考慮單磨粒作用的砂帶磨削機理模型*

齊俊德, 陳 冰

(西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院, 西安 710072)

精加工磨削工藝，一般作為機械加工的最后一道工序，可以有效消除前面工序產(chǎn)生的加工缺陷，提高產(chǎn)品加工質(zhì)量，對保證產(chǎn)品的性能和使用壽命起著十分重要的作用[1]。

在精加工相關(guān)研究中，如何實現(xiàn)材料的定量去除，以達到要求的形位精度，是一個關(guān)鍵點及難點。砂帶磨削就是精加工磨削的一種，它具有加工精度高、適用范圍廣且散熱性好等優(yōu)點，因而得到廣泛的研究與應(yīng)用。但砂帶磨削過程較復(fù)雜，影響其材料去除的因素眾多，包括加工過程中的工藝參數(shù)(如砂帶速度、進給速度和給定壓力)以及砂帶固有的性質(zhì)(如磨粒大小、磨粒本體材料及其分布密度)等[2]，加之目前的砂帶磨削對象多為自由曲面，更增加了其定量去除的難度。

針對該問題，眾多學(xué)者開展了相關(guān)研究并取得了較好的成果。就目前的研究對象與方法而言，一般有2種方法：一種是基于經(jīng)驗方程的建模方法。WANG等[3]以機器人砂帶磨削為研究對象，基于簡化的赫茲接觸理論獲得了磨削力的分布規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上采用Hammann線性磨削模型給出了去除深度計算方法。HE等[4]以磨削壓力為重點研究對象，綜合考慮了接觸體的結(jié)合特征以及砂帶彈性接觸輪的材料特性，研究了砂帶磨削過程中接觸壓力對鋼軌材料去除的影響規(guī)律。上述研究均以經(jīng)驗建模為主，模型建立較為便捷，但對磨粒等微觀因素對材料去除的影響研究缺乏量化。另一種則是從微觀磨粒角度出發(fā)，通過統(tǒng)計學(xué)方法構(gòu)建宏觀上的材料去除模型。樊文剛等[5-6]綜合考慮了磨粒特征與工藝參數(shù)作用，基于宏觀磨削力與微觀磨粒綜合受力平衡方程，獲得單磨粒去除量，并進一步構(gòu)建了砂帶磨削的材料去除模型，具有較好的理論指導(dǎo)價值。

為更好地理解和優(yōu)化砂帶磨削過程，以單磨粒材料去除過程為研究對象，分析了不同切深下的單磨粒材料去除機理，并基于試驗數(shù)據(jù)對磨削過程進行簡化。在此基礎(chǔ)上，綜合運用彈塑性變形、赫茲接觸以及概率統(tǒng)計等理論，建立了基于單磨粒切入深度的砂帶磨削去除模型，并基于機器人磨削平臺進行TC4合金曲面磨削試驗，將其結(jié)果與理論模型預(yù)測結(jié)果比較，以驗證所建模型的有效性。

1 單磨粒切削作用過程分析

磨削的本質(zhì)就是大量的微小磨粒對工件表面的材料進行去除的過程。磨粒與工件的接觸情況較復(fù)雜，包含了擠壓、劃擦、耕犁以及切削等多種作用的耦合，如圖1所示。而磨削過程按照材料的變形行為又可分為彈性變形與塑性變形2個階段，兩者之間的轉(zhuǎn)變?nèi)Q于磨粒切入工件的深度大小[5]。因此，可依據(jù)工件變形形式進行單磨粒的分階段作用過程分析。

為簡化計算，大多數(shù)文獻所建立的模型都假定磨粒形狀為圓錐形[7]。但實際上，通過高倍顯微鏡觀察及相應(yīng)的單磨粒劃擦試驗結(jié)果[8]顯示：單一磨粒一般擁有很多的微小切削刃，近似于圓弧的多刃切削。因此，為了增加分析過程的準(zhǔn)確性，設(shè)定單磨粒形狀為尖端半球形的圓錐。

圖1 單磨粒作用過程示意圖

1.1 彈性變形階段

根據(jù)彈性力學(xué)理論，對于單個磨粒，其頂端的球形半徑為R，當(dāng)施加的力為F0時，如圖2所示，則有[9]：

(1)

(2)

