武器彈藥密集度試驗(yàn)分組的蒙特卡洛模擬研究

鄒陳來(lái),王雨時(shí),王光宇,聞 泉,張志彪

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

武器彈藥密集度是評(píng)估武器和彈藥散布特性的一項(xiàng)指標(biāo),是武器和彈藥射擊精度的重要組成部分。能否精確分析武器和彈藥系統(tǒng)的密集度特性,關(guān)系到武器和彈藥設(shè)計(jì)指標(biāo)的制定以及武器和彈藥的靶場(chǎng)驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)的制定,對(duì)提升武器系統(tǒng)戰(zhàn)斗效能起著非常關(guān)鍵的作用[1]。對(duì)于常規(guī)兵器密集度試驗(yàn),原有的試驗(yàn)資料、現(xiàn)行的國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)和兵工行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)均有規(guī)定,且要求密集度試驗(yàn)須分組、分不同天進(jìn)行,高、低、常溫條件須單獨(dú)進(jìn)行試驗(yàn)[2-6],所需用彈量多,投入成本高。

在20世紀(jì)70年代,華東工程學(xué)院公算教研室提出了武器彈藥密集度試驗(yàn)不分組的新做法[7]。1979年編寫(xiě)的《火炮試驗(yàn)法》中,單純密集度由原來(lái)的三天三組改為一天一組,而引起了爭(zhēng)論[8]。就武器和彈藥密集度試驗(yàn)是否應(yīng)該分組的問(wèn)題,在20世紀(jì)80年代我國(guó)彈藥界和彈道界進(jìn)行了深入討論[9-25]。文獻(xiàn)[9]通過(guò)列舉試驗(yàn)數(shù)據(jù),論述了分組試驗(yàn)各組方差相等是不成立的,不分組理論需要商討,并引用了巴爾坎等人的密集度理論,即密集度本身是極不穩(wěn)定的,組與組之間的密集度存在20%左右的變化,說(shuō)明密集度試驗(yàn)有必要分組進(jìn)行。文獻(xiàn)[18]指出大量射擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)中各組試驗(yàn)方差存在差異,不能引出各組方差不相等的結(jié)論,并通過(guò)理論計(jì)算提出:不分組試驗(yàn)與分組試驗(yàn)相比,可以得到較高的估計(jì)精度,并且可以節(jié)省人力、物力。文獻(xiàn)[10]通過(guò)Cochran統(tǒng)計(jì)量和最大F比統(tǒng)計(jì)量,對(duì)391批密集度試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn),拒絕了分組試驗(yàn)各組理論方差相等的假設(shè)。

針對(duì)武器彈藥密集度試驗(yàn)不分組試驗(yàn)法和分組試驗(yàn)法的優(yōu)劣性及可行性問(wèn)題的討論,主要有2種截然相反的觀點(diǎn):①主張分組,方差反應(yīng)了多種因素的影響,不只是武器彈藥本身,還與被試品以外的條件密切相關(guān),不同的試驗(yàn)條件可以得到不同的密集度試驗(yàn)結(jié)果[9-16];②不主張分組,因?yàn)椴环纸M試驗(yàn)時(shí)的方差估計(jì)小于分組試驗(yàn)時(shí)的方差估計(jì),不分組試驗(yàn)時(shí)方差估計(jì)精度更高[17-18]。文獻(xiàn)[19]從經(jīng)濟(jì)性和估計(jì)精度兩方面考慮,更傾向于不分組試驗(yàn),但同時(shí)不否認(rèn)立靶密集度試驗(yàn)分組的做法。

