表3中的最優(yōu)解，標準差和尋優(yōu)率上可以發(fā)現，DDAPSO 算法較其他算法具有一定的尋優(yōu)優(yōu)勢。在求解精度上，對比各算法在Rastrigin，Schaefer’sf7 函數上的求解性能，可以發(fā)現DDAPSO算法在求解精度上，具有很好的尋優(yōu)性能，尤其在多模態(tài)Rastrigin 函數上表現尤為明顯；從運行時間來看，DDAPSO 算法在尋優(yōu)過程中所花費時間最短。此外，在運行時間上，對比表3和表2可以發(fā)現，多模態(tài)函數在尋優(yōu)的過程中所花費的時間較單模態(tài)函數花費的多；從穩(wěn)定性和尋優(yōu)率來看，DDAPSO 較其他算法具有較為穩(wěn)定的尋優(yōu)性能，在尋優(yōu)率上，較其他算法而言，具有一定的優(yōu)勢，在一定的迭代次數內能夠較多次逃脫局部最優(yōu)解，找到全局最優(yōu)解，具有極好的尋優(yōu)性能。

圖 7 顯示的是 Rastrigin，Schaefer’sf7 和 Ackly 函數在求解最優(yōu)解的過程中的迭代軌跡，從上述優(yōu)化結果中可以看出，DDAPSO 算法在求解多模態(tài)函數時，較其他算法具有明顯的優(yōu)勢。從函數迭代軌跡可以發(fā)現，DDAPSO算法在求解多模態(tài)函數時，由于借鑒了協同進化理論中的協同進化的優(yōu)勢，粒子個體在尋優(yōu)的過程中，在個體與外界環(huán)境協同作用下，不斷進化，從而在短時間找到全局最優(yōu)解。這一性能在在Rastrigin和Ackly函數上表現非常明顯，DDAPSO算法可以在大約150代之內找到最優(yōu)解，較其他算法具有極高的尋優(yōu)效率。

7 結束語

圖6 單模態(tài)測試函數迭代軌跡圖

針對PSO算法易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生早熟這一先天缺陷，本文利用生物學中的協同進化理論，借鑒其進化主體的多樣性，對基本PSO 算法進行了改進，形成了動態(tài)雙重自適應PSO算法。首先在初始化種群時，將混沌搜索引入PSO 算法中，增加了種群的多樣性，其次引入非線性動態(tài)調整策略對個體學習因子和社會學信息因子進行非線性取值，最后借鑒協同進化過程中與環(huán)境的主動適應性這些優(yōu)點，對慣性權重進行自適應取值，從而形成了動態(tài)雙重自適應PSO 算法。最后經仿真發(fā)現，該算法無論在單模態(tài)測試函數上還是在多模態(tài)測試函數上，在求解精度、穩(wěn)定性、尋優(yōu)率及運行時間上較其他5種算法均具有較好的求解性能，具有廣泛的應用前景。

圖7 多模態(tài)測試函數迭代軌跡圖