兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系研究

康 丹，張 利，蔡 術(shù)，劉江萍，陸梅怡，劉秋香

兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系研究

康 丹，張 利，蔡 術(shù)，劉江萍，陸梅怡，劉秋香

（湖南師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院 認(rèn)知與人類行為實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410081）

近似數(shù)量系統(tǒng)是兒童數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基礎(chǔ)．已有研究表明：近似數(shù)量系統(tǒng)可以預(yù)測(cè)兒童的數(shù)學(xué)能力；兩者關(guān)系的中介變量可能是執(zhí)行功能、視覺(jué)空間能力及基數(shù)概念等；近似數(shù)量表征能力可以通過(guò)訓(xùn)練得到改善．未來(lái)的研究還需要進(jìn)一步標(biāo)準(zhǔn)化兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的測(cè)量工具；借助認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)進(jìn)一步厘清近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力關(guān)系的內(nèi)在機(jī)制；提供更可靠的證據(jù)證明近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練的價(jià)值和長(zhǎng)期效應(yīng)．建議：要重視ANS精確性對(duì)兒童數(shù)學(xué)能力發(fā)展的價(jià)值；早期兒童的數(shù)學(xué)教育中可以滲透執(zhí)行功能、視覺(jué)空間能力等認(rèn)知能力的訓(xùn)練；借鑒或改進(jìn)已有的ANS訓(xùn)練范式，提升兒童的ANS精確性和數(shù)學(xué)能力．

近似數(shù)量系統(tǒng)；執(zhí)行功能；數(shù)學(xué)能力

兒童早期數(shù)學(xué)能力的發(fā)展與未來(lái)的社會(huì)地位和經(jīng)濟(jì)水平密切相關(guān)．?dāng)?shù)學(xué)能力的發(fā)展表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性，學(xué)前階段兒童的數(shù)感能預(yù)測(cè)小學(xué)一年級(jí)、三年級(jí)、五年級(jí)、八年級(jí)甚至高中的數(shù)學(xué)成績(jī)[1]．兒童數(shù)學(xué)能力在早期就表現(xiàn)出較大的個(gè)體差異，這種差異會(huì)一直延續(xù)到學(xué)齡期．造成這種個(gè)體差異的因素至少有兩個(gè)．一個(gè)是個(gè)體長(zhǎng)期接受正式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而獲得的經(jīng)驗(yàn)；另一個(gè)則是個(gè)體在接受正式數(shù)學(xué)教學(xué)前就具有的直觀的、非言語(yǔ)性的近似數(shù)感[2]，Halberda和Feigenson將其稱為近似數(shù)量系統(tǒng)（approximate number system，簡(jiǎn)稱ANS），包括非符號(hào)性的近似數(shù)量系統(tǒng)和符號(hào)性近似數(shù)量系統(tǒng)．它具有遺傳性和不精確性，是一種運(yùn)用近似數(shù)量的方式來(lái)表征數(shù)量的非言語(yǔ)能力．這種數(shù)感不僅跨越物種，而且在個(gè)體整個(gè)生命周期中都保持活躍．神經(jīng)科學(xué)研究表明，近似數(shù)量系統(tǒng)有其相應(yīng)的腦區(qū)定位，位于大腦頂內(nèi)溝（bilateral intraparietal sulcus，IPS）[3]．作為一種與生俱來(lái)的結(jié)構(gòu)，相較于一般認(rèn)知能力，近似數(shù)量系統(tǒng)更可能是兒童高級(jí)數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基礎(chǔ)．而且，近似數(shù)量表征的模塊和類別是理解數(shù)和數(shù)學(xué)認(rèn)知的來(lái)源的核心問(wèn)題．對(duì)近似數(shù)量系統(tǒng)進(jìn)行深入研究并分析其與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系，既可以進(jìn)一步解釋數(shù)學(xué)能力個(gè)體差異的緣由，也對(duì)研究人類數(shù)學(xué)能力發(fā)展的起源有重要的啟示．

研究主要分析以下幾個(gè)問(wèn)題：兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的表征與測(cè)量方式有哪些？?jī)和茢?shù)量系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力之間是否是線性關(guān)系？如果不是，它們之間的中介變量有哪些？對(duì)兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的訓(xùn)練方案有哪些？效果如何？

1 文獻(xiàn)檢索詞和檢索策略

以“近似數(shù)量系統(tǒng)”“數(shù)學(xué)能力”為主題詞，在中國(guó)知網(wǎng)資源總庫(kù)中進(jìn)行檢索，篩選了16篇較高質(zhì)量的論文．以相同的方法檢索萬(wàn)方數(shù)據(jù)庫(kù)，篩選出文獻(xiàn)12篇．從兩個(gè)中文數(shù)據(jù)庫(kù)篩選的文章大部分是重疊的．以英文關(guān)鍵詞“approximate number system”和“mathematical ability”為基本條件，限定發(fā)表時(shí)間為近20年，檢索Web of Science、PubMed、SpringerLink、ProQuest和 American Psychological Association等數(shù)據(jù)庫(kù)，共搜索出82篇．通過(guò)標(biāo)題和摘要進(jìn)一步選取符合研究主題的文獻(xiàn)，納入文獻(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)如下：以3~16歲學(xué)生為研究對(duì)象，涉及近似數(shù)量系統(tǒng)的表征、測(cè)量、訓(xùn)練、與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系的研究；具有代表性的文獻(xiàn)綜述和重要實(shí)證研究．最終確定49篇文獻(xiàn)．

