小學(xué)數(shù)學(xué)六種推理基本模型的應(yīng)用

吳永華

【摘? 要】? 新課程改革進(jìn)入了一個(gè)深水區(qū)，三維目標(biāo)的設(shè)置，核心學(xué)科素養(yǎng)的認(rèn)知都從顯性的知識(shí)技能轉(zhuǎn)向隱性的思維發(fā)展研究。數(shù)學(xué)如何落實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和方法的滲透始終是一線教師繞不過(guò)的主題。推理是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)核心十大概念之一，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是大家關(guān)注的問(wèn)題。

推理是一個(gè)極其復(fù)雜的心智操作過(guò)程，把這個(gè)隱性過(guò)程用典型的表征方式表達(dá)出來(lái)，使隱性過(guò)程顯性化，就產(chǎn)生了模型。推理的表征形式有三大類(lèi)，具體模型在小學(xué)數(shù)學(xué)涉及到六種，這里的種屬分類(lèi)不是單純的隸屬分類(lèi)，而是交織的交集分類(lèi)，構(gòu)成一個(gè)立體網(wǎng)絡(luò)。六種模型的具體應(yīng)用是教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)文化實(shí)踐的深度提煉。

像數(shù)學(xué)家一樣認(rèn)知世界，像物理學(xué)家一樣思考問(wèn)題，把數(shù)學(xué)思想和方法移至小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的中央，這是數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的夢(mèng)想。

【關(guān)鍵詞】? 小學(xué)數(shù)學(xué);推理;模型;應(yīng)用

數(shù)學(xué)是工具性、人文性、社會(huì)文化性的綜合。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是學(xué)生借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言，吸納人類(lèi)智慧進(jìn)行文化實(shí)踐的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程有態(tài)度和感受，獲取知識(shí)和煉制知識(shí)，有意義地應(yīng)用知識(shí)以及養(yǎng)成良好思維習(xí)慣等多個(gè)維度。推理是獲取知識(shí)和煉制知識(shí)維度中最重要的部分，也是學(xué)習(xí)者一個(gè)復(fù)雜的心智過(guò)程。

基于模型的推理能力培養(yǎng)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的熱門(mén)話題。模型是表征系統(tǒng)的典型表達(dá)形式;模式是心智操作的程序性表達(dá)形式。推理模型存在著復(fù)雜的連續(xù)體，有機(jī)動(dòng)性和不變性，縮放性和再生性相統(tǒng)一的特征。應(yīng)用好推理模型原理的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂實(shí)踐探索，是深化數(shù)學(xué)課程改革的有效路徑。小學(xué)數(shù)學(xué)推理模型有三大類(lèi)六種基本模型：三大類(lèi)指物理縮圖類(lèi)、表征系統(tǒng)類(lèi)和句法模型類(lèi);六種基本模型是比較、分類(lèi)、抽象、建模、歸納和演繹。推理能力的培養(yǎng)致力于學(xué)習(xí)個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)煉制和已有知識(shí)的拓展，在態(tài)度和感受因素的參與下，創(chuàng)造新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。

一、比較和分類(lèi)——從直觀到煉制

比較指?jìng)€(gè)體能確定并說(shuō)明各種事物的相似點(diǎn)和不同點(diǎn)。分類(lèi)指?jìng)€(gè)體能根據(jù)屬性把事物分組成為可定義的種類(lèi)。一般不同的屬性標(biāo)準(zhǔn)就有不同的分類(lèi)模型，多數(shù)用于陳述性知識(shí)的意義建構(gòu)過(guò)程。分類(lèi)和比較有時(shí)是相互交集，同時(shí)發(fā)生的推理過(guò)程，用于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的組建。

