“重心”“形心”考

摘 要：“重心”和“形心”是兩個(gè)科學(xué)術(shù)語(yǔ)。它們的出現(xiàn)比較早，前者出現(xiàn)于1623年的《職方外紀(jì)》，后者出現(xiàn)于1627年的《奇器圖說(shuō)》。兩個(gè)詞都來(lái)自拉丁語(yǔ)，分別是centrum gravitatis和centro figure（或geometrica centrum）的仿譯?！爸匦摹焙髞?lái)還傳到了日本。但“形心”一詞，在《奇器圖說(shuō)》之后的300多年時(shí)間里，一直沒(méi)有人使用。后來(lái)在1935年的一本數(shù)學(xué)名詞匯編中再次出現(xiàn)，但它是《奇器圖說(shuō)》中的那個(gè)詞的沿用，還是后來(lái)另行創(chuàng)造的，現(xiàn)在還不能確定。

關(guān)鍵詞：重心;形心;質(zhì)心

中圖分類號(hào)：O4;N04文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2020.03.013

Abstract：“Zhongxin”（center of gravity ）and “xingxin”（center of figure） are two Chinese terms in science. The former appeared in Giulio Alenio's Zhifang waiji（The World Geography，1623），and the latter appeared in Johann Schreck's Qiqi tushuo（Description of Mechanical Instruments，1627）.Both words are from Latin， which are the loan-translations of centrum gravitatis and centro figure（or geometrica centrum）. The word “zhongxin” was later passed to Japan. However， the term “xingxin” has not been used for more than 300 years after the Qiqi tushuo. Later we saw this word again in a vocabulary of mathematical terms in 1935. However， it is not certain whether it is the use of the word in Qiqi tushuo， or it was later coined separately.

Keywords：center of gravity，center of figure，centroid，center of mass

收稿日期：2019-11-13

作者簡(jiǎn)介：黃河清（1958—），男，香港中國(guó)語(yǔ)文學(xué)會(huì)研究員，香港《語(yǔ)文建設(shè)通訊》編委，主要研究近現(xiàn)代漢語(yǔ)中受外來(lái)文化影響而產(chǎn)生的詞語(yǔ)。通信方式：huang.1958000@163.com。

“重心”和“形心”是自然科學(xué)中的兩個(gè)術(shù)語(yǔ)。關(guān)于這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)是如何產(chǎn)生和演變的，很少見(jiàn)有人討論。本文試圖在這方面做一些探索。

我們先來(lái)說(shuō)“重心”?！爸匦摹边@詞有好幾個(gè)意義，大家先想到的往往是它的力學(xué)意義，即物體各部分所受重力的合力的作用點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)英語(yǔ)叫center of gravity。本文的討論就打算從這里入手。

早在4000多年前，中國(guó)古人在制作編磬時(shí)就知道重心的存在。懸掛編磬有個(gè)孔洞，叫作“懸孔”?？脊湃藛T發(fā)現(xiàn)，商周時(shí)期磬的懸孔位置基本上是統(tǒng)一的。他們沒(méi)有在磬的重心位置鉆孔，而是將孔位選擇在重心旁邊，靠近倨句偏股部一側(cè)，即折彎偏后部的位置[1] 302， 因?yàn)檫@樣懸掛起來(lái)的磬發(fā)音最為清脆響亮。這是古人在長(zhǎng)期的演奏實(shí)踐中得出的經(jīng)驗(yàn)。這里我們看到，古人選擇這個(gè)孔位時(shí)，是在重心旁邊尋找，也就是說(shuō)，必須先確定磬的重心位置，然后再選擇孔位。而磬的形狀如同日語(yǔ)假名“ヘ”，是不規(guī)則的，要確定重心的位置比較困難，但考古人員發(fā)現(xiàn)，商周時(shí)期的磬，其懸孔都在重心附近，可能當(dāng)時(shí)已有了確定磬的重心位置的一些技術(shù)。雖然我們不知道這些技術(shù)的具體內(nèi)容，但是可以肯定地說(shuō)，當(dāng)時(shí)的人們對(duì)物體的重心是有認(rèn)知的。至于我國(guó)古人對(duì)重心有沒(méi)有進(jìn)行過(guò)論述，以及有關(guān)重心有沒(méi)有專門(mén)的名稱，對(duì)于這些問(wèn)題筆者做過(guò)探究，但一直沒(méi)有結(jié)果。