2 ANS精確性的表征及測(cè)量

ANS的數(shù)量表征是在心理數(shù)字線（mental number line）上的一系列類似高斯調(diào)諧曲線，每個(gè)數(shù)量表征的標(biāo)準(zhǔn)差反映了“噪音”的大小，即與需表征的數(shù)量不相干的錯(cuò)誤信息[4]，如圖1所示．ANS以不精確的方式表征數(shù)字，其數(shù)值估計(jì)的不精確性隨著目標(biāo)數(shù)量的增加而增長(zhǎng)．但個(gè)體內(nèi)部表征的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)與數(shù)量不相關(guān)的錯(cuò)誤信息，也就是“噪音”[5]，噪音越大，錯(cuò)誤信息越多，該系統(tǒng)對(duì)數(shù)量的表征就越不精確．個(gè)體ANS噪音量通常用韋伯分?jǐn)?shù)（W）來(lái)表示，對(duì)數(shù)量的區(qū)分遵循韋伯定律（Weber’s law），即個(gè)體對(duì)數(shù)量的區(qū)分依賴于它們之間的比率，而不是它們之間的絕對(duì)差異．韋伯分?jǐn)?shù)等于兩個(gè)數(shù)字之間的差除以較小的數(shù)字[6]．若兩個(gè)數(shù)的數(shù)量比率越大，則判斷反應(yīng)時(shí)越短，正確率越高；若比率相等，數(shù)量值越大則反應(yīng)時(shí)越長(zhǎng)，正確率越低，這就是數(shù)大小效應(yīng)和數(shù)距離效應(yīng)[7]．因此，有的研究將數(shù)大小和數(shù)距離效應(yīng)作為判斷ANS精確性的依據(jù)．

對(duì)兒童和成年人進(jìn)行ANS測(cè)量的方式主要有3種：符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)、非符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)和近似加法比較任務(wù)．符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)與非符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)的測(cè)查程序相同，都是在電腦上呈現(xiàn)視覺(jué)刺激，前者是兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，后者則是兩個(gè)點(diǎn)陣，讓被試判斷出數(shù)字或點(diǎn)集合較大/多的組．近似加法比較任務(wù)對(duì)于低齡兒童難度較大，該任務(wù)先呈現(xiàn)一個(gè)集合，隨后該集合隱藏在一個(gè)容器中（如箱子），緊接著第二個(gè)集合也隱藏于這個(gè)容器中，最后呈現(xiàn)的第三個(gè)集合隱藏在第二個(gè)容器中．要求被試判斷兩個(gè)容器中哪個(gè)容器中包含的物體更多．這3種測(cè)量方式均以數(shù)量比較的正確率、反應(yīng)時(shí)或韋伯分?jǐn)?shù)作為判斷ANS精確性的指標(biāo)．其中，非符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)相比其他兩項(xiàng)任務(wù)具有更好的可行性以及信度[9]．該任務(wù)的難度由兩組點(diǎn)數(shù)集合的比率來(lái)控制，數(shù)字比率越接近于1，數(shù)量辨別難度性越大[10]．例如，區(qū)分8個(gè)點(diǎn)和10個(gè)點(diǎn)（比率為0.8）比8個(gè)點(diǎn)和16個(gè)點(diǎn)（比率為0.5）更難．

圖1 近似數(shù)量系統(tǒng)對(duì)數(shù)量的表征形式[8]

3 ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系

根據(jù)數(shù)學(xué)特定領(lǐng)域技能可以將數(shù)學(xué)能力劃分為符號(hào)數(shù)學(xué)能力和非符號(hào)數(shù)學(xué)能力．符號(hào)數(shù)學(xué)能力特指與數(shù)學(xué)符號(hào)（阿拉伯?dāng)?shù)字或文字）有關(guān)的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，是人類所獨(dú)有的，這種能力使得人們可以進(jìn)行精確的數(shù)運(yùn)算，如計(jì)數(shù)，基數(shù)和數(shù)字識(shí)別；非符號(hào)數(shù)學(xué)能力指的是與符號(hào)表征無(wú)關(guān)的直覺(jué)性或口頭性的數(shù)學(xué)能力，如唱數(shù)、比較數(shù)的大小[11]．

ANS與大腦特定的神經(jīng)區(qū)域頂內(nèi)溝相關(guān)聯(lián)，并能激活頂葉和額葉皮質(zhì)參與活動(dòng)[12]．頂內(nèi)溝也是數(shù)學(xué)的重要活躍區(qū)，它專門運(yùn)算數(shù)值和進(jìn)行數(shù)學(xué)思維[13]，此外，臨近大腦皮層表面的額葉和頂葉區(qū)域都與數(shù)學(xué)能力的發(fā)展有關(guān)[14]．綜合近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力發(fā)展的腦機(jī)制研究，它們與頂內(nèi)溝、頂葉與額葉皮質(zhì)相關(guān)聯(lián)，為更進(jìn)一步地探究?jī)烧哧P(guān)系提供了有力證據(jù)．

3.1 ANS精確性可以預(yù)測(cè)兒童的數(shù)學(xué)能力

考察ANS精確性與數(shù)學(xué)能力關(guān)系的研究近十年來(lái)逐漸增多，已有多項(xiàng)縱向研究表明，ANS精確性可以預(yù)測(cè)兒童的數(shù)學(xué)能力．在控制了一般智力因素后，6個(gè)月的嬰兒對(duì)數(shù)量的偏好可以預(yù)測(cè)3年后的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)得分[15]．對(duì)3~6歲兒童的研究中，控制了年齡、表達(dá)性詞匯、早期數(shù)學(xué)能力等潛在因素的影響后，ANS精確性對(duì)兒童兩年后的數(shù)學(xué)能力仍有顯著的預(yù)測(cè)作用[16]．研究者對(duì)學(xué)齡兒童的研究得到了相似的結(jié)論，控制言語(yǔ)智商、執(zhí)行功能等眾多因素后，14歲時(shí)的韋伯分?jǐn)?shù)可以回溯預(yù)測(cè)5歲時(shí)數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)驗(yàn)的得分[17]；四、六年級(jí)的小學(xué)生的近似數(shù)量表征能力對(duì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均有一定的預(yù)測(cè)作用[18]．以上研究結(jié)果表明，學(xué)前兒童和學(xué)齡兒童的ANS精確性可以預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)能力，但這些結(jié)果并不一定說(shuō)明二者之間是因果關(guān)系．未來(lái)評(píng)估ANS精確性與數(shù)學(xué)能力之間是否具有因果關(guān)系，還需要更加嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)．第一，設(shè)計(jì)旨在提高兒童ANS精確性的訓(xùn)練措施，但不影響其他因素，再探討兒童的數(shù)學(xué)能力是否因?yàn)橛?xùn)練得到提高；第二，隨機(jī)分配被試，并在干預(yù)前后評(píng)估兒童的數(shù)學(xué)能力發(fā)展現(xiàn)狀．

