清末中學幾何教科書中“勾股定理”的演變研究

張冬莉，代 欽

清末中學幾何教科書中“勾股定理”的演變研究

張冬莉，代 欽

（內蒙古師范大學 科學技術史研究院，內蒙古 呼和浩特 010022）

1904年《奏定學堂章程》頒布實施以后，中國中學數學教科書的編寫得到了前所未有的發(fā)展．清末時期翻譯的中學數學教科書中勾股定理內容的設置，在證明方法上主要采用面積處理法和直接引入法，其內容的特點主要有3個方面：（1）證明思想方法“執(zhí)果索因”與“由因導果”并重；（2）以歐幾里得證法的作圖為基礎演變出多種幾何圖形；（3）注重介紹勾股定理的變式與拓展，即三角形分別為直角、鈍角、銳角的3種不同情況時，在各邊上做正方形其面積之間的關系．其發(fā)展歷程對當今中學數學教科書的編寫有以下啟示：證明方法應多元化，體現證明的靈活性；重視知識的應用與拓展，加強啟發(fā)性和探究性．

清末；中學數學教科書；勾股定理

1 時代背景

勾股定理的內容即直角三角形三邊之間的度量關系，始終是幾何教育中重要的內容之一，無論是在東方還是西方，數學和數學教育發(fā)展都扮演著重要的角色．在歐幾里得《幾何原本》公理系統(tǒng)建立之后，其中第47個命題給出了對勾股定理的證明．徐光啟曾贊揚《幾何原本》中邏輯推理的嚴謹性，試圖用這樣的思想解決中國古代數學的問題．在中國，從公元前一世紀的《周髀算經》開始，直到西方近代數學的傳入之前，勾股定理在中國也是重要的內容．自明清之際，西學輸入，國人繼起研究整數勾股形的學者頗多，在清末，翻譯的大量適用于普通教育的中學數學教科書中都有關于勾股定理的介紹．

清末時期，是一個新舊交替的過渡時代，即舊的已經被動搖但還沒有被淘汰，新的已經開始但還沒有形成．清末中學數學教科書亦如此，無論是其內容、形式還是思想等方面都呈現了這種特征．在1904年以前，沒有一套完整的、能夠供應小學和中學水平的、學生使用的數學教科書，所以不得不在西方引進教科書，清末頒布的《欽定中學堂章程》（1902年）和《奏定中學堂章程》（1904年）也十分關注教科書的引進．國人逐漸認識到教科書的重要性：“欲使一國之教育日有進步，在多設學校，欲使教育有成效之可睹，在辦理學校者之熱心，而辦理學校者所挾之利器，即教科書是矣．故興辦教育欲收取普及之效，必借有用之教科書．”[1]之前使用的教科書已經不能滿足新時代的要求，因此編纂一套適應當時中國國情的教科書迫在眉睫．自1904—1912年，關于幾何教學要求簡明扼要，基本延續(xù)了1904年《奏定中學堂章程》提出的要求：“其講幾何，須詳于理論，使得應用于測量求積等法．”[2]由此可見，對于學習幾何中定理的要求必須懂得其論理，培養(yǎng)學生的邏輯思維．

這時，商務印書館聘請一些學識淵博的具有新思想的學者開始進行翻譯和編寫教科書的工作．在這種體認下，顧澄、黃際遇、黃元吉等依據癸卯學制，從1903年12月開始積極翻譯和編撰教科書，使中學數學教科書邁入新的發(fā)展階段．

第一本“最新教科書”于1904年2月開始出版．由于每種、每門、每冊書上都有“最新教科書”5個字，所以稱“最新教科書”．該教科書的編纂者都倡導新式教育，他們中的成員有的辦過新式學校，有的翻譯過大量的西學書籍，還有的具有留學背景．編纂者新政思想的貫徹，使得該套教科書成為最適合當時中國國情的成功之作．正如鄭鶴聲所指出：“商務印書館編輯之最新教科書，實開我國學校用書之最新記錄．”[1]這些翻譯數學教科書者，他們并不一定限制在數學教育領域．不僅有顧澄、黃際遇、崔朝慶等數學家，還有一些非數學家的人員也參與到數學教科書建設中來，做出了重要貢獻．如謝洪賚、丁福保不是數學家，但也編譯編寫數學教科書．這可能是當時他們認識到數學在整個教育中的重要性．