在西方，一般認(rèn)為，希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德（Archimedes，約前287—前212）是最早研究重心的人，他首次提出了重心的概念[2]，還在希臘語(yǔ)中首次使用了有關(guān)重心的名稱，如κντρον τον βρεο等[3]。阿基米德對(duì)一些幾何體的重心有過(guò)許多研究，他說(shuō)：任意平行四邊形的重心位于連接對(duì)邊中點(diǎn)的直線上;他又說(shuō)：在任意三角形中，重心位于任意一角到對(duì)邊中點(diǎn)連接的直線上[4]。后來(lái)一些科學(xué)家在阿基米德的基礎(chǔ)上又對(duì)重心理論進(jìn)行了發(fā)展，他們?nèi)缗疗账梗≒appus of Alexandria，290—350）、馬若利科（Francesco Maurolico，1494—1575）、科曼迪諾（Federico Commandino，1509—1575）、烏巴爾迪（Guido Ubaldi，1545—1607），等等[2]。

大約在明末清初，西方的這種重心概念傳入中國(guó)，“重心”這詞也是在這個(gè)時(shí)期產(chǎn)生的。1623年，意大利耶穌會(huì)士艾儒略（Giulio Alenio，1582—1649）撰有《職方外紀(jì)》一書(shū)。這是一本介紹世界地理的著作。該書(shū)的第五卷是海洋專論，在描述海的形狀時(shí)說(shuō)[5]：

地心最為重濁，水附于地，到處就其重心，故地形圓而水勢(shì)亦圓。

句中出現(xiàn)了“重心”，這個(gè)“重心”就是指center of gravity。艾儒略的意思是：地是圍繞重心的，地上處處被重心吸引，所以地就圓了，而“水附于地”，那海洋也就圓了?！爸匦摹痹凇堵毞酵饧o(jì)》中只出現(xiàn)了一次，但這一次意義很重大，因?yàn)榫凸P者看來(lái)它應(yīng)該是漢語(yǔ)文獻(xiàn)中有關(guān)“重心”（center of gravity）這詞的始見(jiàn)例證①。筆者做過(guò)調(diào)查，在《職方外紀(jì)》之前一些傳教士的漢語(yǔ)著述中還沒(méi)有見(jiàn)到過(guò)這個(gè)詞，利瑪竇（Matteo Ricci，1552—1610）、熊三拔（Sabatino de Ursis，1575—1620）以及金尼閣（Nicolas Trigault，1577—1628）等人也沒(méi)有使用過(guò)這個(gè)詞。至于“重心”這詞艾儒略是怎么創(chuàng)制的，我想它應(yīng)該是拉丁語(yǔ)centrum gravitatis的仿譯②。centrum gravitatis是當(dāng)時(shí)歐洲力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等著作中很重要的一個(gè)拉丁術(shù)語(yǔ)，伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）在他的著述中就經(jīng)常使用，例如他在Theoremata Circa Centrum Gravitatis Solidorum（《論固體重心的原理》）一文的題目中就使用了這個(gè)術(shù)語(yǔ)[6-7]。而centrum gravitatis則來(lái)自希臘語(yǔ)κντρο βρου 或 κντρον τον βρεο。

艾儒略雖然創(chuàng)制了“重心”這詞，但他沒(méi)有對(duì)該詞做出解釋，更沒(méi)有介紹有關(guān)重心的知識(shí)。這很可能是因?yàn)椤堵毞酵饧o(jì)》是一本地理著作，介紹這方面的知識(shí)顯然超出了該書(shū)范圍。不過(guò)，僅僅過(guò)了4年，即1627年，《遠(yuǎn)西奇器圖說(shuō)錄最》（以下簡(jiǎn)稱《奇器圖說(shuō)》）在這方面有了新的發(fā)展。《奇器圖說(shuō)》為日耳曼傳教士鄧玉函（Johann Schreck，1576—1630）口授、中國(guó)學(xué)者王徵筆受的一部譯著，主要介紹西方的機(jī)械及其原理。書(shū)中還首次向中國(guó)讀者介紹了西方力學(xué)知識(shí)，如杠桿原理、浮體體積的計(jì)算等，其中還有物體重心知識(shí)的介紹。該書(shū)卷一“重解”是力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的介紹，這里就有關(guān)于重心的論述。例如，該卷第八款說(shuō)：“假如有重于此兩邊重相等，則重心必在其中無(wú)疑也。每重但有一重心?！盵8]20頁(yè)陰面第十二款還說(shuō)：“假如從甲角至乙丙對(duì)線作一直線，于丁分兩平分，必定甲丁之內(nèi)有重心也。乙至戊亦然?！边@就是上文提到過(guò)的阿基米德關(guān)于任意三角形重心位置的確定方法。不過(guò)，需要注意的是，鄧玉函他們?cè)凇镀嫫鲌D說(shuō)》中使用的“重心”，已與艾儒略的有所不同。它常常是既可指力學(xué)上的重心（center of gravity），又可指幾何意義上的三角形的重心（center of figure）。所謂三角形的重心，就是三角形三條中線相交的那個(gè)點(diǎn)。這里舉一個(gè)比較典型的例子，即該書(shū)卷一第十四款[8]23頁(yè)陽(yáng)面：

