指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究

劉華為 陳超

【摘?要】深度學(xué)習(xí)是指在獲取知識的過程中，基于充分理解的基礎(chǔ)上進行系統(tǒng)設(shè)計與深度加工，是以完善認知方式、豐富思維策略和提升發(fā)展性學(xué)力為主要目標所開展的學(xué)習(xí)活動，常蘊含在知識的生成過程、方法的完善過程和行為的反思過程中，具有過程性、綜合性、批判性和創(chuàng)造性等典型特征。研究者以“梯形的中位線定理”教學(xué)為例，在吃透教材、學(xué)情和教法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生開展基于主動思考、深入理解和勇于探究的深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】梯形;中位線定理;深度學(xué)習(xí);核心素養(yǎng);發(fā)展性學(xué)力

【作者簡介】劉華為，高級教師，上海市第四期“雙名工程”名師，靜安區(qū)學(xué)科帶頭人;陳超，二級教師。

以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析為主旨的核心素養(yǎng)，推動了課堂教學(xué)改革，引領(lǐng)了教師專業(yè)化發(fā)展，促進了學(xué)生素質(zhì)提升。因此，課堂教學(xué)中如何突出這六大核心素養(yǎng)，是很多教師關(guān)注的焦點。對此，筆者以滬教版數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期的“梯形的中位線定理”教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生開展基于主動思考、深入理解和勇于探究的深度學(xué)習(xí)。

一、立足三個“吃透”，奠定開展深度學(xué)習(xí)的堅實基礎(chǔ)

教材中所涉及的知識是開展學(xué)習(xí)活動的載體，知識背后所蘊含的思想方法是開展學(xué)習(xí)活動所需深入挖掘的潛在信息，而認知過程中所要完善的思維方式與培養(yǎng)的發(fā)展性學(xué)力是開展學(xué)習(xí)活動的重要價值。因此，吃透教材、學(xué)情和教法是開展深度學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。

1吃透教材

梯形的中位線定理是繼三角形中位線定理后，又一個集位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系于一體的重要定理，是處理兩線平行問題和三條線段之間的數(shù)量關(guān)系的重要策略之一，對后續(xù)平行線分線段成比例與相似形的學(xué)習(xí)具有十分重要的意義。一方面教材只用“與三角形中位線類似”一句過渡語，便直接給出梯形中位線的概念與定理（定理的證明也只介紹一種證法），然后通過一道以梯子為背景的計算題和一道以梯形為基本圖形的角平分線的證明題來分別強化梯形中位線定理的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的應(yīng)用。另一方面配套的教師教學(xué)參考用書又特別強調(diào)要重視從三角形中位線到梯形中位線的引導(dǎo)，促進學(xué)生正確進行知識遷移，至于究竟如何類比或類比什么卻沒有進一步說明，這為如何開展深度學(xué)習(xí)留下了開發(fā)空間與拓展方向。

2吃透學(xué)情

有了三角形中位線的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生對梯形中位線“概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)架構(gòu)有了基本認識和遷移基礎(chǔ)，但無論是研究的對象，還是對性質(zhì)定理中數(shù)量關(guān)系的猜想與描述，兩者都存在一定的差異，給類比遷移制造了不小的障礙。另外，利用三角形中位線定理證明梯形中位線定理時需構(gòu)造三角形，有些構(gòu)造方法比較顯性（如連接梯形對角線），但具體證明卻涉及“同一法”思想，學(xué)生對“同一法”又一無所知，無法獨立完成證明，這給教師課堂教學(xué)帶來挑戰(zhàn)。

3吃透教法

定理教學(xué)通常都是以探究性教學(xué)為主，即通過創(chuàng)設(shè)情境—觀察猜想—合情推理—操作驗證—演繹證明—舉例應(yīng)用等活動，把定理的探究、證明與應(yīng)用變?yōu)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)成果?！疤菪蔚闹形痪€定理”的教學(xué)當然也不例外，應(yīng)當基于三角形中位線的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，借助類比遷移情境，從圖形的認知規(guī)律入手，引導(dǎo)學(xué)生由三角形遷移到四邊形，再把視角由一般四邊形轉(zhuǎn)到研究特殊四邊形，最終深入到梯形的探究，發(fā)掘定理并展開應(yīng)用。這樣的教學(xué)設(shè)計優(yōu)勢在于，注重對幾何圖形研究的學(xué)法指導(dǎo)，強化了學(xué)生的探究意識，提升了發(fā)展性學(xué)力。

二、著手四點“開發(fā)”，豐富開展深度學(xué)習(xí)的基本策略

1開發(fā)知識生成過程，強化探究方法的深度學(xué)習(xí)

與教材直接提出梯形中位線的概念與定理的處理方式不同，筆者基于怎么想到研究梯形的中位線及梯形的中位線定理中的數(shù)量關(guān)系是如何被挖掘這兩個問題進行深入思考，從中位線的構(gòu)成要素與圖形的動態(tài)發(fā)展入手，借助以下一系列驅(qū)動性問題，引導(dǎo)學(xué)生對知識生成進行深度學(xué)習(xí)。

問題1：什么是三角形的中位線？它有什么性質(zhì)？

問題2：在研究了三角形的中位線后，接下來還能研究哪些多邊形的中位線？

問題3：連接四邊形兩邊中點的線段是不是也有類似結(jié)論呢？

如圖1，若連接四邊形ABCD兩鄰邊的中點E、F，易知EF就是△ABD的中位線，不必進一步研究;如圖2，若連接四邊形對邊中點E、F，對于一般四邊形來說，EF與另兩邊AD、BC間顯然不存在平行的位置關(guān)系，借助度量（或用幾何畫板演示）也可猜測三者不存在特殊的數(shù)量關(guān)系。