2 教科書案例

在清末初建學堂之時，數學教育制度的制定及數學教科書的編寫等均為十分緊迫的問題，在中國一籌莫展之際，通過各種途徑借鑒和學習了日本和西方數學教育的經驗和教訓，并且積極翻譯西方數學教科書，努力縮小中國數學教育與日本、西方數學教育水平的差距．由表1可知，這一時期以翻譯日本和西方教科書為主，這些教科書的翻譯在清末民初是刻不容緩的．勾股定理內容設置的幾何教科書有多種，呈現出多元化趨勢．教科書之間雖然有些差別，但是教科書中勾股定理內容的編寫理念、內容設置及相關的特點之間差異甚?。?/p>

2.1 編寫理念及編排形式

清末是中國傳統(tǒng)文化和西方現代文化碰撞和交融的大變革時期，也是中國傳統(tǒng)數學教育走向近代化的轉型時期[3]．因此這一時期數學教育的特點和以往的數學教育有顯著差異．清末國人的數學教育思想、制度等方面的特點具體也反映在教科書的建設上，可以概括為數學教科書宏觀特點和教科書編寫的微觀特點．

表1 清末中學幾何教科書概況（部分）

清末數學教科書中勾股定理內容主要以定理的描述、定理的證明方法以及變式或拓展、習題等順序進行編排．但是教科書中的編排形式各不相同．清末謝洪賚、周達等學者翻譯的《最新中學教科書幾何》就是典型例子，采用中國傳統(tǒng)的文章從右至左的豎排形式編寫．而且他把原著中的印度阿拉伯數字和加減符號以外的數學符號，全部用中國傳統(tǒng)數學符號甲乙丙丁代替，頁碼均用中國大寫數字表示，幾何圖形的頂點、端點等不用A、B、C等字母而用漢字（如圖1）．

圖1 最新中學教科書

又如長澤龜之助著，崔朝慶譯的《中等平面幾何學階梯》，譯者是文字介紹部分采用豎排形式，而數學表達式部分采用豎排和橫排的混合編排形式，同時采用西方數學符號．清末出版的數學教科書也有橫排編寫的，而采用的數學符號仍然是中國傳統(tǒng)的數學符號．如楊清貴翻譯日本原濱吉著的《最新平面幾何教科書》（1905）就是其中一個代表（如圖2）．

圖2 《中等平面幾何學階梯》與《最新平面幾何教科書》

清末有些數學教科書也有完全采用西方數學教科書的編排形式及數學符號．特別是在日本出版的數學教科書，如長澤龜之助著，周達翻譯的《新幾何學教科書（平面）》．日本數學家菊池大麓著，仇毅翻譯的《中學校數學教科書幾何之部》（如圖3）．除此之外，黃元吉等學者也強調按西方數學教科書形式編寫的重要性，在此不再一一贅述．

圖3 《新幾何學教科書平面》與《中學校數學教科書 幾何之部》

總之，教科書中問題皆以圖，證明并用記號，置軌跡于作圖題之內，使學者知其應用．書中的標題都黑體加粗，以省目力．排版有秩，適合閱讀．在教科書的最后有商務印書館出版的其它書目的廣告等．

在此引用《新幾何學教科書平面》“例言”說明其編輯理念：

本書為中等教育程度合于中學校師范學校教科之用其編制之大旨為揭之如次：

1. 別學科之聯絡．2. 著重應用．3. 論理學之術語不侵占正文．4. 用器畫之聯絡．5. 比例理之簡明．6. 注釋歷史．7. 定理之一覽表．8. 問題之選擇問題最為精審．9. 補習問題．10. 代數學與幾何學解法之比較．11. 重用記號．12. 紙幅酌留空白．

在例言中，編譯者明確提到該書的使用范圍．即該書適用于中學教授，該套教科書力求別學科之聯絡，雖專論幾何，但時而以算數代數兩科印證，互較之必有路路皆通，頭頭是道之樂；重視應用；增其趣味；幾何學與用器畫有密切的關系，這也是該書獨特所在，比如作圖時，已知線用細線表示，所添加的輔助線用斷續(xù)線來表示，所求的用粗線表示，這樣，就可以知道作圖的先后順序，通過用器畫一舉兩得；重視歷史，對讀者不僅有益且增長趣味，其歷史內容則是參考英國希臘算學史以及法國人編寫的幾何學等；書中重用記號，與其口講不如指畫，與其文字解說不如以記號證明，簡潔而清晰；每節(jié)的后面或者一小節(jié)結束的地方，都留一些空白的地方，學生可將讀書的感悟或題目的解答過程寫在紙尾，防止遺忘．該書之卷末附載定理一覽表以便引用時檢查．