有三角形，各分兩分，起線各至角為一直線，相遇十字交處便是重心。

這里的“重心”就是指三角形的重心，三角形的重心也叫形心（center of figure）。很顯然，這個(gè)例證與艾儒略的不一樣，艾儒略使用的“重心”，是力學(xué)意義上的，其實(shí)是指地球的質(zhì)心（center of mass）。所以，《奇器圖說(shuō)》中的這個(gè)句子我們可以看作“重心”的幾何義的例證，這樣的例子在當(dāng)時(shí)還是第一次出現(xiàn)③。

由此可見(jiàn)，艾儒略的“重心”到了《奇器圖說(shuō)》，意義擴(kuò)展了。原來(lái)只是力學(xué)上的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，指物體各部分所受重力的合力的作用點(diǎn)，現(xiàn)在還可以是幾何學(xué)上的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，例如可以指三角形三條中線相交的那一點(diǎn)，即形心。“重心”這個(gè)意義也來(lái)自拉丁語(yǔ)centrum gravitatis，因?yàn)閏entrum gravitatis既具有力學(xué)義，也具有幾何義。

當(dāng)然，在上述這個(gè)例子中，如果三角形是塊薄鐵板，形狀規(guī)則、密度均勻，那么這塊鐵板的幾何重心（形心），也就是該鐵板的力學(xué)重心（質(zhì)心），即形心和質(zhì)心重合。這重合的點(diǎn)就相當(dāng)于英語(yǔ)中所說(shuō)的centroid④。這樣的情形，《奇器圖說(shuō)》也提到過(guò)。該書(shū)卷一第十三款有兩句話[8]22頁(yè)陰面：

有三角形其重心與形心同所。假如上三角形甲為形心，亦為重心。

在這兩句話中，就說(shuō)到了形心這一概念，并指出形心與重心（質(zhì)心）有時(shí)會(huì)重合。（重合的點(diǎn)就是centroid。）形心是指平面或立體圖形的幾何中心。《奇器圖說(shuō)》當(dāng)時(shí)也已經(jīng)這樣解釋了，其卷一第六款說(shuō)[8]20頁(yè)陰面：

重之體必定自有點(diǎn)線面形。內(nèi)有容，外有限，曰形。其中點(diǎn)為形心?！斡卸阂幻嫘?，一體形。

由此可見(jiàn)，上述《奇器圖說(shuō)》卷一第十四款中所提到的那個(gè)三角形的重心，其實(shí)也是這個(gè)三角形的形心。這就是“三角形其重心（質(zhì)心）與形心同所”的例子。當(dāng)然這句話也意味著形心和質(zhì)心是兩種不同的概念，只不過(guò)在某種條件下它們會(huì)重合。在西方，最早將形心和質(zhì)心加以區(qū)分的是日耳曼自然科學(xué)家阿爾貝特（Albert Of Saxony，1316—1390）[9]。西方在14世紀(jì)已經(jīng)有人注意到了這種區(qū)分。當(dāng)然將這種區(qū)分介紹到中國(guó)晚了一點(diǎn)，我們?cè)凇镀嫫鲌D說(shuō)》中才了解到形心和質(zhì)心這兩種概念。不過(guò)，對(duì)于一個(gè)詞源考證者來(lái)說(shuō)，我對(duì)《奇器圖說(shuō)》中的“形心”一詞最感興趣。該書(shū)“形心”一詞一共出現(xiàn)了7次。這個(gè)“形心”可能是拉丁語(yǔ)centro figure或geometrica centrum的仿譯詞（前者的原義是“圖形中心”，后者的原義是“幾何中心”），而且這樣的術(shù)語(yǔ)在當(dāng)時(shí)的漢語(yǔ)文獻(xiàn)中還是第一次出現(xiàn)。利瑪竇在《幾何原本》（1607）中稱形心為“中心”或“心”，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有“形心”這一名稱[10]。

