數(shù)學(xué)思維在高中剪紙課中的運(yùn)用

王玉姣 田文慧

【摘要】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說(shuō)：“美是和諧，整個(gè)天體是一種和諧，宇宙的和諧是由數(shù)組成的，因而構(gòu)成了整個(gè)宇宙的美?！雹僖磺忻澜钥衫斫鉃閿?shù)之美。剪紙與數(shù)學(xué)這兩個(gè)看似風(fēng)馬牛不相及的科目其實(shí)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。剪紙的形式美感包括的對(duì)稱與均衡、秩序與韻律、對(duì)比與統(tǒng)一等，這些都可以理解為“關(guān)系與數(shù)”。如果將數(shù)學(xué)思維融入剪紙課程，一方面可以使學(xué)生更加輕松地掌握剪紙的方法與特點(diǎn)；另一方面也可以利用學(xué)科的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)鍛煉他們的思維能力、空間想象力與動(dòng)手能力。

【關(guān)鍵詞】剪紙；團(tuán)花；對(duì)稱；分形

【中圖分類號(hào)】G633.955 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

剪紙是歷史悠久并深受廣大人民喜愛(ài)的一種民間藝術(shù)?，F(xiàn)存最早的剪紙作品可追溯刀1500年前的南北朝時(shí)期，在那時(shí)剪紙就達(dá)到了相當(dāng)高的水平。在民間，逢婚娶和新年，人們都會(huì)在墻壁、門楣、家具上張貼剪紙，它可以起到烘托喜慶氣氛的裝飾效果。近年來(lái)，隨著我們對(duì)即將失傳的民間技藝高度重視，2009年剪紙被列入“世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”名錄。為了能讓這些即將失傳的技藝代代傳承，包括剪紙?jiān)趦?nèi)的一批非遺項(xiàng)目走進(jìn)中小學(xué)課堂。在高中如何開(kāi)好剪紙課，讓高中生喜愛(ài)這項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)，是值得思考的問(wèn)題。剪紙?jiān)诩t與白的對(duì)比中展現(xiàn)獨(dú)特的形式美感，包括有對(duì)比與統(tǒng)一、秩序與韻律、對(duì)稱與均衡等。而這些都和數(shù)學(xué)有著內(nèi)在的聯(lián)系。教師在教授剪紙時(shí)，可利用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)與思維進(jìn)行引導(dǎo)，從而達(dá)到事半功倍的效果。

一、團(tuán)花折紙的函數(shù)思維

團(tuán)花是一種古老的圖案，它的歷史由來(lái)已久。這種圖案外形為圓形或者花瓣形，骨架為“米”字形，即呈中心放射狀。圖案由一個(gè)或者多個(gè)圖形元素組合而成。團(tuán)花剪紙因象征了團(tuán)圓吉祥被廣泛運(yùn)用于剪紙、織染、漆器、建筑裝飾等領(lǐng)域。目前發(fā)現(xiàn)的最早的團(tuán)花剪紙是南北朝時(shí)期的《團(tuán)花》與《對(duì)馬》。這兩件作品也是保留下來(lái)的最早的剪紙。

團(tuán)花剪紙是多角折疊的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，最常見(jiàn)的有對(duì)折、四折、八折、十六折。這類對(duì)稱剪紙最簡(jiǎn)單的制作方式是折剪，也就是先折后剪。而折紙的次數(shù)與展開(kāi)后折痕（對(duì)稱軸）的數(shù)量有函數(shù)的關(guān)系。這個(gè)知識(shí)學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)《對(duì)稱軸》一節(jié)時(shí)有所涉獵，但是他們并沒(méi)有親自總結(jié)規(guī)律與函數(shù)公式?！坝煤瘮?shù)來(lái)思考”是數(shù)學(xué)家萊克因的一句名言，如果學(xué)生能通發(fā)現(xiàn)過(guò)折紙次數(shù)與對(duì)稱軸條數(shù)兩個(gè)變量間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，對(duì)他們臨習(xí)和創(chuàng)作團(tuán)花剪紙以及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)都是大有裨益的。讓學(xué)生以自主探究或者小組合作探究的方式，親自折一折、數(shù)一數(shù)，并記錄下兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)，學(xué)生就會(huì)得到如下一組數(shù)據(jù)：