除以上2種觀點(diǎn)外,文獻(xiàn)[21-24]主張根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?、試?yàn)條件以及試驗(yàn)對(duì)象的不同來(lái)確定是否需要分組試驗(yàn)。文獻(xiàn)[8]主張現(xiàn)行的火炮、彈藥密集度試驗(yàn)方法沒(méi)有修改或統(tǒng)一的必要,單純的密集度試驗(yàn),火炮仍可采用不分組射擊,彈藥則可保持原來(lái)的分組射擊規(guī)定,并提出中間誤差的二次散布隨用彈量的增加而減小,即用彈量越大,二次散布越小,而測(cè)得的中間誤差精度越高(組與組之間的跳動(dòng)也將越小);當(dāng)用彈量趨向于+∞時(shí),中間誤差二次散布為0,即所求中間誤差為理論值。文獻(xiàn)[25]則認(rèn)為密集度試驗(yàn)應(yīng)追求不分組試驗(yàn),但為了保證試驗(yàn)結(jié)果為同一“母體”,應(yīng)分組試驗(yàn)。

關(guān)于武器彈藥密集度試驗(yàn),分組與不分組主張的差異在于進(jìn)行分組試驗(yàn)時(shí)各組試驗(yàn)所得結(jié)果的方差是否相等[20]。文獻(xiàn)[9-25]主要通過(guò)文字和列舉試驗(yàn)數(shù)據(jù)的方式進(jìn)行論述,其中少部分文獻(xiàn)根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論,將密集度的估計(jì)值作為與試驗(yàn)分組數(shù)m和每組發(fā)數(shù)n相關(guān)的χ2函數(shù)進(jìn)行理論分析。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,計(jì)算工具越來(lái)越發(fā)達(dá),使得通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的輔助分析成為可能。本文針對(duì)武器彈藥密集度試驗(yàn)是否有必要分組進(jìn)行的問(wèn)題,借助計(jì)算機(jī),應(yīng)用蒙特卡洛方法,假設(shè)某彈藥具有特定的密集度特性,并假設(shè)分組試驗(yàn)時(shí)各組試驗(yàn)結(jié)果的方差相等,且等于總體方差,對(duì)密集度試驗(yàn)的分組試驗(yàn)法和不分組試驗(yàn)法進(jìn)行仿真對(duì)比研究。

除了上述武器彈藥密集度試驗(yàn)之外,引信空炸作用時(shí)間(距離)精度試驗(yàn)、引信自毀時(shí)間精度試驗(yàn)、爆炸元件作用時(shí)間精度試驗(yàn)、爆炸元件威力試驗(yàn)等,也都屬于一次性的破壞試驗(yàn),目前均采用不分組試驗(yàn)法[26-27]或分組試驗(yàn),但各組結(jié)果單獨(dú)考核[28],未見(jiàn)有采用分組法。

1 密集度試驗(yàn)與蒙特卡洛法模擬方法簡(jiǎn)介

1.1 密集度試驗(yàn)簡(jiǎn)介

射擊密集度是指在相同射擊條件下,彈丸的彈著點(diǎn)相對(duì)平均彈著點(diǎn)的密集程度[29],是通過(guò)對(duì)較少數(shù)量樣本參數(shù)的估計(jì)來(lái)評(píng)估總體分布參數(shù)的一種方法。射擊的密集度可以根據(jù)射彈的彈著點(diǎn)位置按下式計(jì)算[30]:

(1)

(2)

密集度試驗(yàn)是考核武器彈藥射擊散布的方法,式(1)計(jì)算所得為彈著點(diǎn)位置的中間誤差,該散布范圍包含了50%發(fā)數(shù)的彈著點(diǎn)。

在20世紀(jì)70年代提出的密集度試驗(yàn)新方法為不分組射擊,按式(1)進(jìn)行密集度估算。原有的試驗(yàn)方法及現(xiàn)行的試驗(yàn)方法為分組射擊,按式(3)進(jìn)行密集度估算:

(3)

(4)

(5)

由文獻(xiàn)[9]可知,分組射擊時(shí),樣本密集度的估計(jì)存在2種算法,方法一為按式(3)計(jì)算,方法二為按式(6)計(jì)算:

(6)