圖2 單磨粒與工件作用示意圖

設(shè)工件表面的布氏硬度為HB，根據(jù)彈塑性變形理論，當(dāng)工件受到的平均壓強p0≥HB/3時，會產(chǎn)生塑性變形；p0

(3)

用后面試驗部分表1的數(shù)據(jù)對式(3)進行計算，δmax結(jié)果為2.3×10-4μm。在磨削中，磨粒的平均切入深度一般為μm級，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于該數(shù)值[11]，因此工件該部分的彈性變形可以忽略。

1.2 塑性變形階段

當(dāng)磨粒切入深度超過δmax時，工件材料將會發(fā)生塑性變形，進而產(chǎn)生材料去除。單個磨粒為尖端半球形的圓錐，不同的接觸部位會導(dǎo)致其切削過程不同。因此，根據(jù)磨粒形狀，可進一步將塑性變形過程分成球形切削和錐形切削2個階段。

1.2.1 球形切削階段

當(dāng)磨粒切入深度小于磨粒尖端球形半徑R時，進入球形切削過程，如圖3所示。圖3中：由文獻[12]可知：在塑性變形階段，同樣會伴隨一定程度的彈性變形。設(shè)此過程的彈性變形量為δc，其求解方程為[12]：

(4)

同樣采用試驗部分的表1數(shù)據(jù)對式(4)進行計算，δc結(jié)果為4.6×10-5μm，該值同樣遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于磨粒平均切入深度。因此，為簡化計算，同樣忽略該部分的彈性變形，只考慮其塑性變形。

圖3 塑性變形階段球形切削示意圖

圖3中：U1,U2,U3,U4和U5是磨粒尖端上的位置；O是球形尖端的中心；扇形U1U2U5區(qū)域代表彈性變形區(qū)域；U2U3U4U5區(qū)域代表球形尖端切除工件材料的橫截面區(qū)域，該區(qū)域面積大小由 ΔA表征，具體計算方法在接下來的部分進行討論；rc與rp分別代表了磨粒頂端與底端接觸區(qū)域的圓形半徑。

設(shè)工件的塑性變形量，即材料的去除深度為δp，則該階段單磨粒產(chǎn)生的塑性力為[13]：

Fs1=2HBπRδp

(5)

1.2.2 錐形切削階段

當(dāng)磨粒切入深度大于刃端半徑R時，進入錐形切削過程，如圖4所示。此時同樣會發(fā)生一定程度的彈性變形。由式(4)可知：彈性變形量是磨粒與材料特征的函數(shù)，兩者不變，則彈性變形量不變。因此，在該階段同樣忽略彈性變形，只考慮塑性變形。

在此階段，一般設(shè)定塑性變形引起的平均壓強p1=HB/2[14],磨粒與工件的接觸區(qū)域為圓形，其接觸半徑rp為(h-h0)tan(α/2)，則單個磨粒的接觸面積為：

Ss2=πrp2=π(h-h0)2tan2(α/2)

(6)

式中：h為磨粒出刃高度；h0為磨粒分布高度原點距工件表面的距離。

因此,錐形切削階段，單磨粒產(chǎn)生的塑性變形力大小為：

Fs2=Ss2p1=πHB/2×(h-h0)2tan2(α/2)

(7)

圖4 塑性變形階段圓錐切削示意圖

2 磨粒切入深度模型

在單磨粒作用分析的基礎(chǔ)上，基于磨粒數(shù)目與出刃高度分布函數(shù)，建立微觀磨粒與宏觀磨削壓力平衡方程，給出磨粒切入深度的求解方法。

2.1 磨粒數(shù)目與出刃高度分布函數(shù)

砂帶單位面積內(nèi)的磨?？倲?shù)N可以通過采樣區(qū)間的波峰數(shù)求得[15]：

(8)

式中：k與z分別為數(shù)據(jù)測量表面的行數(shù)和列數(shù)；Nt代表了采樣區(qū)域內(nèi)的波峰數(shù)；Δx和 Δy分別為x方向和y方向的采樣間隔。

波峰數(shù)可以通過8點原則法獲得，即高于周圍8個點高度的點即為波峰點。其中需注意的是，不同的采樣間隔對于最終結(jié)果的精度影響較大。因此，根據(jù)BLUNT等[16]提出的合理采樣間隔，定義采樣間距ΔL滿足：

dm/4≤ΔL≤dm/3

(9)

