基于攝動(dòng)理論的動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值修正方法

吳漢洲,高 敏,王 毅,楊玉良,董 磊

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 導(dǎo)彈工程系,河北 石家莊 050003; 2.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 火炮工程系,河北 石家莊 050003;3.中國(guó)人民解放軍66069部隊(duì),河南 洛陽(yáng) 471000)

簡(jiǎn)易制導(dǎo)方法對(duì)硬件性能要求相對(duì)不高,常被應(yīng)用于彈道修正彈上,主要包括彈道成型法、彈道追蹤法及彈道預(yù)測(cè)法等[1]。其中彈道預(yù)測(cè)法具有較明顯優(yōu)勢(shì)[2],該方法主要分為彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)和彈道落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)。其中彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)主要通過(guò)彈道積分[3-4]、多項(xiàng)式擬合[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6-8]等方法計(jì)算落點(diǎn),但存在計(jì)算量偏大或計(jì)算精度差等缺點(diǎn)。李超旺等[9-11]研究了基于攝動(dòng)理論的落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)方法在火箭彈、高旋榴彈上的應(yīng)用,仿真計(jì)算及射擊試驗(yàn)均驗(yàn)證了該方法滿足實(shí)時(shí)解算要求,且計(jì)算精度高。但現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)該方法的彈道修正策略鮮有說(shuō)明,傳統(tǒng)設(shè)置方法中,當(dāng)落點(diǎn)偏差大于修正閾值時(shí)彈道修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)開始工作,但該修正閾值大小的設(shè)置存在較多問(wèn)題:閾值太小,修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)一直工作,導(dǎo)致電機(jī)發(fā)熱嚴(yán)重,甚至燒壞;閾值太大,彈道修正不足,落點(diǎn)散布較大。本文基于攝動(dòng)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)方法研究了實(shí)際應(yīng)用中與之相關(guān)的系列問(wèn)題,包括攝動(dòng)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)理論模型的推導(dǎo)、基準(zhǔn)彈道快速計(jì)算方法、偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法及數(shù)據(jù)量的論證,提出了一種動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值修正方法,可有效提高彈道修正效率。

1 攝動(dòng)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)原理

將理想條件下從彈丸發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的彈道稱為基準(zhǔn)彈道,在綜合射擊誤差因素下,彈丸實(shí)際彈道圍繞基準(zhǔn)彈道攝動(dòng)變化,通過(guò)在基準(zhǔn)彈道不同位置設(shè)置擾動(dòng)誤差計(jì)算該誤差下彈丸落點(diǎn)偏差,將該落點(diǎn)偏差與擾動(dòng)誤差的比值稱為該誤差因素對(duì)落點(diǎn)偏差的敏感因子。

1.1 攝動(dòng)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)理論模型

用r(x,y,z,vx,vy,vz)描述彈丸不同時(shí)刻飛行狀態(tài),則標(biāo)準(zhǔn)彈道落點(diǎn)可描述為關(guān)于各時(shí)刻飛行狀態(tài)的函數(shù):

T=f(r)

(1)

將實(shí)際彈道落點(diǎn)描述為

T′=f(r′)

(2)

式(1)和式(2)均為連續(xù)函數(shù)。不同時(shí)刻彈丸實(shí)際彈道參數(shù)圍繞標(biāo)準(zhǔn)彈道參數(shù)攝動(dòng)變化,且兩者差值一般不大,則根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)收斂性質(zhì),可將實(shí)際彈道在基準(zhǔn)彈道同一位置處泰勒展開，能夠滿足收斂條件。其理論公式可描述為

(3)

式中:i,j,k對(duì)應(yīng)r中不同狀態(tài)變量,o(r-r′)為泰勒級(jí)數(shù)高階小量。偏導(dǎo)數(shù)?T/?ri,?2T/(2！?ri?rj)和?3T/(3！?ri?rj?rk)即為敏感因子。

對(duì)于彈丸不同時(shí)刻的偏導(dǎo)數(shù):

(4)

(5)