小學(xué)生的分類(lèi)和比較是從直觀開(kāi)始的，先從生活場(chǎng)景中實(shí)物開(kāi)始介入。例如衣服、工具、垃圾分類(lèi)等等。講清分類(lèi)的意義，感受分類(lèi)的類(lèi)別可定義性，再進(jìn)入圖形和符號(hào)的分類(lèi)。例如幾何圖形的分類(lèi)，數(shù)學(xué)符號(hào)工具的分類(lèi)等等。但是圖形和符號(hào)的分類(lèi)，往往會(huì)缺乏可定義的煉制，使比較和分類(lèi)不能進(jìn)入到概念分類(lèi)的思維高級(jí)推理階段。例如“字母表示數(shù)”，傳統(tǒng)的教學(xué)只從為教方程作鋪墊，并不關(guān)注分類(lèi)，所以會(huì)出現(xiàn)學(xué)生“一鍋熟”的現(xiàn)象，缺乏對(duì)字母表示數(shù)的深度意義理解。字母的數(shù)學(xué)應(yīng)用是有分類(lèi)的：一是表示任意數(shù)，并給字母有定義域;二是表示函數(shù)間的關(guān)系;三是表示特殊意義的特殊性;四是敘述中用縮寫(xiě)表示特殊意義。數(shù)學(xué)是一種文化語(yǔ)言，數(shù)學(xué)符號(hào)是這種語(yǔ)言的特殊意義記錄，符號(hào)感的形成除了意義建構(gòu)，還要加強(qiáng)分類(lèi)和比較的推理能力培育，從直觀到煉制，養(yǎng)成說(shuō)明事物相似點(diǎn)和不同點(diǎn)的習(xí)慣，學(xué)會(huì)自覺(jué)分類(lèi)的可定義性本領(lǐng)。

分類(lèi)和比較的交集會(huì)產(chǎn)生類(lèi)比和遷移的功能，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。目前小學(xué)的解決問(wèn)題教學(xué)是分散的，傳統(tǒng)算術(shù)思維是分類(lèi)的，從“九章算術(shù)”開(kāi)始，中國(guó)古代的算術(shù)是以個(gè)案范式來(lái)傳統(tǒng)地解答知識(shí)的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題并不分類(lèi)，其實(shí)工程問(wèn)題和行程問(wèn)題的基本模型是相似的，如果工程總量、效率、時(shí)間跟距離、速度、時(shí)間對(duì)應(yīng)起來(lái)比較，就發(fā)現(xiàn)兩種模型都屬于一次函數(shù)的類(lèi)別。從直觀到煉制，既是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)拓展，也是一種認(rèn)識(shí)事物的精煉。我們?cè)跀?shù)學(xué)比較和分類(lèi)教學(xué)中，不能只關(guān)注直觀性的學(xué)習(xí)結(jié)果，要特別重視比較和分類(lèi)的知識(shí)煉制過(guò)程，把直覺(jué)感知變成探索未知的推理過(guò)程，提高小學(xué)生思考問(wèn)題的層級(jí)性。

二、抽象與建模——關(guān)于數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)

數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象的科學(xué)，建模是數(shù)學(xué)的核心理念。抽象指確定信息的基本主題，舍去非本質(zhì)的東西，建立一般范式的推理過(guò)程。例如人們?cè)谏顚?shí)踐中，積累起了人走路、馬車(chē)行、火車(chē)跑的信息，發(fā)覺(jué)人、馬、車(chē)都是事物非本質(zhì)的東西，時(shí)間、速度、路程是最本質(zhì)的特征，于是建立起“路程=速度×?xí)r間”的表征范式，并推廣到飛機(jī)、自行車(chē)、動(dòng)物等所有物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。人們對(duì)事物本質(zhì)的煉制也是有一個(gè)深化過(guò)程的，速度就有方向性、加速和減速，時(shí)間是相對(duì)的，路程是位移，從體驗(yàn)感知到抽象推理，形成數(shù)學(xué)文化的歷史性長(zhǎng)河，集中體現(xiàn)了人類(lèi)的偉大智慧。抽象和建模是兩種相關(guān)聯(lián)的推理過(guò)程，抽象致力于推理的過(guò)程，建模關(guān)注推理的結(jié)果，這種復(fù)雜推理是一般和特殊的心智操作的互動(dòng)，也是圖像系統(tǒng)、符號(hào)表征系統(tǒng)和句法模型系統(tǒng)的可視化建構(gòu)。