式中：dm代表了磨粒的平均粒徑。

大量試驗表明：磨粒的最大粒徑dmax與平均粒徑dm近似于磨粒的最大突出高度與平均突出高度[7]。因此，磨粒出刃高度近似符合高斯分布模型，如圖5所示，其分布密度函數(shù)為[17]：

(10)

式中：σ為出刃高度均方差，其計算公式為[17]：

σ=(dmax-dm)/3

(11)

圖5 磨粒出刃高度示意圖

圖5中：原點O位于平均出刃高度處；dmin代表了磨粒最小尺寸；h0為原點距工件表面的距離；m為塑性變形時磨粒切入工件的最大深度。

由圖5幾何關(guān)系可知：

h0=3σ-m

(12)

2.2 單位面積的磨粒壓力

如圖5所示，當(dāng)磨粒出刃高度大于h0時，磨粒與工件發(fā)生接觸，在忽略彈性變形的情況下，可以產(chǎn)生材料去除，這部分磨粒被稱為有效磨粒。

由前文可知，磨料不同的切入深度，材料會產(chǎn)生不同的變形行為。其中，單位面積砂帶內(nèi)發(fā)生球形切削的磨粒數(shù)目為：

(13)

聯(lián)立式(5)與(13)，則單位面積工件受到的球形切削產(chǎn)生的壓力為：

(14)

同樣，單位面積砂帶內(nèi)錐形切削的磨粒數(shù)目為：

(15)

聯(lián)立式(7)與(15)，則單位面積工件受到的錐形切削產(chǎn)生的壓力大小為：

(16)

2.3 磨粒切入深度

式(14)與式(16)的力相加，得出單位面積的工件所受的總壓力(即壓強)，包含了球形切削力與錐形切削力這2個分力。且壓強公式中只有1個變量h0，即工件壓強是h0的函數(shù)。根據(jù)h0與最大出刃高度3σ的關(guān)系式(12)，得出工件與砂帶的作用過程共包含了以下3種情形：

(1)當(dāng)h0+δmax≥3σ時，即最大切入深度小于彈性變形極限，此時工件只發(fā)生彈性變形，不產(chǎn)生材料去除。由試驗結(jié)果可知可忽略該部分。

(2)當(dāng)h0+δmax<3σ≤h0+R時，工件發(fā)生球形材料去除，壓強大小為：

P=F1

(17)

(3)當(dāng)h0+R<3σ時，工件同時發(fā)生球形去除與錐形去除，故壓強大小為：

P=F1+F2

(18)

結(jié)合式(14)、(16)、(17)及(18)，在已知壓強分布的情況下，就可以得到實際的磨粒切入深度分布。

由于本文中的工件與砂帶之間的接觸符合赫茲定律求解條件[7]：

(1)工件與砂帶接觸問題可以看作為圓柱體與圓弧面的接觸問題，滿足赫茲接觸“接觸點附近表面至少二階連續(xù)”以及“接觸是非共形”的假設(shè)；

(2)砂帶與工件的接觸區(qū)域較小，兩者的接觸變形相對未變形表面主半徑較小，可以視其為“小變形”。

因此，可以利用赫茲定律進行壓強分布求解，其具體求解方法已成熟，故不在此贅述。

3 材料的去除體積模型

材料的去除取決于2個參數(shù)，即單位時間單位面積內(nèi)進行材料去除的磨粒數(shù)目與單磨粒的材料去除體積，2個參數(shù)共同作用決定了材料的去除量。

3.1 單位時間單位面積內(nèi)的有效磨粒數(shù)

在工件與砂帶接觸區(qū)域內(nèi)，取一微元G，設(shè)其長度和寬度分別為dy與dx，如圖6所示。設(shè)定砂帶的旋轉(zhuǎn)速度與工件的進給速度分別為vt與vf，則在時間dt內(nèi)參與磨削的砂帶面積為：

S1=dldx=vsdxdt

(19)

式中：dl為砂帶在dt內(nèi)的旋轉(zhuǎn)長度；vs=vt±vf，為工件與砂帶的相對速度。當(dāng)順磨時，取減號；當(dāng)逆磨時，取加號。