現(xiàn)行國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)及兵工行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)常規(guī)兵器密集度試驗(yàn)均有規(guī)定。其中文獻(xiàn)[4]對(duì)反裝甲彈的密集度試驗(yàn)作了要求,要求試驗(yàn)用彈樣本量須按高溫1～2組、常溫3組、低溫1～2組的組數(shù)進(jìn)行,口徑大于57 mm時(shí),每組發(fā)數(shù)為7發(fā),否則每組發(fā)數(shù)為10～20發(fā),且要求一組射彈射擊時(shí)間不大于30 min,一組射彈的各發(fā)時(shí)間間隔應(yīng)盡量一致,各組之間的時(shí)間間隔應(yīng)大于4 h。文獻(xiàn)[5]則對(duì)火炮的密集度試驗(yàn)進(jìn)行了規(guī)定,要求立靶密集度試驗(yàn)和地面密集度試驗(yàn)分組射擊。對(duì)于同一組彈,發(fā)與發(fā)之間射擊間隔為1～3 min,一組彈射擊時(shí)間不應(yīng)大于30 min。同一種藥溫的彈,一般射擊3組,組間射擊間隔應(yīng)大于4 h。每組彈的發(fā)數(shù)按口徑分,小口徑每組10發(fā),中口徑每組7發(fā),大口徑每組5發(fā)。文獻(xiàn)[6]對(duì)炮彈地面密集度試驗(yàn)法進(jìn)行了規(guī)定,對(duì)炮彈進(jìn)行工廠鑒定和外貿(mào)設(shè)計(jì)定型試驗(yàn),每個(gè)試驗(yàn)組用彈量有如下規(guī)定:

①?gòu)棌皆?7 mm(含57 mm)以下每組試驗(yàn)10(或15)發(fā)(一般為3個(gè)試驗(yàn)組);

②彈徑在60～100 mm(不含100 mm)每組試驗(yàn)10(或7)發(fā)(一般為3個(gè)試驗(yàn)組);

③彈徑在100～160 mm(不含160 mm)每組試驗(yàn)7發(fā)(一般為3個(gè)試驗(yàn)組);

④彈徑在160 mm以上每組試驗(yàn)5發(fā)(一般為3個(gè)試驗(yàn)組)。

按要求進(jìn)行高、低溫地面密集度試驗(yàn)時(shí),試驗(yàn)用彈量參照常溫試驗(yàn)用彈量。

火箭彈產(chǎn)品研制試驗(yàn)、工廠鑒定和外貿(mào)設(shè)計(jì)定型試驗(yàn)組用彈量則參照文獻(xiàn)[3]的規(guī)定。即:

地面密集度試驗(yàn)每組彈數(shù)根據(jù)實(shí)際情況確定。對(duì)多管火箭炮連放射擊通常每組發(fā)數(shù)取“一次連放的彈數(shù)”;對(duì)單管火箭炮或多管火箭炮單放射擊,大口徑火箭彈每組5～7發(fā),中小口徑每組7～12發(fā)。一般高、低、常溫各3組。一般一天內(nèi)高、低、常溫各射擊一組,三天射擊完畢。一組射擊時(shí)間應(yīng)在30 min之內(nèi),最長(zhǎng)不應(yīng)超過(guò)45 min。

以上3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的密集度估計(jì)均按式(3)和式(4)進(jìn)行。按以上規(guī)定進(jìn)行密集度試驗(yàn),均要求高、低、常溫各射擊3組,所需試驗(yàn)彈數(shù)較多,耗時(shí)較長(zhǎng)。為減少試驗(yàn)用彈量,文獻(xiàn)[31]根據(jù)某榴彈和某爆炸成型彈丸的常溫、高溫、低溫密集度試驗(yàn)結(jié)果,提出溫度對(duì)密集度的影響較小,建議以常溫考核為主,高溫、低溫考核為輔的方法進(jìn)行立靶密集度考核。文獻(xiàn)[32]通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論建立方差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?對(duì)密集度散布方差進(jìn)行了檢驗(yàn)分析,提出彈溫對(duì)密集度散布沒(méi)有影響,而分組試驗(yàn)可以消除偶然因素帶來(lái)的不利影響,并建議輕武器榴彈密集度試驗(yàn)采用單一溫度條件下射擊多組的方法試驗(yàn)。