在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，教師往往責(zé)怪學(xué)生思維死，不會(huì)“舉一反三”。事實(shí)上這不是學(xué)生的過(guò)錯(cuò)，而是教師長(zhǎng)期缺乏抽象與建模的數(shù)學(xué)文化浸潤(rùn)所造成的后果。有一段時(shí)期小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革有一種去模式化的時(shí)尚，似乎模式會(huì)束縛學(xué)生的思維創(chuàng)新，教師不支持和幫助學(xué)生去抽象和建模，這就是題海戰(zhàn)最可悲的地方。大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練一要注意不要過(guò)度訓(xùn)練，超越學(xué)生的可接受極限;二要建立屬于學(xué)生自己的認(rèn)知模型，通常說(shuō)的“舉一反三”就是建模，“反三”就是模型的應(yīng)用和實(shí)證，這個(gè)推理復(fù)雜過(guò)程有一個(gè)調(diào)節(jié)機(jī)制，就是學(xué)生的批判性思維能力，讓每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中建構(gòu)屬于自己的心智操作范式。

小學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)境脈剝離的學(xué)科，知識(shí)點(diǎn)是以明示結(jié)論性形態(tài)傳授給學(xué)生的，在解題訓(xùn)練中形成技能。數(shù)學(xué)課堂改革的生活教學(xué)主要是溝通學(xué)校數(shù)學(xué)跟生活境脈的聯(lián)系，這是可取的嘗試。但是數(shù)學(xué)畢竟是一門(mén)抽象的科學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的去數(shù)學(xué)化是不可取的，培養(yǎng)學(xué)生抽象和建模能力，最好的路徑是數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)。所謂數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)就是注入一些數(shù)學(xué)發(fā)展史的故事和知識(shí)，讓學(xué)生從小能像數(shù)學(xué)家一樣認(rèn)識(shí)世界，像物理學(xué)家一樣思考問(wèn)題，樹(shù)立科學(xué)意識(shí)，抱著科學(xué)家的態(tài)度，探索未來(lái)世界。

自然數(shù)的計(jì)數(shù)法從幼兒園就開(kāi)始，但是學(xué)生到小學(xué)高年級(jí)并不清楚知道計(jì)數(shù)法有許多種，不會(huì)比較阿拉伯計(jì)數(shù)法和中國(guó)計(jì)數(shù)法、羅馬計(jì)數(shù)法有什么區(qū)別。中國(guó)計(jì)數(shù)法來(lái)自于籌碼，沒(méi)有數(shù)位的位值概念，在實(shí)物標(biāo)記層面操作。阿拉伯計(jì)數(shù)法有抽象的位值概念，所以成為全人類(lèi)的計(jì)數(shù)法主流模型。阿拉伯計(jì)數(shù)法發(fā)源于印度，由阿拉伯商人傳到歐洲，以后根據(jù)位值概念便產(chǎn)生二進(jìn)位、八進(jìn)位等其他進(jìn)位的方法。二進(jìn)位制是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)語(yǔ)言，在“字母表示數(shù)”的一章節(jié)，要浸潤(rùn)數(shù)的文化，讓學(xué)生深度理解多位數(shù)展開(kāi)式的意義：? ? ? ? ? ?=a×10m-1+b×10m-2+c×10m-3+……+k×100。

三、歸納與演繹——學(xué)一點(diǎn)邏輯學(xué)

歸納推理指從信息或觀察中推斷出未知的概念或原理。演繹推理指運(yùn)用概念和原理推測(cè)具體信息或情境的結(jié)論。兩種推理過(guò)程是相向的，且都帶有猜想、論證、檢驗(yàn)、調(diào)整的過(guò)程。歸納與演繹的推理過(guò)程是否正確指這個(gè)過(guò)程是否符合邏輯學(xué)的一般原理。小學(xué)數(shù)學(xué)雖然不出現(xiàn)邏輯的概念，但是要把數(shù)學(xué)思想方法適當(dāng)?shù)卣f(shuō)出來(lái)，讓學(xué)生的思維軌跡在準(zhǔn)確的邏輯起點(diǎn)上發(fā)展。例如在學(xué)習(xí)小數(shù)意義時(shí)，一般教師是用元、角、分直接指向方式來(lái)引入的，2.56元就是2元5角6分，1角是1/10元，故寫(xiě)成0.5元，1分就是1/100元，故寫(xiě)成0.06元，把2元5角6分以元作單位合起來(lái)就是2.56元。那么2.567千克是什么意思呢？2千克567克。這樣的認(rèn)知就缺乏一種邏輯關(guān)系，學(xué)生只能死記硬背了。所以灌輸教學(xué)最大的弊病就是把思維的結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生，缺乏一種歸納與演繹的思維推理過(guò)程，讓學(xué)生從“理解”異化成“機(jī)械性記憶”。小數(shù)意義的直接指向方式來(lái)源于數(shù)學(xué)的生活化和情境化，但教師教學(xué)的方式要注意數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)。