近年來(lái)，研究者將研究的視角進(jìn)一步精細(xì)到關(guān)注ANS精確性與符號(hào)數(shù)學(xué)能力的關(guān)系．Wang等研究者對(duì)13~16歲青少年的研究發(fā)現(xiàn)，ANS精確性與兩個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)化考試（SAT和ACT）的符號(hào)數(shù)學(xué)部分的成績(jī)顯著相關(guān)[19]，即使控制了年齡、言語(yǔ)表現(xiàn)和反應(yīng)時(shí)間，這種相關(guān)關(guān)系也是穩(wěn)定的．但在學(xué)前階段，ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系更密切．Purpura和Logan在學(xué)期的開(kāi)始和結(jié)束時(shí)分別對(duì)3~5歲兒童的ANS精確性、數(shù)學(xué)語(yǔ)言和早期符號(hào)數(shù)學(xué)能力等一系列認(rèn)知技能進(jìn)行了評(píng)估，其中，ANS精確性預(yù)測(cè)了符號(hào)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，并能解釋數(shù)學(xué)成績(jī)變異的25%[20]．這些研究說(shuō)明，在早期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，先天性的ANS對(duì)個(gè)體數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)很關(guān)鍵．其原因在于兒童開(kāi)始學(xué)習(xí)阿拉伯?dāng)?shù)字時(shí)，需要將特定的數(shù)字符號(hào)與其近似表征相匹配，這種數(shù)和符號(hào)的對(duì)應(yīng)是兒童獲取數(shù)字符號(hào)意義的基礎(chǔ)．從種系發(fā)生學(xué)角度看，ANS雖是人類與其它生物共享的先天進(jìn)化基礎(chǔ)，但擁有符號(hào)系統(tǒng)和語(yǔ)言系統(tǒng)是人類和其他物種的區(qū)別．動(dòng)物進(jìn)化出近似表征能力止于物種的生存和繁衍，人類則借助這種先天的數(shù)量表征能力進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)能力．可以說(shuō)，ANS是人類的符號(hào)數(shù)學(xué)能力的認(rèn)知基礎(chǔ)．

那么，ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系是呈現(xiàn)線性的嗎？研究發(fā)現(xiàn)，ANS精確性與數(shù)學(xué)能力并非線性關(guān)系[21]．?dāng)?shù)學(xué)能力低的兒童與數(shù)學(xué)能力高的兒童相比，前者ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系更密切[22]．而且，執(zhí)行功能、視覺(jué)空間能力、基數(shù)概念等都可能在ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系中起作用．

3.2 ANS精確性與數(shù)學(xué)能力關(guān)系的中介變量

Moore等人發(fā)現(xiàn)，ANS是通過(guò)眾多領(lǐng)域特殊性技能（如基數(shù)概念）和領(lǐng)域一般性技能（視覺(jué)空間能力、執(zhí)行功能）對(duì)兒童數(shù)學(xué)能力產(chǎn)生影響的[23]．這說(shuō)明了ANS與數(shù)學(xué)能力之間可能存在一系列的中介變量．

3.2.1 執(zhí)行功能

執(zhí)行功能是個(gè)體對(duì)意識(shí)和行為的自我調(diào)節(jié)和以明確目標(biāo)為導(dǎo)向的活動(dòng)過(guò)程，包括抑制控制、認(rèn)知靈活性和工作記憶[24]．抑制控制（inhibitory contorl）指?jìng)€(gè)體在認(rèn)知活動(dòng)中對(duì)無(wú)關(guān)刺激做出抑制反應(yīng)的能力；工作記憶（working memory）是指大腦在短時(shí)間內(nèi)存儲(chǔ)信息，并對(duì)信息進(jìn)行刷新或運(yùn)算；認(rèn)知靈活性（cognitive Flexibility）需建立在規(guī)則基礎(chǔ)上，在不同任務(wù)或心理定勢(shì)間靈活轉(zhuǎn)換注意力，是克服心理定勢(shì)的影響并保持思維和動(dòng)作靈活性的過(guò)程．

ANS和數(shù)學(xué)能力之間的聯(lián)系可以通過(guò)執(zhí)行功能來(lái)解釋．執(zhí)行功能已被證明是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要認(rèn)知加工機(jī)制，其3種核心成分也是數(shù)學(xué)能力的重要預(yù)測(cè)指標(biāo)[25-27]．認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究表明，ANS、執(zhí)行功能、數(shù)學(xué)能力有重疊的生理結(jié)構(gòu)——額葉和頂葉，可為3者的關(guān)系研究提供有力依據(jù)．在兒童進(jìn)行近似數(shù)量表征時(shí)，受到執(zhí)行功能的制約．工作記憶的容量是兒童近似表征的基礎(chǔ)，外部輸入的數(shù)值信息均需要進(jìn)入工作記憶儲(chǔ)存，一旦數(shù)值信息和其他干擾信息在競(jìng)爭(zhēng)工作記憶的空間，兒童近似數(shù)量表征的難度就會(huì)增大．此時(shí)抑制控制和認(rèn)知靈活性就顯得尤為重要，抑制控制能防止無(wú)關(guān)信息進(jìn)入并將有效信息保持在工作記憶中以保障認(rèn)知過(guò)程的完整，認(rèn)知靈活性則能靈活轉(zhuǎn)換注意力并集中于認(rèn)知目標(biāo)上，維持ANS的有效運(yùn)作．已有研究也表明，抑制控制和工作記憶可在ANS精確性和數(shù)學(xué)能力的關(guān)系中起部分中介作用[28]．此外，根據(jù)映射理論，在學(xué)齡前，兒童就表現(xiàn)出將非符號(hào)數(shù)量映射到心理數(shù)字線上的能力，數(shù)量的空間映射可能是兒童理解數(shù)字間的大小關(guān)系的關(guān)鍵[29]．對(duì)于大數(shù)量的近似表征，個(gè)體也需要借助認(rèn)知靈活性來(lái)完成不同的心理數(shù)字線區(qū)間的數(shù)量——數(shù)字映射，認(rèn)知靈活性或許能進(jìn)一步解釋ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系．總體上來(lái)講，還需要進(jìn)一步的研究來(lái)證實(shí)在不同年齡階段工作記憶、抑制控制、認(rèn)知靈活性是否存在中介作用．

