循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的駐留時(shí)間分布函數(shù)研究*

吳亞珍 孫中奎

1) (運(yùn)城學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 運(yùn)城 044000)

2) (西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 西安 710072)

(2019 年11 月14日收到; 2020 年3 月31日收到修改稿)

提出了一種循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)駐留時(shí)間分布函數(shù)的理論計(jì)算方法. 利用具有分段逃逸速率的兩態(tài)模型理論， 建立分段逃逸速率方程， 分段地推導(dǎo)出了駐留時(shí)間分布函數(shù)的解析表達(dá)式. 在此基礎(chǔ)上，從理論和數(shù)值模擬兩方面闡明了在非對(duì)稱性及循環(huán)噪聲的影響下駐留時(shí)間分布函數(shù)呈現(xiàn)出反饋結(jié)構(gòu). 研究結(jié)果表明: 當(dāng)非對(duì)稱性、循環(huán)噪聲的相關(guān)強(qiáng)度及循環(huán)滯后時(shí)間取適當(dāng)值時(shí)均會(huì)造成駐留時(shí)間分布函數(shù)呈現(xiàn)出分段指數(shù)衰減現(xiàn)象且在循環(huán)滯后時(shí)間處出現(xiàn)驟然下降的趨勢(shì). 隨著非對(duì)稱性的減小， 駐留時(shí)間分布函數(shù)指數(shù)衰減的速率加快并出現(xiàn)單調(diào)指數(shù)衰減現(xiàn)象. 分別增大相關(guān)強(qiáng)度和循環(huán)滯后時(shí)間， 駐留時(shí)間分布函數(shù)在循環(huán)滯后時(shí)間處驟然下降的間距變小. 此外， 駐留時(shí)間分布函數(shù)在循環(huán)滯后時(shí)間處的值會(huì)隨著噪聲強(qiáng)度和相關(guān)強(qiáng)度的改變出現(xiàn)極大值， 說明系統(tǒng)發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象.

1 引 言

在非線性系統(tǒng)中， 增加適量的噪聲不但不會(huì)降低輸入信號(hào)的周期性輸出， 反而在一定程度上增加了系統(tǒng)的輸出信噪比， 即輸入信號(hào)與噪聲之間產(chǎn)生了協(xié)同效應(yīng)， 這就是經(jīng)典的“隨機(jī)共振”[1，2]現(xiàn)象. 隨機(jī)共振的提出讓人們不再認(rèn)為噪聲只有負(fù)面影響，相反， 噪聲在自然界中也是可以發(fā)揮積極作用的.隨后， 人們對(duì)隨機(jī)共振及相關(guān)問題展開了研究并提出了量化隨機(jī)共振現(xiàn)象的度量指標(biāo)， 如信噪比[3-6]、線性響應(yīng)[7-9]、駐留時(shí)間分布函數(shù)[10-16]等.這些度量指標(biāo)作為與噪聲相關(guān)的函數(shù)， 隨著噪聲強(qiáng)度的改變， 若出現(xiàn)極大值則說明發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象. 然而， 已有實(shí)驗(yàn)證明， 當(dāng)把噪聲注入到系統(tǒng)中時(shí)， 通過不同渠道的耦合噪聲會(huì)發(fā)生分裂且分裂成多個(gè)含有時(shí)滯項(xiàng)的同源噪聲， 此類噪聲被稱為循環(huán)噪聲[17，18]. 用表示該噪聲， 考慮最簡(jiǎn)單的情形，可表示為