問題4：在圖2中，當AD與BC滿足什么條件時，EF與兩者平行？

學(xué)生易猜想，當AD∥BC（即四邊形ABCD為梯形）時，EF∥AD∥BC（如圖3）。

問題5：連接梯形兩腰中點的線段與上下底之間是否存在特殊的數(shù)量關(guān)系？

從圖象上看，EF與AD或BC均不相等，學(xué)生自然想到尋求三條線段間的數(shù)量關(guān)系。既然是尋求數(shù)量關(guān)系，教師不妨先放手讓學(xué)生大膽猜想，然后測量驗證;或者借助問題“當AD與BC除平行外，還需滿足什么數(shù)量關(guān)系時EF才與二者分別相等”，即由四邊形ABCD是平行四邊形時，三條線段間存在特殊的數(shù)量關(guān)系EF=AD=BC=12（AD+BC）（如圖4），啟發(fā)學(xué)生猜想對于梯形ABCD，等式EF=12（AD+BC）成立。

上述系列問題主要依據(jù)中位線是連接兩邊中點的線段的特征，緊扣中位線與其他邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩個研究方向，引導(dǎo)學(xué)生從三角形逐步類比遷移到梯形，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、應(yīng)用的探究過程，進一步體驗歸納、類比和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，完善定理探究的認知方式。與教材的處理方式相比，雖然課堂教學(xué)節(jié)奏慢了，但活動量和思維量卻得到有效強化，學(xué)習(xí)力度也得以全面提升。

2開發(fā)證明思路的生成過程，強化邏輯推理的深度學(xué)習(xí)

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力弱常常表現(xiàn)為“一聽就懂，一做就錯”，其根本原因是找不到解決問題的突破口，缺乏調(diào)控受阻思維的基本策略。因此，從“教學(xué)生怎樣想”入手，以再現(xiàn)“怎么想到這樣做”的思維歷程為抓手，筆者設(shè)計了以突出轉(zhuǎn)化思想為主題的操作環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進一步開展深度學(xué)習(xí)，厘清證明方法形成的基本原理，把握由梯形向三角形轉(zhuǎn)化的構(gòu)圖（添加輔助線）本質(zhì)，提升學(xué)生遷移能力。

當然，課堂小結(jié)也不能淡化，筆者從“本節(jié)課學(xué)到什么知識”“掌握了哪些方法”“你的感悟是什么”三個方面引導(dǎo)學(xué)生歸納整理。雖然問題比較發(fā)散，但注重提升，意在發(fā)展，給學(xué)生足夠的想象與暢言空間。對于學(xué)生的回答，筆者及時做好補充與點評，強調(diào)探究過程與思想方法，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、放眼六大核心素養(yǎng)，強化開展深度學(xué)習(xí)的核心價值

毫無疑問，與常規(guī)教學(xué)相比，本教學(xué)設(shè)計基于深度學(xué)習(xí)的處理方式讓教學(xué)節(jié)奏“慢”了下來。不過，如此一“慢”卻讓注重核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)目標得到有效落實。一是在中位線概念和定理由三角形到梯形的探究與遷移類比過程中，感悟數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的核心理念;二是在多角度的定理證明轉(zhuǎn)化思路生成過程中培養(yǎng)了邏輯推理的核心能力;三是在圖形的遞進變化與幾何畫板的動態(tài)演示中強化了直觀想象能力;四是在多層次的線段長度計算與算理分析推進中優(yōu)化了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng);五是在依據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系并借“截長補短”之策略中，挖掘解題思路的生成，凸顯數(shù)據(jù)分析之魅力。

眾所周知，課堂容量包括知識量、活動量和思維量三部分，其中知識量是根、活動量是莖、思維量是果。從表面上看，本節(jié)課雖然只處理了一個定義、一個定理和一道例題，單從知識量來看似乎過于單薄，但正是基于深度學(xué)習(xí)的教材二次開發(fā)卻使活動量與思維量大大增強，凸顯了對數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)追求。如對梯形中位線數(shù)量關(guān)系的處理，教師并沒有直接灌輸給學(xué)生，也沒有簡單地用尺子量一量或者觀察一下就得出結(jié)果，而是創(chuàng)設(shè)連接平行四邊形對邊中點，通過觀察與另外兩邊的特殊關(guān)系，猜想出梯形中位線等于上底與下底之和的一半，遵循了從特殊到一般的認知規(guī)律，強化了活動量與思維量。特別是梯形中位線概念的生成與定理的證明，教師組織學(xué)生自主探究，給予充分的想象空間和思考時間，通過類比遷移和多角度的思維挖掘，深化了知識構(gòu)建的學(xué)習(xí)過程，完善了學(xué)習(xí)方式，優(yōu)化了發(fā)展性學(xué)力。換言之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教知識，更重要的是通過知識的建構(gòu)，訓(xùn)練學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生處理問題的能力，或許這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價值之所在。

總之，開展深度學(xué)習(xí)的主要目的不僅在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，還要指導(dǎo)學(xué)生提煉地學(xué)、反思地學(xué)、優(yōu)化地學(xué)和創(chuàng)新地學(xué)。教師要在知識生成處、難點突破處、方法形成處和思維生長處精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，放手讓學(xué)生主動探究，不斷反思與內(nèi)化，全面強化綜合性思維和提升發(fā)展性學(xué)力。

（責(zé)任編輯：陸順演）