3.2.2 視覺(jué)空間能力

視覺(jué)空間能力對(duì)于需要以較低水平的視覺(jué)感知為基礎(chǔ)的ANS非常重要[30]，這種能力似乎是感知4以上大數(shù)量以及符號(hào)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵組成部分．一項(xiàng)對(duì)808名三~五年級(jí)的兒童（包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的兒童）的研究表明，困難兒童的幾何圖形辨別能力和ANS精確性都與算術(shù)技能相關(guān)，同時(shí)數(shù)困兒童與非數(shù)困兒童的幾何圖形辨別的差異與ANS精確性的差異有關(guān)[31]．這表明，視覺(jué)空間能力可能對(duì)于兒童算術(shù)能力和ANS精確性都非常重要，并且算術(shù)能力和ANS精確性有緊密的聯(lián)系．Zhou及其同事認(rèn)為，視覺(jué)空間能力可以解釋ANS精確性與算術(shù)之間的密切關(guān)系．他們發(fā)現(xiàn)，在控制視覺(jué)空間能力分?jǐn)?shù)（包括圖形匹配、心理旋轉(zhuǎn)和視覺(jué)追蹤）等無(wú)關(guān)變量后，三~五年級(jí)兒童的ANS精確性與精確計(jì)算之間不存在相關(guān)關(guān)系，但視覺(jué)空間能力仍然可以預(yù)測(cè)算術(shù)水平，視覺(jué)空間能力是兩者之間的重要中介變量[21]．由此可見(jiàn)，盡管ANS精確性對(duì)算術(shù)水平有相應(yīng)的影響，但兩者關(guān)系不是線性或因果關(guān)系，ANS是通過(guò)視覺(jué)空間能力來(lái)影響算術(shù)技能的．

3.2.3 基數(shù)概念

基數(shù)概念是表征任意集合所含元素?cái)?shù)量多少的概念．基數(shù)概念的發(fā)展使兒童在具體的實(shí)物和抽象的數(shù)概念之間建立聯(lián)系．早期的ANS可以幫助兒童學(xué)習(xí)基數(shù)概念．兒童最初學(xué)習(xí)符號(hào)數(shù)學(xué)時(shí)需要借助ANS明確該符號(hào)在心理數(shù)字線上的位置，在明確了具體的數(shù)學(xué)符號(hào)的意義后，兒童才可以獨(dú)立于ANS學(xué)習(xí)高階的數(shù)學(xué)知識(shí)．按照這一邏輯，兒童早期的基數(shù)概念可能是聯(lián)結(jié)ANS精確性和數(shù)學(xué)能力之間的橋梁．這一觀點(diǎn)也得到了相關(guān)研究的支持．例如，Chu等人在評(píng)估學(xué)前兒童ANS精確性、基數(shù)概念和數(shù)學(xué)能力的關(guān)系時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是否控制執(zhí)行功能、智力、父母受教育程度等因素，3~4歲兒童入學(xué)前的ANS精確性和基數(shù)概念都是學(xué)期末數(shù)學(xué)能力的重要預(yù)測(cè)因素，進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析表明基數(shù)概念是ANS精確性與數(shù)學(xué)能力的中介變量[32]．Peng等人也以學(xué)前兒童為研究對(duì)象調(diào)查了基數(shù)概念的中介效應(yīng)，在控制無(wú)關(guān)變量后，基數(shù)概念對(duì)ANS精確性與算術(shù)的關(guān)系表現(xiàn)出中等中介效應(yīng)[33]．這一研究結(jié)果與Lyons等人在2011年以成年人為研究對(duì)象的結(jié)論是一致的[34]．這可能是ANS可以促進(jìn)人類對(duì)基數(shù)概念的理解，并間接影響其它方面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，甚至影響到未來(lái)高階數(shù)學(xué)能力的發(fā)展．

ANS精確性與數(shù)學(xué)能力不是線性相關(guān)的觀點(diǎn)已得到眾多研究的支持，未來(lái)研究可以深入探討以明確ANS與數(shù)學(xué)能力之間相互作用的內(nèi)在機(jī)制．鑒于ANS對(duì)早期數(shù)學(xué)能力尤其是符號(hào)數(shù)學(xué)能力的影響，已有研究針對(duì)ANS設(shè)計(jì)了訓(xùn)練方案并具有良好的訓(xùn)練效果．

4 對(duì)ANS精確性的訓(xùn)練研究

ANS具有可塑性，可以通過(guò)訓(xùn)練來(lái)改善，特別是對(duì)低收入家庭的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童而言，適宜的訓(xùn)練可顯著提高他們的數(shù)學(xué)能力．ANS精確性容易受到經(jīng)驗(yàn)和環(huán)境的影響，個(gè)體從嬰兒期到成人期，ANS精確性一直呈上升趨勢(shì)直到30歲左右才達(dá)到頂峰[35]．已有文獻(xiàn)中涉及到ANS的訓(xùn)練方案主要有兩種類型，一種是非符號(hào)近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練，另一種是符號(hào)近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練．

4.1 非符號(hào)近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練

學(xué)前兒童和成人可以通過(guò)短期的近似算術(shù)訓(xùn)練（approximate arithmetic training，簡(jiǎn)稱AAT）提高近似數(shù)量表征能力和符號(hào)數(shù)學(xué)能力．Park和Brannon基于ANS的表征特點(diǎn)開(kāi)發(fā)了非符號(hào)的近似加減法的訓(xùn)練任務(wù)，對(duì)大學(xué)生的訓(xùn)練結(jié)果顯示，AAT有效的提高了大學(xué)生的算術(shù)技能，這一研究也發(fā)現(xiàn)了ANS與符號(hào)數(shù)學(xué)能力之間可能存在潛在的因果關(guān)系[36]．但由于AAT中涉及加減法，這種訓(xùn)練可能已經(jīng)超出了ANS自身的工作范圍．因此，Park和Brannon在此實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)一步改善實(shí)驗(yàn)，排除了如視覺(jué)工作記憶、AAT訓(xùn)練期間隱藏的符號(hào)性算術(shù)技能、安慰劑效應(yīng)等影響，AAT訓(xùn)練組的符號(hào)數(shù)學(xué)能力仍顯著提高[37]，這說(shuō)明ANS對(duì)符號(hào)數(shù)學(xué)能力可能有特殊的遷移作用．這項(xiàng)任務(wù)對(duì)提高低收入家庭的學(xué)前兒童的數(shù)學(xué)入學(xué)水平也有顯著效果[38]．后來(lái)，Jacky在AAT的設(shè)計(jì)原理基礎(chǔ)上進(jìn)一步強(qiáng)化了非符號(hào)刺激訓(xùn)練，對(duì)57名18~35歲的成年人進(jìn)行為期一周的訓(xùn)練，在控制了語(yǔ)言差異后，AAT實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組相比，實(shí)驗(yàn)組ANS數(shù)量距離效應(yīng)變小精確性增加，而且算術(shù)的精確度也有所提高[39]．AAT的訓(xùn)練研究說(shuō)明，符號(hào)數(shù)學(xué)能力和非符號(hào)數(shù)學(xué)能力可能有共同認(rèn)知基礎(chǔ)[40]，AAT任務(wù)提高ANS近似算術(shù)技能的同時(shí)，也提高了符號(hào)數(shù)學(xué)能力（算術(shù)技能）．另外，AAT任務(wù)為未來(lái)的研究提供了探究潛在機(jī)制的途徑——借助AAT研究ANS精確性和算術(shù)技能對(duì)數(shù)學(xué)能力的貢獻(xiàn)．