隨著循環(huán)噪聲的發(fā)現(xiàn)和興起， 循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注， 并取得了重大研究成果[19-29]， 如誘導(dǎo)隨機(jī)同步[19]、控制相干共振[20]、增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性[22]、誘導(dǎo)隨機(jī)分岔[28]等. 特別地， Sun 等[23，24]建立了循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩態(tài)模型理論并研究了該系統(tǒng)的共振動(dòng)力學(xué)行為. 隨后， 將該系統(tǒng)推廣到了循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)的時(shí)滯雙穩(wěn)系統(tǒng)上， 研究結(jié)果表明循環(huán)噪聲能夠調(diào)制時(shí)滯雙穩(wěn)系統(tǒng)的共振動(dòng)力學(xué)行為[25].文獻(xiàn)[23-25]以對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)展開研究， 探討了循環(huán)噪聲對(duì)信噪比、線性響應(yīng)及駐留時(shí)間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響. 然而， 在許多實(shí)際的物理系統(tǒng)中對(duì)稱性是難以保證的， 非對(duì)稱系統(tǒng)更為普遍和具有實(shí)用價(jià)值， 因此研究非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的共振動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象應(yīng)用前景更為廣闊. 而如何計(jì)算循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱性雙穩(wěn)系統(tǒng)的駐留時(shí)間分布函數(shù)以及非對(duì)稱性對(duì)該系統(tǒng)駐留時(shí)間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響目前還未被涉及.

鑒于此， 本文以循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)為研究對(duì)象， 運(yùn)用兩態(tài)模型理論推導(dǎo)出逃逸速率和駐留時(shí)間分布函數(shù)的解析表達(dá)式， 并基于此分析非對(duì)稱性及循環(huán)噪聲對(duì)駐留時(shí)間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響. 本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第二部分給出研究系統(tǒng)并推導(dǎo)出該系統(tǒng)逃逸速率的解析表達(dá)式; 第三部分基于逃逸速率方程推導(dǎo)出駐留時(shí)間分布函數(shù)的解析表達(dá)式; 第四部分討論不同參數(shù)對(duì)駐留時(shí)間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響; 第五部分總結(jié)全文.

2 模型及逃逸速率

考慮循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下的非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)， 模型可用如下朗之萬方程表示:

當(dāng)非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)只含主噪聲項(xiàng)(即無噪聲循環(huán)項(xiàng))時(shí)， 可簡(jiǎn)化為的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn). 記表示處在左右勢(shì)阱的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，為系統(tǒng)的不穩(wěn)定點(diǎn)， 則有

根據(jù)克拉默法則可得由主噪聲引起的粒子逃出左右勢(shì)阱內(nèi)的逃逸速率為

3 駐留時(shí)間分布函數(shù)

為便于討論， 僅考慮計(jì)算粒子在右勢(shì)阱的駐留時(shí)間分布函數(shù). 由于粒子的逃逸速率具有分段的解析式， 因此可以推導(dǎo)出駐留時(shí)間分布函數(shù)的遞歸表達(dá)式. 對(duì)于，(19)式的解為

將(22)式代入(20)式可得粒子逃出右勢(shì)阱的逃逸時(shí)間分布函數(shù)的遞歸表達(dá)式為

其中Z是歸一化常數(shù)且滿足

4 駐留時(shí)間分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析

由于非對(duì)稱性的引入， 使得系統(tǒng)左右勢(shì)阱差發(fā)生了改變， 且循環(huán)噪聲又具有特殊的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)， 因此對(duì)粒子的躍遷行為會(huì)產(chǎn)生一定的影響. 為進(jìn)一步探討在非對(duì)稱性及循環(huán)噪聲影響下駐留時(shí)間分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)， 針對(duì)不同參數(shù)分別從理論和數(shù)值兩方面進(jìn)行分析.

4.1 非對(duì)稱性 的影響

圖 1 駐留時(shí)間分布函數(shù)隨非對(duì)稱性 的變化(實(shí)線是從(25)式中得到的理論結(jié)果， 圈線表示數(shù)值模擬結(jié)果，且 ) (a) ; (b) ;(c) γ = —0.07Fig. 1. Variation of residence-times distribution function(RTDF) with the asymmetry (the solid line denotes the theoretical results obtained from Eq. (25)， and the circle line represents the numerical simulation results)， where: (a) ; (b) ; (c) γ =—0.07.

圖 2 勢(shì)阱圖 (a) ; (b)Fig. 2. Potential well of : (a) ; (b) γ =—0.07.