現(xiàn)在再回到“重心”的討論。“重心”這詞到了《奇器圖說(shuō)》雖然已具有了兩個(gè)意義，但其幾何義的傳播在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)似乎處于停滯狀態(tài)，筆者查閱了《奇器圖說(shuō)》之后的很多文獻(xiàn)，均未見(jiàn)此詞，大家用的還是“重心”的力學(xué)義。例如南懷仁（Ferdinand Verbiest，1623—1688）的《坤輿圖說(shuō)》（1674）和《新制靈臺(tái)儀象志》（1674），在這兩部著作中雖然多次用到“重心”，但都是力學(xué)義的，如：

《坤輿圖說(shuō)》卷上：“物重者，各有體之重心，此重心在重體之中。”[11]

《新制靈臺(tái)儀象志》卷之一：“蓋儀形之中心，與其重心不同?！盵12]660

我們沒(méi)有見(jiàn)到幾何義的用法。

不過(guò)，我們?cè)凇缎轮旗`臺(tái)儀象志》中還是有了新的發(fā)現(xiàn)：該書(shū)給重心下過(guò)定義。在該書(shū)卷之二“新儀之重心向地之中心”條中說(shuō)：“凡有重體之論，必以其重心為主。所謂重心者，即重物內(nèi)之一點(diǎn)，而其上下左右兩重彼此相等也。”[12]686 就現(xiàn)在看來(lái)，這個(gè)定義雖然不是很嚴(yán)謹(jǐn)，但它還是反映了“重心”的基本意義。

傳教士介紹的這些重心知識(shí)引起了當(dāng)時(shí)中國(guó)學(xué)者的興趣。梅文鼎（1631—1721）不僅對(duì)《奇器圖說(shuō)》中“任意三角形的重心在其中線的交點(diǎn)上”這一定理進(jìn)行了證明，而且還對(duì)任意四邊形的重心位置進(jìn)行了研究[1]302。到了19世紀(jì)初，更有學(xué)者將重心理論應(yīng)用到實(shí)踐中。例如程瑤田（1725—1814）和汪萊（1768—1813）將重心理論與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，計(jì)算了磬的重心[1]303。我們看到，程、汪在著述中沿用了耶穌會(huì)士使用的“重心”一詞。如程瑤田《考工創(chuàng)物小記》（1803）：“股鼓同積等重，平分處為重心。”[13] 后來(lái)在1844年左右，另一位算學(xué)學(xué)者鄒伯奇（1819—1869）寫(xiě)了《磬求重心術(shù)》和《求重心說(shuō)》，這兩篇文章的題目就用到了“重心”[1]335。

又過(guò)了10余年，來(lái)華新教傳教士翻譯了幾本力學(xué)著作，這使得西方力學(xué)知識(shí)在我國(guó)的傳播進(jìn)入了一個(gè)新的階段。這一時(shí)期的傳播其知識(shí)更加廣泛，更加深入。當(dāng)時(shí)有兩本譯著值得一提，一本是偉烈亞力（Alexander Wylie，1815—1887）和王韜翻譯的《重學(xué)淺說(shuō)》（1858），一本是艾約瑟（Joseph Edkins，1823—1905）和李善蘭翻譯的《重學(xué)》（1859）。兩本書(shū)的出版只相隔一年，它們和程瑤田等人的著述一樣，繼續(xù)沿用耶穌會(huì)士創(chuàng)制的“重心”這詞。例如：