2.2 清末中學數學教科書中勾股定理內容設置的形式及其特點

基于1902—1912年，清末中學數學教科書以翻譯日本為主，歐美次之，國人自編處于起步階段，故所選研究對象分為兩類，即譯自日本和譯自歐美教科書．選取當時中學校使用較多的具有代表性的幾何教科書進行詳細研究，具體如表1所示．根據幾何教科書中勾股定理內容的呈現方式，總結出定理證明的特點．

2.2.1 勾股定理內容設置的形式

（1）等面積處理法．

采用面積處理方法的核心就是使用演繹證明的分析法，即從命題的結論開始分析，一直追溯到已知的真命題．這種方法具有兩大特征，一是構圖方式，二是對圖形進行必要的分割，將斜邊上正方形分成兩個矩形，通過證明四邊形面積等于和其等底等高的三角形的面積的二倍．得到它們分別與兩個直角邊上正方形的面積相等，從而獲得定理證明．這種把斜邊上正方形分成兩個矩形的思想對后人也有較大的影響．

例1[4]，如圖4，為直角三角形，為其斜邊．則上之正方形等于上之正方形與上之正方形之和．即正方形=+．

圖4 例1

證明 自直角之頂點引垂線于斜邊．而延長之與正方形之一邊交于點．此引、．則兩三角形、，邊=（正方形之邊），邊=（正方形之邊），角=角∠（角+直角），故此兩三角形全相等，從而三角形=．然矩形與三角形共有底邊．而高亦相等．故矩形=2三角形，同理，矩形=2三角形．故矩形=正方形，同理，矩形=正方形．故，正方形=．

系 表直角三角形之斜邊之數等于表它二邊之數之平方和．

例如表直角三角形之斜邊之數為，表它二邊、之數各為、，則2+2=2．何則，2為表上正方形之面積之數．2、2為表、上正方形之面積之數．故也．

該例題是歐幾里得證法的原型．對于作圖題目，將軌跡（輔助線）于作圖題之內，是教科書中的特色之一．輔助線的做法可以歸納為兩種方法：一是過一點作某條已知直線的垂線，另一種是過一點作某條已知直線的平行線．例1就是采用第一種作輔助線的方法，自直角之頂點引垂線于斜邊．而延長之與正方形之一邊交于點．對于第二種作輔助線的方法，如例2．

圖5 例2

對于面積的處理方法，教科書中有給出以三角形的一條邊向內作正方形的證法．

例3[5]，如圖6，于甲乙丙三角形中．命甲為直角．乙丙戊丁，甲乙庚己，甲丙辛壬為各邊上之正方形．次將甲丁，庚丙連結．則甲乙等于乙庚．乙丁等于乙丙．甲乙丁角等于丙乙庚角．故甲乙丁，丙乙庚兩三角形全相等．次使癸甲予平行于乙丁，則乙癸矩形等于甲乙丁三角形之二倍．又乙己正方形等于丙乙庚三角形之二倍．故乙癸矩形等于乙己正方形．

圖6 例3

依同理丙癸矩形等于甲丙戊三角形之二倍．即等于乙丙辛三角形之二倍．亦即等于丙壬正方形．而乙戊正方形為乙癸，丙癸二矩形之和．故等于乙己，丙壬二正方形之和也．【注：此定理最為緊要．】

也就是說以構造三角形作為傳遞的中介，以直角三角形的各邊向里作正方形，只要使得三角形也滿足“同時和兩個圖形共底等高”即可．該證明的圖形，在E. S. Loomis撰寫的一書中第157個證明也有提到，是由一個美國人Richard Bell提供的證明方法[6]．他是將兩個圖形分解成對應全等的子圖塊，并為每組對應的圖塊進行相同的編號，從而得到兩個圖形面積相等的結論（如圖7）．

圖7 Richard Bell證明方法

另外一種面積的處理方法就是構造出一個五邊形，做一次面積減法，證明勾股定理，如例4．

圖8 例4

該圖與中國古代趙爽證明勾股定理時所用思想理念是一致的，但是證明過程完全不同．趙爽在為《周髀算經》作注時，采用圖形變換的方式證明勾股定理，其也屬于面積法的一種．主要通過構造兩個或多個全等直角三角形，把其中兩個全等三角形進行旋轉，將它們擺放在合適的位置，然后連接其中的一些頂點，得到一個新的圖形．使得新圖形的面積與原來圖形的面積相等．