式中:P表示偏導(dǎo)數(shù),其為關(guān)于r的變量的函數(shù)。在某一時(shí)刻不同階狀態(tài)變量的偏導(dǎo)數(shù)無(wú)排序差異下,式(3)可改寫為

(6)

式中:ΔT為實(shí)際彈道落點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)彈道落點(diǎn)的偏差,因高階小量對(duì)落點(diǎn)偏差計(jì)算影響較小,可忽略。

1.2 模型參數(shù)數(shù)值求解

根據(jù)有限差分法和偏導(dǎo)數(shù)的定義,不同階偏導(dǎo)數(shù)可用如下公式求解[11]:

(7)

式中:Δri和Δrj為對(duì)應(yīng)不同狀態(tài)變量的偏差。限于篇幅,本文只給出了一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的求解方法,更高階偏導(dǎo)數(shù)按照類似方法也可求解。如果以彈丸飛行距離作為偏導(dǎo)數(shù)求解位置參考,則一階偏導(dǎo)數(shù)在彈道縱向x和橫向z上各有關(guān)于y,z,vx,vy,vz的5類偏導(dǎo)數(shù)。而使用二階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)落點(diǎn)偏差時(shí)還需增加關(guān)于上述5種彈丸飛行狀態(tài)變量?jī)蓛芍g的偏導(dǎo)數(shù),在x和z方向上各有20類偏導(dǎo)數(shù)。

2 模型參數(shù)論證分析

在實(shí)際應(yīng)用中,射擊前需利用火控計(jì)算機(jī)解算射角諸元、基準(zhǔn)彈道和偏導(dǎo)數(shù)。為滿足快速裝定和實(shí)時(shí)計(jì)算要求,在不影響落點(diǎn)精度的前提下,火控計(jì)算機(jī)和彈載計(jì)算機(jī)的計(jì)算量要盡可能少。

2.1 基準(zhǔn)彈道

2.1.1 基準(zhǔn)彈道快速計(jì)算

計(jì)算基準(zhǔn)彈道前需首先確定火炮射角θ和射向角α,傳統(tǒng)查閱射表或計(jì)算機(jī)插值計(jì)算方法的誤差較大,本文基于攝動(dòng)理論提出了一種修正步長(zhǎng)自適應(yīng)的射角諸元計(jì)算方法。

首先計(jì)算不同初速、不同射角諸元以及不同氣象條件下的彈丸落點(diǎn),并以數(shù)據(jù)庫(kù)形式保存在火控計(jì)算機(jī)中,基于線性插值法調(diào)用該數(shù)據(jù)庫(kù),利用該數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算彈丸落點(diǎn)誤差不能超過(guò)0.4%。在實(shí)際應(yīng)用中,首先通過(guò)輸入彈丸初速、氣象數(shù)據(jù)及射距L查找數(shù)據(jù)庫(kù),得到一組粗略的射角θn和射向角αn,n為調(diào)用數(shù)據(jù)庫(kù)和解算彈道模型總次數(shù)。該角度與擬求解的精確的射角和射向角誤差不大,則可做如下近似:

(8)

(9)

基于θn和αn計(jì)算更準(zhǔn)確的射角諸元步驟如下:

①基于θn和αn解算剛體彈道模型得到落點(diǎn)T′(xn,zn),計(jì)算其與目標(biāo)點(diǎn)(即標(biāo)準(zhǔn)彈道落點(diǎn))T(xt,zt)的偏差ΔT(Δxn,Δzn);

②再次調(diào)用數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算射距L下偏差量為ΔT(Δxn,Δzn),對(duì)應(yīng)的射角和射向角調(diào)整量Δθn和Δαn,設(shè)θn=θn+Δθn,αn=αn+Δαn,基于新的θn和αn,再次解算彈道模型得到落點(diǎn)T′(xn,zn),設(shè)其與T(xt,zt)的偏差為ΔT(Δxn,Δzn);