另外，van Herwegen運(yùn)用感官刺激開(kāi)發(fā)了一個(gè)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)系統(tǒng)（the preschool number learning scheme，簡(jiǎn)稱PLUS），這個(gè)項(xiàng)目也是用來(lái)訓(xùn)練兒童的非符號(hào)近似數(shù)量系統(tǒng)，目的在于提升學(xué)前兒童的ANS精確性．PLUS采用的是學(xué)齡前兒童熟悉的游戲（演奏樂(lè)器、玩多米諾骨牌游戲）和兩種與ANS相關(guān)的游戲（估算、匹配大數(shù)字）．所有的游戲都從大比率1∶2開(kāi)始，游戲呈現(xiàn)的數(shù)量比率隨著時(shí)間的推移越來(lái)越小，難度逐漸增大．結(jié)果表明，5周后，與閱讀組（控制組）相比實(shí)驗(yàn)組表現(xiàn)出較好的ANS精確性，可見(jiàn)為期5周每天10分鐘的PLUS提高了學(xué)前兒童的ANS精確性[41]．

4.2 符號(hào)近似數(shù)量系統(tǒng)訓(xùn)練

為了探究非符號(hào)訓(xùn)練和符號(hào)訓(xùn)練哪種方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的兒童更有效，Van Herwegen等人2018年設(shè)計(jì)了符號(hào)性的數(shù)字游戲（Digit Game）任務(wù)提升兒童的符號(hào)數(shù)學(xué)能力，與非符號(hào)性的PULS游戲進(jìn)行比較．這個(gè)任務(wù)將學(xué)前兒童熟悉的加法和數(shù)字游戲分別改編為計(jì)數(shù)和數(shù)字匹配游戲．訓(xùn)練頻率是為期5周每周兩次10分鐘的訓(xùn)練．結(jié)果顯示，兩個(gè)訓(xùn)練項(xiàng)目都提高了ANS精確性和早期數(shù)學(xué)能力并具有長(zhǎng)期效應(yīng)[42]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童的數(shù)學(xué)能力發(fā)展缺陷往往能追溯到學(xué)前教育階段，學(xué)前階段就應(yīng)該重視以游戲的方式滲透符號(hào)和非符號(hào)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，使數(shù)學(xué)能力差的兒童受益，這在一定程度上能夠預(yù)防未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難．

另外，Honoré和No?l也開(kāi)發(fā)了基于ANS的符號(hào)或非符號(hào)比較訓(xùn)練（Symbolic training，Non-symbolic training），并比較了它們對(duì)學(xué)前兒童算術(shù)技能的影響．他們將56名5~6歲兒童隨機(jī)分成3組：非符號(hào)ANS訓(xùn)練、符號(hào)ANS訓(xùn)練、故事理解訓(xùn)練，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)前后測(cè)試．每周訓(xùn)練一次，一次30分鐘，共10周．結(jié)果顯示，兩種訓(xùn)練計(jì)劃都能有效提高ANS符號(hào)估計(jì)和非符號(hào)估計(jì)的精確性，但符號(hào)ANS訓(xùn)練比非符號(hào)ANS訓(xùn)練更能提高兒童的算術(shù)技能[43]．這項(xiàng)研究說(shuō)明符號(hào)數(shù)學(xué)對(duì)算術(shù)技能的影響更大，同時(shí)研究進(jìn)一步證明了非符號(hào)數(shù)學(xué)能力可以影響符號(hào)數(shù)學(xué)能力，這或許是因?yàn)榉?hào)數(shù)學(xué)通過(guò)非符號(hào)（如“點(diǎn)集合”）賦予符號(hào)以具體意義，并通過(guò)從非符號(hào)到符號(hào)的映射來(lái)調(diào)節(jié)符號(hào)系統(tǒng)．

以上這些ANS的訓(xùn)練主要集中在學(xué)前期進(jìn)行，并且具有良好的訓(xùn)練效果．從4歲到小學(xué)一年級(jí)是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知和能力增長(zhǎng)的重要時(shí)期，這時(shí)針對(duì)兒童ANS精確性設(shè)計(jì)的游戲或訓(xùn)練方案能夠改善他們的近似數(shù)量表征水平和數(shù)學(xué)能力，對(duì)其日后符號(hào)數(shù)學(xué)能力甚至更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展都具有長(zhǎng)遠(yuǎn)意義．然而，現(xiàn)有訓(xùn)練研究還沒(méi)有考慮中介因素，如在訓(xùn)練方案融入執(zhí)行功能、基數(shù)概念等因素，也沒(méi)有研究證實(shí)訓(xùn)練ANS還是訓(xùn)練中介因素更能提高兒童的近似數(shù)量表征能力和數(shù)學(xué)能力．還需要從環(huán)境因素和個(gè)體認(rèn)知因素兩方面深入探究影響ANS與數(shù)學(xué)能力關(guān)系的適當(dāng)訓(xùn)練因素，采用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行對(duì)比研究；現(xiàn)有研究中，還沒(méi)能針對(duì)不同年齡段的兒童設(shè)計(jì)出相應(yīng)的訓(xùn)練方案，還需要根據(jù)不同年齡兒童的ANS和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方式等進(jìn)行整體設(shè)計(jì)．