1.2 密集度試驗(yàn)的蒙特卡洛法模擬的實(shí)現(xiàn)

蒙特卡洛法是一種隨機(jī)抽樣方法,其通過(guò)數(shù)量足夠大的模擬試驗(yàn)來(lái)逼近服從特定分布的實(shí)際總體,該方法的理論基礎(chǔ)為概率論的大數(shù)定理和伯努利定理。只要進(jìn)行足夠大量的模擬計(jì)算,蒙特卡洛法的應(yīng)用幾乎沒(méi)有限制[33]。

蒙特卡羅法模擬密集度試驗(yàn)需要產(chǎn)生彈著點(diǎn)位置坐標(biāo),彈著點(diǎn)位置坐標(biāo)是試驗(yàn)中的隨機(jī)變量,其產(chǎn)生服從選定的分布概率模型。在此假設(shè)其服從正態(tài)分布模型。

設(shè)共有試驗(yàn)樣本K批,每批試驗(yàn)的總用彈數(shù)為N,分m組射擊,每組射擊n發(fā)。則K批樣本的均值和方差為

(7)

(8)

通過(guò)估計(jì)量的精度來(lái)評(píng)估估計(jì)量的優(yōu)劣,估計(jì)精度的指標(biāo)包括估計(jì)均方差σB和估計(jì)相對(duì)誤差EB:

(9)

(10)

對(duì)于分組試驗(yàn),可根據(jù)同一批試驗(yàn)中估計(jì)值最大一組的密集度與估計(jì)值最小一組的密集度的比值γ,來(lái)評(píng)估組與組之間的密集度差異大小:

(11)

同一次模擬(包含K批樣本)中比值最大值γmax為

γmax=max{γk}

(12)

式中:γk為第k批樣本的比值。

則K批樣本的均值和均方差為

(13)

(14)

2 蒙特卡洛法模擬

不妨假設(shè)某彈藥的彈著點(diǎn)位置坐標(biāo)服從N(0,202)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則該彈藥密集度真值B=13.49 m。國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)對(duì)密集度試驗(yàn)用彈數(shù)的規(guī)定,包括5發(fā)一組、7發(fā)一組和10發(fā)一組的做法,組數(shù)一般要求3～6組?，F(xiàn)假設(shè)產(chǎn)品單批試驗(yàn)樣本總量N分別為5發(fā)、7發(fā)、10發(fā)、14發(fā)、15發(fā)、20發(fā)、21發(fā)、25發(fā)、28發(fā)、30發(fā)、35發(fā)、40發(fā)、42發(fā)、50發(fā)和60發(fā),用蒙特卡洛隨機(jī)抽樣方法模擬不同分組方式的密集度試驗(yàn),求取每個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量B的最大似然估計(jì)值作為觀察值。模擬試驗(yàn)批數(shù)K分別為104,105,106。

表1所列為密集度試驗(yàn)分組試驗(yàn)法散布參數(shù)的2種估計(jì)方法的對(duì)比,其中方法一為按式(3)進(jìn)行估計(jì),方法二為按式(6)進(jìn)行估計(jì)。

表1 N(0,202)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密集度試驗(yàn)分組試驗(yàn)2種估計(jì)方法模擬結(jié)果對(duì)比

為評(píng)估式(3)和式(6)2種估計(jì)方法的差異,得到組間密集度比值不同時(shí)2種估算方法的相對(duì)偏差大小為

(15)