學(xué)生在小學(xué)階段的歸納推理與演繹推理主要用句法模型呈現(xiàn)，也就是多解題的討論和證明題的說(shuō)理。小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中動(dòng)手做題目的訓(xùn)練多，說(shuō)明自己的思路和解題過(guò)程的少，到中學(xué)在幾何證明題教學(xué)，代數(shù)不定方程討論的學(xué)習(xí)中就出現(xiàn)了問(wèn)題：一是不能準(zhǔn)確使用“因?yàn)椤浴本湫?，“因?yàn)椤焙竺媸窍嚓P(guān)條件，“所以”后面是得出的結(jié)果，要么條件不相關(guān)，要么結(jié)論不正確，主要是歸納與演繹的能力較弱;二是不會(huì)使用“? ?”推導(dǎo)符號(hào)，對(duì)符號(hào)感的理解度較低;三是缺乏對(duì)變量的定義域或值域的認(rèn)識(shí)。小學(xué)（尤其是高年級(jí)學(xué)生）要讓學(xué)生學(xué)會(huì)討論，學(xué)會(huì)發(fā)表自己的觀點(diǎn)，使隱性推理過(guò)程顯性化。加強(qiáng)認(rèn)知過(guò)程的邏輯關(guān)聯(lián)，使推理更加有深度。

接以上小數(shù)直接指向引入方式的案例討論，可不可以換一種學(xué)習(xí)思路呢？2.56元是多少元、多少角、多少分呢？從結(jié)論倒置提問(wèn)，因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生對(duì)于2元5角6分的認(rèn)知是沒(méi)有障礙的，那么你能說(shuō)一說(shuō)理由嗎？1角是1元的1/10，小數(shù)點(diǎn)后第一位表示個(gè)位的1/10，所以0.5元就是5角。依此類(lèi)推0.06元就是6分。能否給小數(shù)點(diǎn)后面第一位一個(gè)名稱(chēng)呢？因?yàn)槭莻€(gè)位的1/10位值，所以取十分位比較好，那么第二位當(dāng)然是百分位了，第三位可以是千分位，表示個(gè)位的1/1000……任意n位就是個(gè)位的1/10n，永遠(yuǎn)可以無(wú)窮小。如果每個(gè)學(xué)生在直接指向后有深度思維展開(kāi)，那么對(duì)于2.567千克問(wèn)題的解答，還會(huì)有什么難度呢？

小學(xué)數(shù)學(xué)是每一個(gè)現(xiàn)代全人培養(yǎng)的基礎(chǔ)學(xué)科，許多小學(xué)問(wèn)題都包含著深刻的大道理。每個(gè)學(xué)科都有每個(gè)學(xué)科的核心素養(yǎng)，小學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能之外，還包含思維方式、情感態(tài)度和學(xué)習(xí)方法。傳統(tǒng)的“雙基”并沒(méi)錯(cuò)，只是不夠完整?！八幕钡目蚣苁窃凇半p基”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。知識(shí)、技能、情感三維度構(gòu)成一個(gè)立方體，方法和過(guò)程的實(shí)踐活動(dòng)是這個(gè)立方體的充填物。當(dāng)前課堂教學(xué)改革的焦點(diǎn)應(yīng)該集中在數(shù)學(xué)思想方法的浸潤(rùn)上，關(guān)注隱性思維過(guò)程的顯性化研究，提升學(xué)生的有效性學(xué)習(xí)水平，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)功能。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劍橋?qū)W習(xí)科學(xué)手冊(cè)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2010.

[2]鐘啟泉.課程的邏輯[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.

[3]張奠宙.數(shù)學(xué)教育的“中國(guó)道路”[M].上海：上海教育出版社，2017.

[4]張奠宙等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018.