③設(shè)Δθn=(Δθn-1/Δxn-1)Δxn,Δαn=(Δαn-1/Δzn-1)Δzn,則θn=θn+Δθn,αn=αn+Δαn,基于新的θn和αn再次解算彈道模型得到落點(diǎn)T′(xn,zn),其與T(xn,zn)的偏差為ΔT(Δxn,Δzn),重復(fù)本步驟,直至ΔT(Δxn,Δzn)滿足誤差要求。

該方法特點(diǎn)是射角和射向角修正偏差可根據(jù)落點(diǎn)偏差大小自適應(yīng)改變,能夠在短時(shí)間內(nèi)計(jì)算出滿足精度要求的射角諸元,并獲得基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)。

表1 射角和射向角搜索結(jié)果

2.1.2 基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)量

基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)以矩陣形式裝定給引信,矩陣列分別代表基準(zhǔn)彈道的y,z,vx,vy,vz等參數(shù),矩陣行表示不同距離的上述參數(shù)值。裝定給引信的基準(zhǔn)彈道行數(shù)越少,則基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)距離間隔越長(zhǎng),這會(huì)增大插值誤差,影響落點(diǎn)偏差計(jì)算精度,而數(shù)據(jù)間隔太小會(huì)增加數(shù)據(jù)裝定量,影響裝定速度。

設(shè)置射角θ=35°,彈丸開始預(yù)測(cè)時(shí)間為發(fā)射后12 s,彈丸落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1所示,彈丸實(shí)際縱向落點(diǎn)偏差為65.13 m,橫向落點(diǎn)偏差為8.90 m。從圖1(a)可看出,基準(zhǔn)彈道分別取30行、40行時(shí),縱向落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)波動(dòng)幅值分別約為2 m,1 m;基準(zhǔn)彈道分別取50行、60行時(shí),偏差波動(dòng)幅值均不超過(guò)0.5 m。從圖1(b)可看出,不同基準(zhǔn)彈道行數(shù)對(duì)橫向落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)影響不大,預(yù)測(cè)偏差波動(dòng)幅值均不超過(guò)0.1 m。因此,θ=35°時(shí)選取50行基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)量較合適,其他射角射擊時(shí)依此方法論證分析。

2.2 偏導(dǎo)數(shù)模型參數(shù)

2.2.1 偏導(dǎo)數(shù)求解中彈道偏差設(shè)置

給剛體彈道模型不同參數(shù)添加隨機(jī)誤差,模擬實(shí)際應(yīng)用中存在的射擊誤差,主要射擊誤差設(shè)置如表2所示。蒙特卡羅打靶仿真計(jì)算1 000組彈丸落點(diǎn),統(tǒng)計(jì)計(jì)算得彈丸縱向密集度為1/273,比彈丸實(shí)際密集度1/278略大,橫向密集度為1/1 444,比彈丸實(shí)際密集度1/1 467略大,根據(jù)誤差適當(dāng)增大原則,表2中射擊誤差設(shè)置滿足該型彈最大射角射擊時(shí)的落點(diǎn)散布規(guī)律要求。

表2 主要射擊誤差設(shè)置

基于表2射擊誤差,利用蒙特卡羅打靶法仿真計(jì)算1 000條誤差彈道,將誤差彈道與標(biāo)準(zhǔn)彈道比較,得到不同射距下彈丸彈道誤差,將同一位置處的1 000個(gè)彈道誤差取絕對(duì)值后再求和取平均值,得到不同射距下彈丸位置平均誤差如圖2所示,彈丸速度平均誤差如圖3所示。

圖2 彈丸位置平均誤差

圖3 彈丸速度平均誤差

從圖2和圖3可看出,位置平均誤差隨著飛行距離的增加而增大,而速度平均誤差在一定范圍內(nèi)波動(dòng)變化。為確保偏導(dǎo)數(shù)求解精度,在求解彈丸位置偏導(dǎo)數(shù)時(shí)需根據(jù)彈丸飛行距離設(shè)置不同偏差值,偏導(dǎo)數(shù)求解中彈道偏差設(shè)置如表3所示,由于速度誤差變化較小,故選用同一偏差值。