這樣，學(xué)生就可以根據(jù)已知的一個(gè)變量，求得另一個(gè)變量，剪團(tuán)花也就變得更加容易。

二、巧用對(duì)稱講剪紙

萬(wàn)物皆數(shù)，在大自然中，和諧無(wú)處不在，美也無(wú)處不在，數(shù)也無(wú)處不在。比如，向日葵花種子從中心向外延伸的螺旋數(shù)量，構(gòu)成了斐波那契數(shù)列；蜜蜂筑起的蜂巢是正六邊形；人和動(dòng)物的對(duì)稱性結(jié)構(gòu)……這些都是大自然的神奇魔力所造就的，在這些神奇的魔力中，最被我們熟悉的便是對(duì)稱。我們的祖先早在新石器時(shí)代就開(kāi)始在作為實(shí)用器皿的陶器上追求對(duì)稱的美感。對(duì)稱給我們一種和諧、舒適的心理感受及充滿韻律的視覺(jué)體驗(yàn)，被廣泛運(yùn)用于建筑、工藝品制作、剪紙、織染之中。

在剪紙中，對(duì)稱形成了極具裝飾性的形式美。剪紙中都有哪些類型的對(duì)稱？它們都各自有哪些特點(diǎn)？這些對(duì)稱形該如何剪出來(lái)？如果引導(dǎo)學(xué)生理解了這些問(wèn)題，他們創(chuàng)作的圖形就會(huì)更加豐富。

赫爾曼·外爾在《對(duì)稱》一書(shū)中將對(duì)稱歸為以下幾類：雙側(cè)對(duì)稱性、平移對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性、裝飾對(duì)稱性、晶體對(duì)稱性。②高中學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)對(duì)“對(duì)稱”有了一定的了解，在這一部分的講授過(guò)程中，可以充分利用學(xué)生已有的知識(shí)，適時(shí)提出一些新的名詞概念，從而達(dá)到“知新”的效果。

（一）雙側(cè)對(duì)稱剪紙

高中學(xué)生最為熟悉的對(duì)稱是軸對(duì)稱，即雙側(cè)對(duì)稱性。剪紙中的對(duì)折剪紙、十字對(duì)折剪紙以及一些對(duì)角剪紙都屬于這種。

這類剪紙有比較清晰的對(duì)稱軸，并且圖案沿對(duì)稱軸重合。所以其制作方法為先找出對(duì)稱軸，再進(jìn)行折剪。關(guān)于折幾次可得到想要的圖案，我們?cè)谏衔囊呀?jīng)進(jìn)行了介紹。可遵循由易到難的教學(xué)原則，先讓學(xué)生嘗試對(duì)折、對(duì)角，讓他們嘗試多角折剪（團(tuán)花）。多角折減是難點(diǎn)所在，學(xué)生往往感覺(jué)難點(diǎn)在于他們不知道剪完展開(kāi)之后會(huì)是一個(gè)什么圖案，所以多半只能進(jìn)行偶然性的創(chuàng)作。多角折剪需要構(gòu)思想象想要的圖案如何在已經(jīng)折好的紙上剪出來(lái)。對(duì)熟練的剪紙藝人來(lái)說(shuō)或許是心到手到，但對(duì)于剛接觸剪紙的高中生來(lái)說(shuō)，他們需要對(duì)此進(jìn)行思考和想象。這個(gè)問(wèn)題的解決也需要數(shù)學(xué)思維。

首先，引導(dǎo)學(xué)生找出設(shè)計(jì)好的團(tuán)花圖案的所有對(duì)稱軸，并標(biāo)出來(lái)。對(duì)稱軸即是折痕，兩側(cè)對(duì)稱軸之間的圖案就是要剪的圖案。通過(guò)實(shí)踐學(xué)生能得出的結(jié)論為：剪團(tuán)花圖案首先找出設(shè)計(jì)好的圖案的對(duì)稱軸，通過(guò)對(duì)稱軸的數(shù)量判斷折紙次數(shù)；然后在兩側(cè)折痕的中間部分畫(huà)出兩條對(duì)稱軸中間的圖案。這樣，剪完展開(kāi)便是想要的圖案了。其原理是對(duì)稱軸兩側(cè)的圖案能完全重合。

（二）平移、翻轉(zhuǎn)對(duì)稱與連續(xù)紋樣

二方連續(xù)紋樣是以一個(gè)或者多個(gè)單位紋樣為單元，沿水平或者垂直兩個(gè)方向重復(fù)的紋樣，這種帶狀的紋樣稱為二方連續(xù)紋樣。在新石器時(shí)代的陶器上這種紋樣早已出現(xiàn)，在剪紙中，連續(xù)紋樣也是一種常見(jiàn)的圖案形式。