5 研究展望與教育建議

5.1 研究展望

近20年來(lái)國(guó)外出現(xiàn)了大量對(duì)ANS的研究文獻(xiàn)，國(guó)內(nèi)相關(guān)研究還比較少，近幾年來(lái)相關(guān)研究出現(xiàn)了迅速增加的趨勢(shì)．對(duì)ANS的研究已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．已有的研究關(guān)注了近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展特點(diǎn)、與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系及可能的中介效應(yīng)、訓(xùn)練方法等，這些研究為認(rèn)識(shí)ANS打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也為兒童數(shù)學(xué)教育提供了借鑒意義．結(jié)合當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的趨勢(shì)，未來(lái)對(duì)ANS的研究還可以從以下3個(gè)方面進(jìn)一步完善．

一是明確不同ANS測(cè)量工具的適宜年齡階段．首先，目前常用的測(cè)量任務(wù)是非符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)、近似加法比較任務(wù)、符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)，但在已有研究中使用這3種測(cè)量任務(wù)得到的ANS的結(jié)果并不一定相關(guān)的．例如，成人的非符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)和近似加法任務(wù)的得分不相關(guān)，而在5~11歲兒童中，兩個(gè)任務(wù)的得分存在中等程度相關(guān)[44]．這些矛盾說(shuō)明不同的ANS測(cè)量任務(wù)可能適用于不同的年齡階段．其次，現(xiàn)有的測(cè)量工具應(yīng)該針對(duì)不同年段的研究對(duì)象的特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，如非符號(hào)數(shù)量比較任務(wù)采用計(jì)算機(jī)呈現(xiàn)刺激，兒童通過(guò)按鍵盤上的按鍵進(jìn)行選擇，對(duì)于學(xué)前兒童而言，該任務(wù)有些枯燥無(wú)趣，對(duì)兒童的手指靈活性也有一定的要求，不適合精細(xì)動(dòng)作發(fā)展不太完善的學(xué)前兒童．為此，ANS測(cè)量工具的開(kāi)發(fā)或改進(jìn)應(yīng)該考慮研究對(duì)象的年齡特征，結(jié)合ANS發(fā)揮作用的大腦機(jī)制明確測(cè)量任務(wù)適用的年齡階段及相應(yīng)的數(shù)量比率、呈現(xiàn)時(shí)間，以提高信效度．

二是探討ANS精確性與數(shù)學(xué)能力之間關(guān)系的內(nèi)在機(jī)制．一方面，探究ANS精確性與數(shù)學(xué)能力各個(gè)維度間的相互關(guān)系，從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的角度進(jìn)一步厘清ANS影響數(shù)學(xué)能力發(fā)展的機(jī)制甚至細(xì)化到數(shù)學(xué)能力各維度上；另一方面，從發(fā)展性研究的角度，明確ANS精確性發(fā)展的關(guān)鍵期，進(jìn)一步研究不同年齡的兒童ANS精確性與數(shù)學(xué)能力之間是否存在不同的中介效應(yīng)，并分析中介變量之間有何種關(guān)聯(lián)，以及中介變量是否存在發(fā)展性變化．

三是驗(yàn)證ANS訓(xùn)練的適宜性及其長(zhǎng)期效應(yīng)．在研究設(shè)計(jì)上，采用因果關(guān)系設(shè)計(jì)探究ANS精確性與數(shù)學(xué)能力之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)訓(xùn)練方法，根據(jù)不同年齡的兒童、不同類型的兒童（如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童）設(shè)計(jì)符合其身心發(fā)展特點(diǎn)的方案，并檢驗(yàn)方案的長(zhǎng)期效應(yīng)．未來(lái)的研究應(yīng)多關(guān)注訓(xùn)練方案的適宜性，從認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的角度探究該訓(xùn)練方案之所以引起數(shù)學(xué)能力變化的內(nèi)在機(jī)制，以及檢驗(yàn)訓(xùn)練的長(zhǎng)期效應(yīng)，促進(jìn)兒童的ANS精確性或數(shù)學(xué)能力發(fā)展．

5.2 教育建議

近似數(shù)量系統(tǒng)是人類數(shù)字核心系統(tǒng)的重要組成部分，它與精確數(shù)量系統(tǒng)共同解釋了人類的基本數(shù)感．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提到了10個(gè)數(shù)學(xué)核心概念，其中“數(shù)感”被擺在了首位，并明確指出：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系．”這充分表明了幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建立數(shù)感是課程標(biāo)準(zhǔn)十分強(qiáng)調(diào)和重視的問(wèn)題．為此，教育者應(yīng)注意以下3個(gè)方面．

首先，教育者要重視ANS精確性對(duì)兒童數(shù)學(xué)能力發(fā)展的價(jià)值．學(xué)前及小學(xué)低年級(jí)階段是ANS精確性迅速發(fā)展的時(shí)期，在這一階段重視兒童的數(shù)量表征，對(duì)兒童日后數(shù)學(xué)能力的發(fā)展具有重要意義．教育者應(yīng)在學(xué)前和低年級(jí)數(shù)學(xué)課程中融入ANS精確性的內(nèi)容，為兒童近似估計(jì)能力的發(fā)展提供支架．例如，在學(xué)前兒童的生活情景下結(jié)合實(shí)際多用“更多”“更少”或“長(zhǎng)一些”“短一些”等表示近似量的詞語(yǔ)與他們進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的溝通，引導(dǎo)他們判斷一個(gè)物體或事件的量的大小，如距離、長(zhǎng)度、持續(xù)時(shí)間、數(shù)、飽和度、亮度或其它量．在小學(xué)低年級(jí)階段，教育者可運(yùn)用實(shí)踐教學(xué)法幫助兒童親歷近似表征的過(guò)程，在對(duì)比和活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)感，在估算和解決問(wèn)題中增強(qiáng)數(shù)感．這些方式都可能會(huì)加強(qiáng)兒童的近似數(shù)量表征能力，為兒童自然運(yùn)用近似數(shù)量系統(tǒng)奠定基礎(chǔ)．