《重學(xué)淺說(shuō)·桿》：“桿之兩邊相等，點(diǎn)恰當(dāng)重心，故兩邊相定?！盵14]⑤

《重學(xué)》卷五：“無(wú)論一體、合體，必有重心?！盵15]1頁(yè)陽(yáng)面⑥

這兩本書(shū)后來(lái)都傳到了日本[16]。特別是《重學(xué)》在日本的影響比較大，因?yàn)樵摃?shū)比較系統(tǒng)地介紹了當(dāng)時(shí)西方的力學(xué)知識(shí)。書(shū)中對(duì)重心也有專門(mén)的論述。在卷五“論重心”中，詳細(xì)介紹了求解重心的各種幾何方法。而“重心”這個(gè)詞也很可能是此后在日本出現(xiàn)的。據(jù)日本學(xué)者考證，1875年，在福沢諭吉（1834—1901）的《文明論之概略》中開(kāi)始見(jiàn)有這個(gè)詞了[17]。但是，在日本還有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，“重心”出現(xiàn)于《奇器圖說(shuō)》。后來(lái)這本書(shū)在江戶時(shí)期傳入日本，當(dāng)時(shí)大多數(shù)蘭學(xué)學(xué)者都讀過(guò)這本書(shū)?！爸匦摹笔沁@個(gè)時(shí)期從中國(guó)傳入日本的[17]。不過(guò)，持這種說(shuō)法的學(xué)者未能提供有關(guān)“重心”這詞在當(dāng)時(shí)日語(yǔ)文獻(xiàn)中的例證。

綜上所述，“重心”和“形心”這兩個(gè)詞都源自西方語(yǔ)言。其中“重心”這個(gè)詞后來(lái)還傳到了日本。日語(yǔ)中的“重心”和漢語(yǔ)一樣，也具有力學(xué)義和幾何義⑦。但是，“形心”這個(gè)詞有點(diǎn)特別。因?yàn)椤镀嫫鲌D說(shuō)》中的這個(gè)“形心”，后來(lái)在很長(zhǎng)時(shí)間里沒(méi)有人使用。當(dāng)時(shí)學(xué)者用的是別的詞，例如《御制數(shù)理精蘊(yùn)》（1712—1722）用的是“中心”這詞[18]。艾約瑟和李善蘭在《重學(xué)》中用的是“心”“中點(diǎn)”和“心點(diǎn)”等詞[15]4頁(yè)陽(yáng)面-陰面，其中“心點(diǎn)”用得最多。例如[15]4頁(yè)陽(yáng)面-陰面：

假如有三角面，求重心在何點(diǎn)？如圖甲乙丙三角面，平分甲乙于己，亦平分甲丙于庚，作己丙庚乙二對(duì)角線相交于心點(diǎn)，心點(diǎn)即重心。

所以，“形心”這個(gè)詞在《奇器圖說(shuō)》之后幾乎沉寂了。我們找不出它被延續(xù)使用的軌跡。那么，學(xué)者們是不知道《奇器圖說(shuō)》中已有現(xiàn)成的“形心”可以使用，還是覺(jué)得這個(gè)詞不合適，所以要用別的詞，甚至“另起爐灶”，創(chuàng)制新詞（如“心點(diǎn)”）？這到底是什么原因，我們還不清楚。不過(guò)，令人驚奇的是，300多年后，“形心”這個(gè)詞又突然出現(xiàn)了，它重現(xiàn)于數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。例如當(dāng)時(shí)國(guó)立編譯館編訂的《數(shù)學(xué)名詞》（1935）中有這樣一個(gè)詞條[19] ⑧：Centroid，形心。

前面之所以說(shuō)這個(gè)“形心”是突然出現(xiàn)的，因?yàn)榇饲埃ǖ健镀嫫鲌D說(shuō)》為止）一直未能見(jiàn)到“形心”這詞，即便在六七年前的一些英漢詞典中，centroid還不譯“形心”，而譯“重心”[20-21]。那么，《數(shù)學(xué)名詞》中的這個(gè)“形心”是從哪里來(lái)的，是《奇器圖說(shuō)》中那個(gè)“形心”的沿用？這個(gè)問(wèn)題不好回答。當(dāng)然，它有可能是《奇器圖說(shuō)》中的那個(gè)“形心”的沿用，但也有可能是后來(lái)的學(xué)者另行創(chuàng)造的，只不過(guò)與《奇器圖說(shuō)》剛好巧合，因?yàn)檫@種情況在詞語(yǔ)創(chuàng)制中也不是個(gè)例。然而，到底是怎么一回事，我們還不好下結(jié)論，還需要繼續(xù)研究。需要一提的是，“形心”現(xiàn)在已被全國(guó)科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)定為規(guī)范術(shù)語(yǔ)，并作為英語(yǔ)centroid和centroid of area的對(duì)應(yīng)詞，應(yīng)用于數(shù)學(xué)、力學(xué)、建筑學(xué)、土木工程、地理信息系統(tǒng)等領(lǐng)域[22]。