（2）直接引入法．

所謂直接引入法就是在教科書設置中，并不是通過驗證的方法得到直角三角形斜邊上之正方形等于直角旁二邊上兩正方形之和．而是直接給出定理的描述或者是表示形式，然后試證之．

然為一道線且與平行．

圖9 例5證明

（此為辟塔果拉司氏【Pythagoras西歷紀元年前約580年生約501年死】之定理也，此定理在辟塔果拉司氏以前已為世人所知，特自辟氏始證明耳．此定理為幾何學中最要之理別示數個圖解如圖10所示，I圖為直角二等邊三角形乃特別之形也于鋪方磚之地上可以實驗古時因見此圖而觸悟乃使發(fā)明本定理者也．II圖指明自大正方形內減去1、2、3、4四個相等直角三角形則所余者為斜邊上之正方形又此4個直角三角形等于、，兩矩形去之則所余者又為夾直角兩邊上正方形也．III圖指明，

圖10 圖解

（3）推論（系）．

同樣在直角三角形內，根據直角三角形三邊的關系，在利用面積的轉換，從而得到新的結論．

系1[4]直三角形之一直角邊上之正方形，等于斜邊上之正方形與他邊上之正方形之差．

證明 于甲乙丙三角形中．命甲為直角．則“乙丙2=甲乙2+甲丙2”．故“甲乙2=乙丙2–甲丙2”．及“甲丙2=乙丙2–甲乙2”．

系2[5]自直三角形之直角點．向斜邊引垂線，則斜邊依此垂線分為二部分．其一部分與斜邊之積等于此一部分之鄰邊上之正方形．

系3[8]從直角三角形之頂點向斜邊引垂線，此垂線上之正方形等于底邊之二部分所包矩形．

圖11 推論

（4）三角形之間的關系（變式與拓展）[10]．

圖12 變式與拓展（一）

圖13 變式與拓展（二）

圖14 變式與拓展（三）

此等式之兩邊各加2，

自以上定理（i）（ii）（iii），可知三角形一邊上之正方形，視其對角為直角或鈍角或銳角，因而等于或大于或小于他二邊上正方形之和．

該定理的逆定理也是合理的，因而得下之系．

系 三角形之一角視其對邊上之正方形等于或大于或小于它二邊上正方形之和，因而為直角或鈍角或銳角也．

對于三角形之間的關系，還有如下定理（三角形中線定理）．

定理 三角形二邊上正方形之和等于半底邊上之正方形與自頂點至底邊中點所作直線上正方形之和之二倍．

圖15 定理證明

2.2.2 勾股定理證明內容的特點分析

（1）證明思想方法“執(zhí)果索因”與“由因導果”并重．

如果從題設的已知條件出發(fā)，運用一系列有關已確定的命題作為推理的依據，逐步推演而得到要證明的結論，這種證明方法為綜合法；反之，如果推理方向中由題斷到題設，論證中步步尋求使其成立的充分的條件或已經成立的事實，這種證明方法為分析法[10]．歐幾里得證法采用的就是分析法，執(zhí)果索因，用三角形共底等高面積相等的方法證明，從而得出結論．在清末幾何學教科書中，綜合法和分析法均有體現．由此可見，在翻譯教科書的過程中，展現了不同文化差異下的不同思維方式，皆是各自文明中思想傳統(tǒng)的直接體現．但值得一提的是，雖然清末時期有諸多新穎的數學知識自西方陸續(xù)傳入，但是也應該與本土原有的知識相結合．可是在翻譯幾何教科書中，基本上沒有介紹中國證明勾股定理的方法，忽略了中國原有的趙爽、劉徽的證明方法．中國自己的東西，很重要的部分反而被忽略，當時翻譯教科書的譯者也都是讀過《周髀算經》《九章算術》等，但是當時外國人簡介都進入到教科書中，但卻沒有對中國人的介紹．這些原本被重視的，反而被忽略．