式中:μ1為按式(3)進(jìn)行估算所得的密集度估計(jì)值,μ2為按式(6)進(jìn)行估算所得的密集度估計(jì)值。

表3所列為試驗(yàn)樣本總量N為10,14,15,21,25,28,30,35,40,42,50和60時(shí),按不同分組方式進(jìn)行抽樣模擬,得到的組間密集度差異的估計(jì)參數(shù)γ、2種不同估計(jì)方法所得密集度估計(jì)值μ1和μ2以及兩者之間的相對(duì)偏差大小Δ12。

表2 N(0,202)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密集度試驗(yàn)分組試驗(yàn)與不分組試驗(yàn)的模擬結(jié)果

表3 N(0,202)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密集度試驗(yàn)分組試驗(yàn)組間密集度最大比值γ以及2種密集度估算方法模擬結(jié)果對(duì)比

3 分析討論

由表2分組密集度試驗(yàn)106批次模擬結(jié)果可知,每組試驗(yàn)射擊5發(fā),射擊2組所得密集度估計(jì)相對(duì)誤差為3.06%,射擊3組所得密集度估計(jì)相對(duì)誤差為2.04%。每組試驗(yàn)射擊7發(fā),射擊2組所得密集度估計(jì)相對(duì)誤差為2.07%,射擊3組所得密集度估計(jì)相對(duì)誤差為1.37%。每組試驗(yàn)射擊10發(fā),射擊2組所得密集度估計(jì)相對(duì)誤差為1.37%,射擊3組所得密集度估計(jì)相對(duì)誤差為0.92%。即每組射擊5發(fā)時(shí),射擊3組及3組以上,即可得到較好的密集度估計(jì)精度;每組射擊7～10發(fā)時(shí),射擊2組及2組以上,也可得到較好的密集度估計(jì)精度。

對(duì)表2模擬計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到不同試驗(yàn)樣本總量,不同分組方式,按106批次進(jìn)行模擬得到的計(jì)算結(jié)果,如表4所列,其中分組試驗(yàn)的密集度是按式(3)～式(5)的方法計(jì)算的。

結(jié)果表明,試驗(yàn)樣本總量N一定時(shí),加大分組數(shù)m,樣本均方差增大,樣本估計(jì)相對(duì)誤差也增大,即估計(jì)的無(wú)偏性降低,估計(jì)精度也降低。與文獻(xiàn)[18]中所述對(duì)于總用彈數(shù)一定時(shí),分組數(shù)越大估計(jì)無(wú)偏性越差的結(jié)論是一致的,與文獻(xiàn)[9]中引用的不分組理論也是一致的,即密集度估計(jì)精度隨著分組數(shù)增多而降低。密集度試驗(yàn)不分組進(jìn)行比分組進(jìn)行可以得到更高的估計(jì)精度,但精度增加十分有限。

由表2中106批次模擬結(jié)果可知,估計(jì)相對(duì)誤差隨著樣本量的增加而減小。試驗(yàn)組數(shù)m相同時(shí),單組用彈量越大,密集度均方差越小,即密集度估計(jì)的散布越小,所得結(jié)論與文獻(xiàn)[8]中關(guān)于中間誤差二次散布隨用彈量的增加而減小的結(jié)論是一致的。不分組試驗(yàn),試驗(yàn)樣本量為5發(fā)時(shí),估計(jì)相對(duì)誤差為5.96%;試驗(yàn)樣本量為7發(fā)時(shí),估計(jì)相對(duì)誤差為4.12%;試驗(yàn)樣本量為10發(fā)時(shí),估計(jì)相對(duì)誤差為2.69%;試驗(yàn)樣本量為14發(fā)時(shí),估計(jì)相對(duì)誤差為1.87%;試驗(yàn)樣本量為21發(fā)時(shí),估計(jì)相對(duì)誤差為1.24%;試驗(yàn)樣本量為28發(fā)時(shí),估計(jì)相對(duì)誤差為0.92%。即不分組試驗(yàn),單次試驗(yàn)射擊14發(fā)或14發(fā)以上即可得到較好的密集度估計(jì)精度。