表3 偏導(dǎo)數(shù)求解時(shí)彈道偏差設(shè)置

圖4為彈丸縱向落點(diǎn)偏差Δx分別為13.23 m,65.13 m,115.43 m時(shí),利用不同彈道偏差求解的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度的影響。其中“小步長(zhǎng)”對(duì)應(yīng)的彈道位置偏差為Δy=22 m,Δz=10 m(下同);“大步長(zhǎng)”對(duì)應(yīng)為Δy=82 m,Δz=19 m(下同);“變步長(zhǎng)”設(shè)置如表3所示,速度偏差設(shè)置均為Δvx=Δvy=Δvz=1.4 m/s(下同);彈丸橫向落點(diǎn)偏差Δz分別為1.77 m,8.90 m,16.04 m時(shí),利用不同彈道偏差求解的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度的影響如圖5所示。

圖4 縱向落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度

圖5 橫向落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度

從圖4可看出,在初始預(yù)測(cè)階段誤差較大,但隨著彈丸飛行,預(yù)測(cè)誤差快速減小,并達(dá)到收斂;小步長(zhǎng)設(shè)置下,在彈道前期預(yù)測(cè)精度較高,隨著彈道偏差的增大,預(yù)測(cè)誤差開始大于大步長(zhǎng)和變步長(zhǎng);大步長(zhǎng)參數(shù)設(shè)置下,在彈道前期預(yù)測(cè)精度偏低,隨著彈道偏差的增大,預(yù)測(cè)精度慢慢好于小步長(zhǎng);變步長(zhǎng)參數(shù)設(shè)置下,預(yù)測(cè)精度結(jié)合了小步長(zhǎng)和大步長(zhǎng)參數(shù)設(shè)置下的優(yōu)點(diǎn),在全彈道上預(yù)測(cè)精度都較高。從圖5可看出,隨著落點(diǎn)偏差的增大,落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度也整體降低,但誤差都保持在較小水平,這主要是因?yàn)閺椡铏M向落點(diǎn)散布較小,橫向落點(diǎn)偏差與彈道偏差滿足較好的線性關(guān)系。

2.2.2 偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開理論,保留的偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度越高,但由于彈道測(cè)量偏差的存在,計(jì)算中引入的測(cè)量誤差也可能更大。圖6為分別利用一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)落點(diǎn)偏差的精度的比較。

圖6 不同階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)落點(diǎn)偏差精度比較

從圖6(a)可看出,使用一階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)彈丸縱向落點(diǎn)偏差精度較穩(wěn)定,誤差一般不超過(guò)2 m;使用二階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)縱向落點(diǎn)誤差收斂速度慢,且波動(dòng)幅值較大。從圖6(b)可看出,使用一階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)彈丸橫向落點(diǎn)偏差精度較穩(wěn)定,誤差逐漸收斂,最終誤差與二階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)精度相當(dāng);使用二階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)誤差,收斂速度快,但誤差波動(dòng)較大。綜上分析,選用一階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)彈丸落點(diǎn)偏差。

2.2.3 偏導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)量

與基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)形似,計(jì)算出的偏導(dǎo)數(shù)也是以矩陣的形式裝定給引信,只是矩陣的列表示不同彈丸飛行狀態(tài)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),矩陣的行依然表示不同射距上對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)行數(shù)少,則不同行的偏導(dǎo)數(shù)射距間隔大,容易造成落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度差。

圖7為使用不同行數(shù)偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)彈丸落點(diǎn)偏差的精度的比較。從圖7(a)可看出,偏導(dǎo)數(shù)行數(shù)越多縱向落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度越高;10行和15行偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)精度差別不大。從圖7(b)可看出,使用不同行數(shù)偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測(cè)彈丸橫向落點(diǎn)偏差的精度差異不大,特別是在彈道后期,預(yù)測(cè)精度基本一致。綜上分析,兼顧落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度和精度收斂速度,選10行偏導(dǎo)數(shù)較合適。