其次，早期兒童的數(shù)學(xué)教育中可以滲透執(zhí)行功能、視覺(jué)空間能力等一般認(rèn)知能力的訓(xùn)練．學(xué)前期和小學(xué)低年級(jí)階段的兒童是數(shù)感培養(yǎng)的最佳時(shí)期。這個(gè)階段教師充分把握時(shí)機(jī)，在數(shù)的比較、數(shù)字的認(rèn)識(shí)、數(shù)量關(guān)系或數(shù)的估算等知識(shí)的教學(xué)中，逐步提高和發(fā)展兒童的數(shù)感，為兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．如果能夠可以引領(lǐng)兒童聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物融入到兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在教學(xué)設(shè)計(jì)中運(yùn)用觀察、計(jì)劃、描述、空間記憶、解決問(wèn)題等方法，既能培養(yǎng)兒童的執(zhí)行功能和視覺(jué)空間等一般認(rèn)知能力，也發(fā)展了兒童的數(shù)感．

最后，教育者可以借鑒或改進(jìn)已有的ANS訓(xùn)練范式，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童的ANS精確性和數(shù)學(xué)能力．機(jī)會(huì)公平是實(shí)現(xiàn)教育公平的關(guān)鍵，尤其是處于“弱勢(shì)地位”的兒童也應(yīng)有公平發(fā)展的機(jī)會(huì)．應(yīng)該進(jìn)一步關(guān)注早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童．兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難一般可以追溯到早期數(shù)學(xué)能力缺陷，如ANS精確性較低，若個(gè)體從學(xué)前到小學(xué)一年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就落后于同齡人，這種差距會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)繼續(xù)持續(xù)擴(kuò)大[45]．因此，早期對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童進(jìn)數(shù)學(xué)方面的訓(xùn)練具有非常重要的意義，可以在很大程度上提高兒童早期數(shù)學(xué)能力并降低未來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗的風(fēng)險(xiǎn)．

[1] JORDAN N C, KAPLAN D, RAMINENI C, et al. Early math matters: Kindergarten number competence and later mathematics outcomes [J]. Developmental Psychology, 2009, 45 (3): 850-867.

[2] IZARD V, SANN C, SPELKE E S, et al. Newborn infants perceive abstract numbers [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2009, 106 (25): 10?382-10?385.

[3] JANG S, CHO S. The mediating role of number-to-magnitude mapping precision in the relationship between approximate number sense and math achievement depends on the domain of mathematics and age [J]. Learning & Individual Differences, 2018 (64): 113-124.

[4] MAZZOCCO M M M, FEIGENSON L, HALVERDA J. Preschoolers’ precision of the approximate number system predicts later school mathematics performance [J]. Plos One, 2011, 6 (9): 1-8.

[5] 張繼英．5~6歲兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性和數(shù)學(xué)能力關(guān)系的研究[D]．上海：華東師范大學(xué)，2017：62．

[6] 楊志艷，周欣．兒童早期近似數(shù)量表征的發(fā)展與特點(diǎn)[J]．學(xué)前教育研究，2015（11）：44-55．

[7] 章雷鋼．大、小數(shù)量表征的心理機(jī)制[D]．杭州：浙江大學(xué)，2007：76．

[8] 牛玉柏，張麗芬，肖帥，等．小學(xué)生近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度的發(fā)展趨勢(shì)及其與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系：抑制控制的中介作用[J]．心理科學(xué)，2018（2）：344-350.

[9] CHESNEY D, BJAKEBRING P, PETERS E. How to estimate how well people estimate: Evaluating measures of individual differences in the approximate number system [J]. Attention Perception & Psychophysics, 2015, 77 (8): 2?781-2?802.

[10] 牛玉柏，時(shí)冉冉，曹賢才．學(xué)前兒童近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度與符號(hào)數(shù)學(xué)能力的關(guān)系[J]．心理發(fā)展與教育，2016，32（2）：129-138.

[11] ?SCHNEIDER M, BEERES K, COBAN L, et al. Associations of non-symbolic and symbolic numerical magnitude processing with mathematical competence: A meta-analysis [J]. Developmental Science, 2017, 20 (3): 572-584.

[12] ?SOKOLOWSKI H M, FIAS W, MOUSA A, et al. Common and distinct brain regions in both parietal and frontal cortex support symbolic and nonsymbolic number processing in humans: A functional neuroimaging meta-analysis [J]. Neuroimage, 2017, 146 (28): 376-394.

[13] ?AMALRIC M, DEHAENE S. Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2016, 113 (18): 4?909-4?914.

[14]? ARSALIDOU M, PAWLIW L M, SADEGHI M, et al. Brain areas associated with numbers and calculations in children: Meta-analyses of fMRI studies [J]. Developmental Cognitive Neuroscience, 2017, 132 (16): 1-12.

[15] ?STARR A, LIBERTUS M E, BRANNON E M. Number sense in infancy predicts mathematical abilities in childhood [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110 (45): 18?116-18?120.

[16] ?GOBEL S M, WATSON S E, LEVAG A, et al. Children’s arithmetic development: It is number knowledge, not the approximate number sense, that counts [J]. Psychological Science, 2014, 25 (3): 789-798.

[17] ?HALBERDA J, FEIGENSON L. Developmental change in the acuity of the “number sense”: The approximate number system in 3, 4, 5, and 6-year-olds and adults [J]. Developmental Psychology, 2008, 44 (5): 1?457-1?465.

[18] 孔海燕，孫雨，宋廣文．小學(xué)生近似數(shù)量表征系統(tǒng)和工作記憶與數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)系[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：14-18．

[19]? WANG J J, HALBERDA J, FEIGENSON L. Approximate number sense correlates with math performance in gifted adolescents [J]. Acta Psychological, 2017, 176 (38): 78-84.

[20] ?PURPURA D J, Logan J A. The nonlinear relations of the approximate number system and mathematical language to early mathematics development [J]. Developmental Psychology, 2015, 51 (12): 1?717-1?724.

[21] ?XINLIN Z, WEI W, YIYUN Z, et al. Visual perception can account for the close relation between numerosity processing and computational fluency [J]. Frontiers in Psychology, 2015 (6): 1?364-1?378.

[22] ?BONNY J W, LOURENCO S F. The approximate number system and its relation to early math achievement: Evidence from the preschool years [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2013, 114 (3): 375-388.