根據(jù)表3中106次模擬的結(jié)果,試驗(yàn)總發(fā)數(shù)15發(fā),分3組試驗(yàn),每組5發(fā)時(shí),各組中間誤差極大值與極小值之比最大為58.24,均值為2.11。試驗(yàn)總發(fā)數(shù)21發(fā),分3組試驗(yàn),每組7發(fā)時(shí),各組密集度之間的最大比值的最大值為22.42,均值為1.77,按3倍均方差為誤差區(qū)間,則組間密集度最大比的有效范圍為1.00～3.60,文獻(xiàn)[9]所列舉試驗(yàn)數(shù)據(jù)組間密集度的比值基本在這個(gè)范圍內(nèi),個(gè)別組比值超過(guò)3.60,但仍未超過(guò)模擬計(jì)算所得的最大值22.42。因此,單批試驗(yàn)組與組之間的密集度差異大,不能得出各組樣本不屬于同一母體的結(jié)論。與文獻(xiàn)[18]關(guān)于大量射擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)中各組試驗(yàn)方差存在差異,不能引出各組方差不相等的結(jié)論的論述是一致的。

根據(jù)各組密集度之間的最大比值的106次模擬結(jié)果,試驗(yàn)總發(fā)數(shù)15發(fā),分3組試驗(yàn),每組5發(fā)時(shí),各組密集度之間的最大比值的均值為2.11,則組間密集度的平均差異約為35.7%。試驗(yàn)總發(fā)數(shù)21發(fā),分3組試驗(yàn),每組7發(fā)時(shí),各組密集度之間的最大比值的均值為1.77,則組間密集度的平均差異約為27.8%。試驗(yàn)總發(fā)數(shù)30發(fā),分3組試驗(yàn),每組10發(fā)時(shí),各組密集度之間的最大比值的均值為1.56,則組間密集度的平均差異約為21.9%。即組間密集度存在一定的差異,其差異大小隨單組試驗(yàn)發(fā)數(shù)的增加而減小,隨試驗(yàn)組數(shù)的增加而增大。所得結(jié)果與文獻(xiàn)[8]關(guān)于密集度組間跳動(dòng)隨用彈量增加而減小的結(jié)論以及文獻(xiàn)[2]關(guān)于組間密集度存在20%左右差異的結(jié)論基本一致。

4 結(jié)束語(yǔ)

不考慮氣象等因素,從純數(shù)學(xué)角度,假設(shè)彈藥具有特定的密集度特性,密集度試驗(yàn)分組進(jìn)行會(huì)降低密集度的估計(jì)精度,密集度試驗(yàn)由分組進(jìn)行改為不分組試驗(yàn)可以提高估計(jì)精度,但估計(jì)精度改善不明顯?，F(xiàn)行國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)和兵工行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)均要求密集度試驗(yàn)分組進(jìn)行,可以計(jì)入氣象等隨機(jī)因素帶來(lái)的影響。

對(duì)于引信空炸(自毀)作用時(shí)間(距離)精度、爆炸元件作用時(shí)間精度、爆炸元件威力等一次性破壞試驗(yàn),從理論上講,采用分組試驗(yàn)進(jìn)行評(píng)估同樣可以計(jì)入不確定隨機(jī)因素的影響,從而提高估計(jì)精度。但這類試驗(yàn)分組進(jìn)行成本往往較高,而帶來(lái)的效果卻并不十分明顯,引信和火工品專業(yè)可能因此而一直采用不分組試驗(yàn)方法。

采用分組方法進(jìn)行武器彈藥密集度試驗(yàn)時(shí),如果單組試驗(yàn)發(fā)數(shù)為5發(fā),則應(yīng)射擊3組或3組以上。如果單組試驗(yàn)發(fā)數(shù)為7～10發(fā),則應(yīng)射擊2組或2組以上。對(duì)于分組試驗(yàn)密集度估計(jì),應(yīng)使用各組密集度的幾何平均值作為總體密集度的估計(jì)。