（2）以歐幾里得證法作圖為基礎演變出多種幾何圖形．

清末時期的中學數學教科書中，對于勾股定理的證明主要選取作圖法．通常是以歐幾里得證法的作圖為基礎，以某條邊向里或者向外做正方形等演變出多種幾何圖形，用等積變換法證明定理．其次在圖中添加輔助線也是教科書的特點之一，大部分的輔助線作法可以歸納為3種情況：① 過一點作某條已知直線的垂線；② 過一點作某條已知直線的平行線；③ 以三角形的一條邊向外或者向內作正方形．但是在清末的幾何教科書中，對于拼圖法并沒有介紹，只有1906年本的《新幾何學教科書·平面》一本在腳注中，言簡意賅地說明古時發(fā)現定理的實驗法，同時又給出了兩幅插圖，用割截移補之法亦可證明該定理，并指出其它類此之圖尚多．

（3）注重介紹勾股定理的變式與拓展．

由勾股定理變式得到，在一般的三角形一邊上作正方形，視其對角為鈍角或銳角時，即大于或小于它二邊上正方形之和．在每一本教科書中都有對這部分內容的介紹．與清末時期中學數學教科書相比，中國現行中學數學教科書中不再介紹勾股定理的變式與擴展，只有設置勾股定理的逆定理相關內容，并用反證法予以證明．從這方面來講，清末時期所學的數學內容要比現在難度大．

3 啟示

20世紀初，歐洲掀起數學教育改革運動，在中學數學教育中英國數學家培利和德國數學家F·克萊因等人主張實施應用性、實驗性內容和函數思想．于是幾何內容被削弱，從那時起幾何證明內容在中學幾何教科書中逐漸減少．勾股定理的相關內容亦如此．但是由于歷史發(fā)展滯后的原因，中國沒有能夠融入到數學教育改革潮流，翻譯引進的中學幾何教科書均為歐美19世紀中葉后的教科書，即為他們傳統(tǒng)幾何教學內容，中國沒有與西方新的數學教育接軌．因此，清末數學教學內容基本為所謂的“陳舊的數學教學內容”中學幾何教科書中的勾股定理的證明、拓展和應用等都體現了這方面的特征，勾股定理的這些內容很好地實現了其歷史使命．

誠然，清末數學教科書中勾股定理的內容設置理念和方法對當前的中學數學教學仍然具有重要的借鑒作用．在數學教育改革中不能隨意地采取“二元論”的極端做法，亦不能無端地用過時論的態(tài)度去面對過去的歷史，而是用理性的態(tài)度對待歷史，從過去數學教育蘊含的內容中選其精華，合理地運用到當前的數學教育中是當務之急．在中國的一般做法是，新教科書開始使用后舊教科書立即銷聲匿跡．而在美國等發(fā)達國家并不是這樣，如，在美國過去50年、100年、150年的中小學數學教科書經常被重印出版，美國的廣大中小學數學教師可以參考這些過去的教科書進行自己的教學．這是中國學者應該借鑒的積極方面．

縱觀清末時期1902—1912年間的中學幾何教科書中勾股定理內容設置之變遷歷程，數學教育者們在新與舊、中與西的巨大鴻溝之間搭設起橋梁，將西方數學相關知識引進到中國．清末在幾何教科書中設置的勾股定理命名為畢達哥拉斯定理．在翻譯的中學幾何教科書中體現了教科書編譯者對西方數學文化完全接受的態(tài)度，各種教科書極為重視幾何證明的方法．在清末，關于勾股定理內容設置的部分，主要呈現方式按照定理的證明—推論—變式—拓展4個方面進行編排，大多數幾何教科書設置了定理的逆定理、推論、擴展和應用，結構完整，表述嚴謹．故在勾股定理章節(jié)編排設置上得到以下啟示．

3.1 證明方法應多元化 體現證明的靈活性

對于證明的選取，建議教科書在編寫上要多介紹勾股定理的幾個著名的證法及其有關的一些著名問題，使學生感受證明的靈活性，感受勾股定理的豐富文化內涵．清末教科書中定理證明的選擇和表述，多數采用歐幾里得分析法的證法，從命題結論開始構造正方形，執(zhí)果索因．該方法是純粹幾何圖形之間的關系，不直接涉及數量，證明極其嚴格，論述十分嚴謹，歐幾里得的證明方法的學習，對培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯思維能力具有重要的促進作用．但是對數學基礎一般的學生而言，學習和掌握歐幾里得的證明方法及其數學思想是難以達到的．雖然至今為止，證明方法已有五百多種，實際上，有很多的作圖方法都是由歐幾里得的作圖法得到啟示．