圖6 砂帶與工件接觸區(qū)域示意圖

結(jié)合上述分析，聯(lián)立式(8)與式(19)，可以得到時間dt內(nèi)在微元G處的有效磨粒數(shù)為：

(20)

3.2 單磨粒的材料去除體積

根據(jù)磨粒切深，可以將材料去除體積求解分為2種情況：

(1)球形切削體積

如圖3所示，當(dāng)為球形切削時，根據(jù)幾何關(guān)系求解可得：

(21)

進而，由弓形面積計算方法可以得到此時的切削橫截面面積為：

(22)

則單磨粒的球形切削體積為：

V01=ΔA1dy

(23)

(2)錐形切削體積

如圖4所示，當(dāng)為圓錐切削時，同理可得：

rp=(h-h0)tan(α/2)

(24)

此時的切削橫截面面積為：

ΔA2=πR2/2+(rp+R)(h-h0-R)

(25)

則單磨粒的錐形去除體積為：

V02=ΔA2dy

(26)

最后，單磨粒的材料去除體積V0為V01與V02之和。

3.3 總體材料去除模型

所有有效磨粒的材料去除體積的總和即為宏觀的材料去除量。因此基于前述分析，可以得到在單位時間dt內(nèi)，在微元G處工件材料的總?cè)コw積V為：

(27)

式中：dz為材料去除深度。

進一步對式(27)處理，可以得到：

(28)

式中：Hl代表了材料的線性長度去除率，即工件單位接觸長度下的材料去除深度。

則在工件與砂帶接觸過程中的微元G處，其總體去除深度H為：

(29)

式中：L1與L2代表了工件與砂帶在G處接觸的起點和終點，可以通過赫茲接觸定律求解。

4 模型驗證

4.1 磨削試驗平臺與參數(shù)

圖7為機器人砂帶磨削試驗裝置、工件及測量裝置。采用工業(yè)機器人為加工主體設(shè)備，構(gòu)建了砂帶磨削試驗平臺(圖7a)；加工工件為TC4合金200 mm×90 mm曲面(圖7b)；選用FerRobotics公司生產(chǎn)的ACF 110-10型力控制器對力精準(zhǔn)控制，保證試驗過程的穩(wěn)定性(圖7c)。該裝置控制力精度為1 N，反應(yīng)時間為4 ms；材料去除深度采用Mahr XCR20表面輪廓測量儀測量(圖7d)。用該輪廓測量儀可以重構(gòu)出磨削后的材料表面廓形，沿垂直于磨削進給方向記錄磨削前后的工件表面輪廓，并取磨削前后輪廓對應(yīng)位置的差值為材料去除深度。

(a)機器人砂帶磨削試驗平臺Robot abrasive belt grinding experiment platform (b) 砂帶機及試驗工件Belt sander and experimental workpiece(c) ACF力控儀ACF force controller(d) Mahr XCR20表面輪廓測量儀Mahr XCR20 surface profile meter圖7 機器人砂帶磨削試驗裝置、工件及測量裝置Fig. 7 Schematic diagram of the experimental devices, workpiece and measuring devices in robotic belt grinding

砂帶磨削試驗參數(shù)如表1所示，其中的砂帶寬度為9 mm。

依據(jù)前期的試驗經(jīng)驗，砂帶在使用初期5 min之內(nèi)磨損較快，之后進入穩(wěn)定磨削階段。因此，為減小砂帶磨損造成的影響，每次試驗前都對新砂帶進行5 min磨削去銳處理，而后使其工作在穩(wěn)定磨削階段。進行單因素多水平試驗，主要考慮4個參數(shù)變量的影響，分別為P240、P400和P600粒度號的3種氧化鋁磨料、磨削壓力、砂帶進給速度及線速度。根據(jù)相關(guān)經(jīng)驗，初始磨削壓力設(shè)定范圍為5～25 N；砂帶進給速度范圍為10～50 mm/s；砂帶線速度范圍為6～14 m/s。進行單因素5水平試驗，具體的因素及水平值如表2所示。

表1 砂帶磨削試驗參數(shù)