4.2 相關(guān)強(qiáng)度的影響

圖 3 分別作為噪聲強(qiáng)度D、循環(huán)滯后時(shí)間 和相關(guān)強(qiáng)度 的函數(shù)隨非對(duì)稱性 的變化() (a) ε = 0.2， τ = 50; (b) D = 0.1， ε = 0.2;(c) D = 0.1， τ = 50Fig. 3. Variation of which is a function of noise intensity D， relative strength and recycling lag respectively with the asymmetry ( ):(a) ; (b) ; (c) D = 0.1，τ = 50.

4.3 循環(huán)滯后時(shí)間 的影響

圖 4 駐留時(shí)間分布函數(shù)隨相關(guān)強(qiáng)度 的變化(實(shí)線是從(25)式中得到的理論結(jié)果， 圈線表示數(shù)值模擬結(jié)果， 且) (a) ; (b) ;(c)Fig. 4. Variation of the RTDF with the relative strength ε (the solid line denotes the theoretical results obtained from Eq. (25)， and the circle represents the numerical simulation results)， where : (a) ;(b) ; (c) .

為進(jìn)一步研究循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的共振行為， 采用駐留時(shí)間分布函數(shù)在處的值進(jìn)行具體分析. 如圖6所示， 隨著噪聲強(qiáng)度D和相關(guān)強(qiáng)度的改變，出現(xiàn)了極大值，這說明了在循環(huán)噪聲的作用下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖 5 駐留時(shí)間分布函數(shù)隨循環(huán)滯后時(shí)間 的變化(實(shí)線是從(25)式中得到的理論結(jié)果， 圈線表示數(shù)值模擬結(jié)果，且 ) (a) ; (b) ;(c)Fig. 5. Variation of the RTDF with the recycling lag(the solid line denotes the theoretical results obtained from Eq. (25)， and the circle represents the numerical simulation results)， where : (a) ;(b) ; (c) .

圖 6 隨 D 和 的 變 化 ， 其 中 ，，F(xiàn)ig. 6. Variation of with D and ， where， ， .

5 結(jié) 論

本文主要研究了循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)駐留時(shí)間分布函數(shù)的計(jì)算方法， 數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性. 利用具有分段逃逸速率的兩態(tài)模型理論， 推導(dǎo)出了駐留時(shí)間分布函數(shù)的分段解析式. 基于此， 分別從理論和數(shù)值模擬的角度分析了不同參數(shù)對(duì)駐留時(shí)間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響， 著重說明了在非對(duì)稱性的影響下駐留時(shí)間分布函數(shù)產(chǎn)生的反饋結(jié)構(gòu): 當(dāng)且取適當(dāng)值時(shí)，駐留時(shí)間分布函數(shù)呈現(xiàn)出分段指數(shù)衰減現(xiàn)象， 且當(dāng)時(shí)， 表現(xiàn)出明顯的間斷現(xiàn)象; 當(dāng)時(shí)， 駐留時(shí)間分布函數(shù)在處的間斷性幾乎消失且指數(shù)衰減速率加快， 呈現(xiàn)出單調(diào)衰減現(xiàn)象. 以駐留時(shí)間分布函數(shù)在處的值進(jìn)行具體分析， 進(jìn)一步說明隨著非對(duì)稱性的減小， 駐留時(shí)間分布函數(shù)的衰減速度加快. 此外， 駐留時(shí)間分布函數(shù)在處的值隨著噪聲強(qiáng)度和相關(guān)強(qiáng)度的改變出現(xiàn)極大值， 說明在非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中， 循環(huán)噪聲能夠誘導(dǎo)隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生. 本文研究方法考慮了系統(tǒng)的非對(duì)稱性， 更具有實(shí)用價(jià)值， 該方法可用于計(jì)算循環(huán)噪聲驅(qū)動(dòng)下時(shí)滯非對(duì)稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的駐留時(shí)間分布函數(shù).