連續(xù)紋樣是單元紋樣的有規(guī)律排列，依據(jù)單元紋樣的特點(diǎn)，二方連續(xù)紋樣剪紙包括兩類：一類是單元紋樣呈對(duì)稱性，也就是相鄰單元紋樣對(duì)稱，單元紋樣本身也是對(duì)稱形。這類剪紙剪時(shí)需要找出兩個(gè)對(duì)稱軸，即單元紋樣之間的對(duì)稱軸和單元紋樣的對(duì)稱軸，先后兩次折疊后剪出；還有一類，是單元紋樣非雙側(cè)對(duì)稱性剪紙，這類紋樣雖然不是雙側(cè)對(duì)稱，但是如果將紋樣平移或者翻轉(zhuǎn)便能重合。學(xué)生在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移、翻轉(zhuǎn)的幾何知識(shí)。對(duì)于這個(gè)特點(diǎn)，可讓學(xué)生用幾何中平移與翻轉(zhuǎn)思維對(duì)紋樣進(jìn)行理解。這樣，他們便能夠更加清晰地總結(jié)出紋樣的特點(diǎn)。

三、分形幾何與剪紙圖案的形式美

二十世紀(jì)七十年代，曼德布羅特在其《大自然界中的分形幾何》一書(shū)中引入了“分形”這一概念③。自此，“分形”風(fēng)靡全球并持續(xù)溫度不減。分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、空間等方面具有相似性，即是指局部與整體成比例縮小的關(guān)系。分形理論能解釋大自然的很多規(guī)律，比如大自然中蕨類植物的葉子的形態(tài)、雪花的形態(tài)等。正如伽利略所言：“數(shù)理科學(xué)是大自然的語(yǔ)言”。

在剪紙以及民間織染工藝中，有分形幾何特征的裝飾圖案也經(jīng)常出現(xiàn)。關(guān)于分形，學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)中題目中會(huì)有所涉獵，所以對(duì)于比如謝賓斯基三角形或者科赫曲線他們并不感到陌生。教師可利用分形幾何的特征引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類圖案的特征與美感。

這類圖案的特征便是“自相似性”，即整體與局部是相似形，有規(guī)律的相似圖案展現(xiàn)出了極強(qiáng)的秩序感和韻律美。秩序感是形式美法則之一，秩序產(chǎn)生于重復(fù)，變化可以讓簡(jiǎn)單的畫(huà)面呈現(xiàn)出豐富之美。貢布里希說(shuō)：“審美快感來(lái)自對(duì)某種介于單調(diào)和復(fù)雜之間的圖案的觀賞，簡(jiǎn)單重復(fù)的圖案難以吸引人的注意力，但過(guò)于雜亂的圖形則會(huì)使我們的知覺(jué)產(chǎn)生疲勞而影響并終止對(duì)它的欣賞?！雹茉诙S圖案里，有三維的視覺(jué)幻象，能夠增強(qiáng)觀者的視覺(jué)記憶，增加美的感受。所以，剪紙是美的，數(shù)學(xué)是美的，大自然也是美的。

在具有分形幾何特點(diǎn)的剪紙紋樣教學(xué)中，教師可以充分發(fā)揮學(xué)科的綜合性，促進(jìn)學(xué)生感性和理性思維的全面提升，并且要擅用已知拓展未知，從而起到“跳一跳，摘顆桃”的效果。

四、結(jié)語(yǔ)

本文以數(shù)學(xué)思維融入高中剪紙課為思路，分別闡釋團(tuán)花折疊與函數(shù)思維、對(duì)稱與剪紙以及分形幾何與剪紙圖案。理性與感性是思維的雙翼，藝術(shù)與科學(xué)密不可分。高中階段是學(xué)生抽象思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，也是學(xué)生獨(dú)立思考能力發(fā)展形成的重要時(shí)期。將數(shù)學(xué)的思維融入剪紙的教學(xué)，可以打破因?qū)W科獨(dú)立而產(chǎn)生的思想壁壘，讓知識(shí)有效的遷移，從而在學(xué)生的剪紙學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生意想不到的效果。

注釋：

①[法]萊昂·羅斑.希臘思想和科學(xué)精神的起源[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2003.

②赫爾曼·外爾.對(duì)稱[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002：1.

③[波]伯努瓦·B.曼德布羅特.自然界中的分形幾何學(xué)[M].上海：上海遠(yuǎn)東出版社，1998.

④貢布里希.秩序感—裝飾藝術(shù)的心理學(xué)研究[M].長(zhǎng)沙：湖南技術(shù)科學(xué)出版社，1999：14.

作者簡(jiǎn)介：王玉姣（1989-），女，漢族，山東聊城人，碩士研究生，研究方向：美術(shù)教育；田文慧（1987-），女，漢族，山東聊城人，本科學(xué)歷，研究方向：美術(shù)教育。