圖7 不同行數(shù)偏導(dǎo)數(shù)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)精度比較

3 動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值修正

基于攝動(dòng)理論計(jì)算出彈丸落點(diǎn)偏差后,需將該偏差與彈道偏差閾值進(jìn)行比較,確定是否進(jìn)行彈道修正。傳統(tǒng)方法將閾值設(shè)置為一個(gè)定值Wxz,當(dāng)落點(diǎn)偏差大于Wxz時(shí)進(jìn)行彈道修正,反之不修正。

3.1 修正能力分析

以105 mm固定舵式二維修正彈為例,彈丸不同飛行時(shí)刻,固定舵彈道修正能力如圖8所示,彈丸飛行約25 s達(dá)到彈道頂點(diǎn)。從圖8可看出,固定舵在彈道升弧段修正能力較強(qiáng),且對(duì)彈丸的橫向修正能力大于縱向修正能力;在彈道降弧段修正能力下降明顯,彈丸對(duì)彈道縱向修正能力略大于橫向修正能力。因此,在制定彈道修正策略時(shí)要優(yōu)先修正縱向落點(diǎn)偏差。

圖8 彈丸不同時(shí)刻修正能力

3.2 動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值的選擇

根據(jù)彈丸不同時(shí)刻修正能力確定基于時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值,如表4所示。表中,Wx為彈道縱向偏差閾值,Wz為彈道橫向偏差閾值。利用蒙特卡羅打靶法仿真計(jì)算修正彈道,記錄每條彈道的修正次數(shù),統(tǒng)計(jì)全部彈道總修正次數(shù)和落點(diǎn)散布規(guī)律。仿真計(jì)算參數(shù)設(shè)置如表5所示。

表4 彈道偏差修正閾值表

表5 仿真計(jì)算參數(shù)設(shè)置

不同修正閾值設(shè)置對(duì)應(yīng)的彈丸落點(diǎn)散布如圖9所示,對(duì)應(yīng)圓概率誤差(CEP)及總彈道修正次數(shù)如表6所示。

圖9 彈丸落點(diǎn)散布對(duì)比

表6 不同修正閥值下彈道修正結(jié)果

從圖9可看出,修正閾值1與修正閾值2對(duì)應(yīng)的彈丸落點(diǎn)散布規(guī)律相似,修正閾值3對(duì)應(yīng)的落點(diǎn)散布較大。從表8可看出修正閾值1與修正閾值2落點(diǎn)CEP基本相同,但前者總彈道修正次數(shù)較后者減少29.1%,修正閾值3彈道總修正次數(shù)較修正閾值2減少,但仍大于修正閾值1,且其對(duì)應(yīng)的落點(diǎn)CEP顯著增大。因此,選用動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值進(jìn)行彈道修正能夠在不影響彈丸落點(diǎn)CEP條件下有效減少?gòu)椀佬拚螖?shù),提高彈丸全彈道修正效率。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以多元函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開為理論依據(jù),推導(dǎo)了攝動(dòng)落點(diǎn)偏差預(yù)測(cè)方法理論模型,并給出了相關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的求解方法。針對(duì)攝動(dòng)落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法實(shí)際應(yīng)用涉及的相關(guān)技術(shù)問(wèn)題,提出了基于攝動(dòng)理論的修正步長(zhǎng)自適應(yīng)快速求解射角諸元的方法,該方法依托火控計(jì)算機(jī)循環(huán)解算彈道模型得出目標(biāo)解,具有循環(huán)次數(shù)少,求解速度快的特點(diǎn);為提高攝動(dòng)落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度,給出了偏導(dǎo)數(shù)求解中彈道偏差的設(shè)置方法;為提高彈道修正效率,基于舵片不同彈道時(shí)刻修正能力,提出了以飛行時(shí)間為序列的動(dòng)態(tài)彈道偏差閾值修正方法,選用該方法進(jìn)行彈道修正,在不影響彈丸落點(diǎn)CEP前提下可降低彈道修正次數(shù)29.1%。