[23] ?MOORE A M, VANMARLE K, GEARY D C. Kindergartners’ fluent processing of symbolic numerical magnitude is predicted by their cardinal knowledge and implicit understanding of arithmetic two years earlier [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2016, 150 (56): 31-47.

[24]? MIYAKE A, FRIEDMAN N P. The nature and organization of individual differences in executive functions: Four general conclusions [J]. Current Directions in Psychological Science, 2012, 21 (1): 8-14.

[25] 康丹，李飛燕，文鑫，等．5~6歲潛在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童數(shù)學(xué)和工作記憶的4周游戲訓(xùn)練效果[J]．中國(guó)心理衛(wèi)生雜志，2018，32（6）：495-501．

[26] ?RIBNER A, MOELLER K, WILLOUGHBY M, et al. Cognitive abilities and mathematical competencies at school entry [J]. Mind Brain & Education, 2017 (3): 1?026-2?037.

[27] ?HARVEY H A, MILLER G E. Executive function skills, early mathematics, and vocabulary in head start preschool children [J]. Early Education & Development, 2017, 28 (3): 1-18.

[28] ?PRICE G R, WILKEY E D. Cognitive mechanisms underlying the relation between nonsymbolic and symbolic magnitude processing and their relation to math [J]. Cognitive Development, 2017 (44): 139–149.

[29] ?SELLA F, BERTELETTI I, LUCANGELI D, et al. Preschool children use space, rather than counting, to infer the numerical magnitude of digits: Evidence for a spatial mapping principle [J]. Cognition, 2017 (158): 56-67.

[30] ?CUI J, ZHANG Y, CHENG D, et al. Visual form perception can be a cognitive correlate of lower level math categories for teenagers [J]. Frontiers in Psychology, 2017, 8 (32): 1?336-1?348.

[31]? ZHOU X, CHENG D. When and why numerosity processing is associated with developmental dyscalculia [M]. The Routledge International Handbook of Dyscalculia and Mathematical Learning Difficulties, 2014: 156-162.

[32] ?CHU F W, VANMARLE K, GEARY D C. Early numerical foundations of young children’s mathematical development [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2015, 132 (15): 205-212.

[33]? PENG P, YANG X, MENG X. The relation between approximate number system and early arithmetic: The mediation role of numerical knowledge [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2017, 157 (32): 111-124.

[34] ?LYONS I M, BEILOCK S L. Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence [J]. Cognition, 2011, 121 (2): 256-261.

[35]? HALBERDA J, LY R, WILMER J B, et al. Number sense across the lifespan as revealed by a massive internet-based sample [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2012, 109 (28): 11?116-11?120.

[36] ?PARK J, BRANNON E M. Training the approximate number system improves math proficiency [J]. Psychological Science, 2013, 24 (10): 2?013-2?019.

[37] PARK J, BRANNON E M. Improving arithmetic performance with number sense training: An investigation of underlying mechanism [J]. Cognition, 2014, 133 (1): 188-200.

[38] PARK J, BERMUDEZ V, ROBERTS R C, et al. Non-symbolic approximate arithmetic training improves math performance in preschoolers [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2016, 152 (12): 278-284.

[39] ?AU J, JAEGGI S M, Buschkuehl M. Effects of non-symbolic arithmetic training on symbolic arithmetic and the approximate number system [J]. Acta Psychologica, 2018, 185 (2): 1-12.

[40] ?LUSSIER C A. Developmental bias for number words in the intraparietal sulcus [J]. Developmental Science, 2016, 20 (3): 1-18.

[41] ?van J H, COSTA H M, PASSOLUNGHI M C. Improving approximate number sense abilities in preschoolers: Plus games [J]. School Psychology Quarterly, 2016, 32 (4): 428-436.

[42] ?van J H, COSTA H M, NICHOLSON B, et al. Improving number abilities in low achieving preschoolers: Symbolic versus non-symbolic training programs [J]. Research in Developmental Disabilities, 2018, 77 (8): 1-11.

[43] HONORE N, NOEL M P. Improving preschoolers’ arithmetic through number magnitude training: The impact of non-symbolic and symbolic training [J]. Plos One, 2016, 11 (11): 1-22.

[44] ?GILMORE C, ATTRIDGE N, SMEDT B D, et al. Measuring the approximate number system in children: Exploring the relationships among different tasks [J]. Learning & Individual Differences, 2014, 29 (1): 50-58.

[45] ?MORGAN P L, FARKAS G, WU Q. Kindergarten children’s growth trajectories in reading and mathematics: Who falls increasingly behind [J]. Journal of Learning Disabilities, 2011, 44 (5): 472-488.

The Relationship between the Accuracy of Children’s Approximate Number System and Their Mathematical Ability

KANG Dan, ZHANG Li, CAI Shu, LIU Jiang-ping, LU Mei-yi, LIU Qiu-xiang

（Cognition and Human Behavior Key Laboratory of Hunan Province, College of Educational Science,Hunan Normal University, Hunan Changsha 410081, China)

The approximate number system (ANS) is regarded as the basis for the development of children’s mathematical ability. Previous studies have revealed that the ANS is a predictor of children’s mathematical ability. The mediating variables of the relationship between ANS and mathematical ability may involve executive function, visual spatial ability, and cardinal number concept. Moreover, the ability to represent approximate numbers can be improved with proper training. In future research, measurement tools for ANS should be standardized; then, the development of cognitive neuroscience may be beneficial for further elaboration of the intrinsic mechanism of the relationship between ANS accuracy and mathematical ability. Reliable evidence is needed to demonstrate the value of training with ANS and its long-term effects. We end this paper with several suggestions for educational implications of the studies. First, we should pay attention to the impact of ANS accuracy on children’s mathematical ability. Second, we need to foster the development of children’s cognitive abilities, such as executive function and visual spatial ability, in early childhood mathematical education. Third, children’s ANS accuracy and mathematical ability can be improved by refining existing ANS training programs.

approximate number system; executive function; mathematical ability

G610

A

1004–9894（2020）03–0019–06

2020–01–09

湖南省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)一般項(xiàng)目——學(xué)前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童的執(zhí)行功能干預(yù)研究（15YBA266）

康丹（1981—），女，湖南醴陵人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事早期兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展研究．

康丹，張利，蔡術(shù)，等．兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（3）：19-24．

[責(zé)任編校：陳雋、張楠]