3.2 重視知識的應用與拓展 加強啟發(fā)性和探究性

勾股定理的逆定理是應用廣泛的定理之一．至今在建筑上，還用該方法“放線”，做直角三角形．幾何教科書中逆定理的設置，對培養(yǎng)學生逆向思維有重要意義．數學教育的目的之一是培養(yǎng)學生知識的拓展性和思維的開擴性品質．從這個意義上說，清末幾何教科書中的勾股定理拓展性內容的設置，滲透“以形證數，數形結合”的思想方法，蘊含著深刻意義．故在教科書編排中應加入更多的擴展內容，以探究形式學習數學知識的設計，更加突出學習數學的過程，加強了啟發(fā)性和探究性．

回顧清末時期翻譯幾何教科書的發(fā)展史，在“無選擇，唯以多為貴”的形勢下，滿足教師學生的需求是新學制教科書發(fā)展的基本起點．無論是在什么時期，教科書的編排都應著力于內容體系合理、嚴謹．總之，清末中學幾何教科書的建設與當時的社會背景、文化傳統(tǒng)、政治制度等有著千絲萬縷的關系．其發(fā)展的最大特征是以翻譯編譯為主，直接翻譯外國教科書或直接使用外文教科書，然后逐漸轉變?yōu)榫幾g數學教科書使其盡量符合中國的國情，最終實現自編教科書的歷史進程．毋庸置疑，過去的東西并不是過時的．一百多年前的教科書發(fā)展歷程，對當今課程改革也有借鑒作用．勾股定理不能只作為一個單純的定理進行學習，它的逆定理、推論和拓展等應用十分廣泛．目前，中國中學在編排勾股定理章節(jié)時，也只介紹勾股定理及其逆定理，相比較而言，均不如清末數學教科書內容豐富．

[1] 鄭鶴聲．三十年來中央政府對于編審教科圖書之檢討[J]．教育雜志，1935，25（7）：23．

[2] 課程教材研究所．20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001：205-206．

[3] 李春蘭．中西數學文化碰撞下的清末中學數學教科書[J]．內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013，26（4）：92-93．

[4] 生駒萬治．幾何學教科書[M]．東京：東亞公司，1908：137-138．

[5] 黃元吉．中學教科書平面幾何[M]．3版．北京：商務印書館，1913：111-112．

[6] LOOMIS E S. Pythagorean proposition [M]. 4th ed. ERIC, 1972: 189.

[7] 長澤龜之助．中等平面幾何學階梯[M]．崔朝慶，譯．上海：會文學社，1906：89-90．

[8] 長澤龜之助．新幾何學教科書·平面[M]．周達，譯．東京：東亞公司，1906：106-108．

[9] 林鶴一．幾何教科書[M]．上海：普及書局，1906：116-117．

[10] 謝洪賚．幾何學平面部[M]．北京：商務印書館，1906：23．

A Study of the Evolution of the Pythagorean Theorem in the Geometry Textbooks for Secondary Schools in the Late Qing Dynasty

ZHANG Dong-li, DAI Qin

(Institute for the History of Science and Technology, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China)

After the Guimao Educational System was implemented in 1904, the compilation of Chinese secondary school mathematics textbooks developed at unprecedented levels. Mathematics textbooks for secondary school in the late Qing Dynasty contained two proof methods for the Pythagorean Theorem: an area treatment and a direct proof. There are three main characteristics of the Pythagorean Theorem proofs in these textbooks: (1) Paying equal attention to the method of proof that begins with the givens and works toward the desired conclusion and the method of proof that begins with the conclusion and works backward toward the givens; (2) various geometric figures were used to base proofs; (3) introducing variations and extensions of the Pythagorean Theorem, that is, considering the relationship between the squares and their areas in the three different cases of right triangles, obtuse triangles, and acute triangles. With respect to the compilation of mathematics textbooks in middle school, this development process suggests that the method of proof should be diversified in order to reflect the flexibility of proof, that attention should be paid to the application and extension of knowledge, and that students’ enlightenment and inquiry should be fostered.

late Qing dynasty; mathematics textbook; secondary school; Pythagorean Theorem

G423.3

A

1004–9894（2020）03–0079–07

2020–03–06

2020年度內蒙古自治區(qū)高等學?？茖W研究項目——民國時期數理邏輯教科書研究（1920—1949）（NJSY20307）

張冬莉（1992—），女，內蒙古呼倫貝爾人，博士生，主要從事數學教育與數學史研究．代欽為本文

．

張冬莉，代欽．清末中學幾何教科書中“勾股定理”的演變研究[J]．數學教育學報，2020，29（3）：79-85．

[責任編校：周學智、陳漢君]