注釋

① 《漢語(yǔ)大詞典》在“重心”條下提供的例證取自1920年代的文獻(xiàn)（見(jiàn)該詞典第10卷第374頁(yè)），這顯然太晚了。

② 《職方外紀(jì)》中的這個(gè)“重心”與英語(yǔ)中的center of gravity應(yīng)該沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)閏enter of gravity是在“重心”出現(xiàn)之后10年，即1633年才產(chǎn)生，見(jiàn)Merriam-webster.center of gravity[DB/OL].（2019-05-16）[2019-05-16].https：//www.merriam-webster.com/dictionary/center%20of%20gravity。

③ 《漢語(yǔ)大詞典》在“重心”條下幾何義項(xiàng)中沒(méi)有提供書(shū)證，也就是說(shuō)，沒(méi)有詞源信息，見(jiàn)該詞典第10卷第374頁(yè)。

④ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary（Tenth Edition）對(duì)centroid的解釋分列兩個(gè)義項(xiàng)：1： center of mass. （質(zhì)心） 2： a point whose coordinate are the averages of the corresponding coordinates of a given set of points and which for a given planar or three-dimensional figure （as a triangle or sphere） corresponds to the center of mass of a thin plate of uniform thickness and consistency or a body of uniform consistency having the same boundary.[平面或三維圖形（如三角形或球體）中的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是已知點(diǎn)集相應(yīng)坐標(biāo)的平均值。這時(shí)這個(gè)點(diǎn)也是同樣大小的平面或三維物體的質(zhì)心，其中平面物體是一塊厚薄和密度都均勻的薄平板，三維物體也是密度均勻的。]當(dāng)centroid指第1義項(xiàng)時(shí)，可翻譯成“質(zhì)心”;指第2義項(xiàng)時(shí)既可翻譯成“形心”，也可翻譯成“質(zhì)心”，應(yīng)視具體情況而定。陸谷孫的《英漢大詞典》就是這樣翻譯的，見(jiàn)陸谷孫主編《英漢大詞典》（上海譯文出版社，1993年）第279頁(yè)。順此也分析一下centroid的結(jié)構(gòu)。該詞是由centro和-id構(gòu)成，前者是中心的意思，后者是形容詞后綴，centroid的本義是指“中心的”。知道了這樣的詞語(yǔ)結(jié)構(gòu)以后，我們對(duì)centroid的理解就會(huì)更深一些。

⑤ 該書(shū)前半部分寫(xiě)成后先是登載在《六合叢談》，幾個(gè)月后全書(shū)完成，再由墨海書(shū)館刊行單行本。

⑥ 沿用“重心”雖是當(dāng)時(shí)的趨勢(shì)，但也有例外。例如楊勛就另辟蹊徑，創(chuàng)造別的詞語(yǔ)，他在《增廣英字指南》（1879）中將center of gravity譯成了“中勁”（見(jiàn)該書(shū)卷四第4頁(yè)）。但這成了翻譯上的一個(gè)錯(cuò)誤。楊勛在該條的下面將central forces翻譯成了“中力”，這個(gè)翻譯基本正確，可是center of gravity的結(jié)構(gòu)和central forces不同，后者的翻譯方法不能套用到前者。

⑦ “重心”這個(gè)詞后來(lái)又增加了一個(gè)意義，它可指事情的中心或主要部分，而且漢語(yǔ)和日語(yǔ)均如此。漢語(yǔ)這個(gè)意義的出現(xiàn)據(jù)說(shuō)最早是在孫中山的著作中，見(jiàn)《漢語(yǔ)大詞典》第10卷第374頁(yè)。日語(yǔ)比漢語(yǔ)晚一些，它出現(xiàn)于1936年，見(jiàn)[17]。不過(guò)，“重心”的這個(gè)意義，不屬術(shù)語(yǔ)范圍，本文不討論。

⑧ 但是從注釋④來(lái)看，將centroid只譯作“形心”是不完整的，應(yīng)該說(shuō)明它同時(shí)還可以譯作“質(zhì)心”。

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