表2 單因素試驗水平表

4.2 砂帶磨削試驗結(jié)果及分析

4.2.1 去除深度與工藝參數(shù)關(guān)系

首先基于單因素試驗研究不同工藝參數(shù)對材料最大去除深度的影響，結(jié)果如圖8所示。

由圖8a可知：磨削壓力增大，材料最大去除深度不斷增加。這是因為隨著磨削壓力的增大，磨粒切入材料的深度會隨之增加，單個磨粒的去除量增大；同時磨削力增大也會使得單位時間內(nèi)的有效磨粒數(shù)目增加。兩者的共同作用會使單位面積、單位時間內(nèi)材料的去除量增大，宏觀表現(xiàn)為材料去除深度增加。

由于表1中的砂帶輪彈性模量求解復(fù)雜，其受橡膠接觸輪及砂帶的綜合影響，常規(guī)的方法都不太適用。因而基于材料去除深度，進行反向求解，即采用基于Preston方程的去除深度試驗方法得到彈性楊氏模量來簡化后續(xù)計算，其求解公式如下[18]：

(30)

式中：Re為工件接觸處曲率半徑；Kp為常數(shù)，可由試驗測得。

由圖8b可知：材料最大去除深度與砂帶線速度成正相關(guān)，即線速度越大，材料去除深度越大。原因為砂帶線速度越大，單位時間內(nèi)的有效磨粒數(shù)目越多，因而材料去除量增大。

由圖8c可看出：最大去除深度與砂帶進給速度成反相關(guān)，進給速度越大，材料最大去除深度越小。其原因與砂帶線速度增加相反，即進給速度增大，會導(dǎo)致單位時間內(nèi)有效磨粒數(shù)目減少，因而材料去除量減小，也導(dǎo)致磨削深度變小。

(a)不同磨削壓力

(b)不同砂帶線速度

(c)不同砂帶進給速度

綜合分析圖8可發(fā)現(xiàn)：用不同粒度的砂帶磨削時，磨料粒度號越大，其材料最大去除深度越小，即材料最大去除深度與磨料粒度成反相關(guān)。原因可以解釋為磨料粒度代號越大，其尺寸越小，磨粒顆粒數(shù)越多，其分布密度越大，相同工藝參數(shù)情形下單磨粒受力較小，其磨粒切入深度較小，更多的磨粒會發(fā)生彈性變形而不產(chǎn)生材料去除，因此其材料最大去除深度相對較小。

4.2.2 材料去除模型驗證

為進一步量化驗證模型的有效性，表3給出了用P400氧化鋁磨料時10組不同工藝參數(shù)下的材料最大去除深度試驗值與理論預(yù)測值，圖9為不同樣本數(shù)下材料最大去除深度的變化。由表3與圖9可以發(fā)現(xiàn)：模型預(yù)測值與試驗值的最大相對誤差為17.66%，平均相對誤差為10.55%。因此，可以認(rèn)為模型預(yù)測值和試驗結(jié)果具有較好的一致性，證明了本文中所建模型的有效性。

圖9 不同樣本數(shù)下材料最大去除深度的變化

壓力F/ N線速度vt / (m/s)進給速度vf / (mm/s)材料最大去除深度 ap / mm試驗值預(yù)測值565016.093×10-314.621×10-3584020.003×10-317.307×10-310103039.859×10-339.372×10-310122052.573×10-343.503×10-315141073.271×10-376.238×10-31561058.683×10-351.337×10-32082049.116×10-350.525×10-320103046.139×10-339.203×10-325124054.031×10-347.392×10-325145055.908×10-346.031×10-3最大相對誤差17.66%平均相對誤差10.55%

5 結(jié)論

以砂帶磨削的材料去除量為研究對象，基于單磨粒的磨削作用分析構(gòu)建了材料去除機理模型。得出結(jié)論：

(1)根據(jù)單磨粒的磨削作用機理，從微觀單磨粒角度出發(fā)，針對單磨粒在不同工件變形階段的磨削過程進行分析，并依據(jù)試驗結(jié)果對該過程進行簡化。

(2)在單磨粒作用分析基礎(chǔ)上，基于概率統(tǒng)計理論構(gòu)建了微觀磨粒與宏觀磨削壓力平衡方程，給出了磨粒切入深度分布求解方法。

(3)構(gòu)建了材料去除預(yù)測模型，給出了單磨粒材料去除體積計算方法，并基于積分運算，構(gòu)建了總體材料去除模型。

(4)通過機器人磨削平臺進行TC4合金曲面磨削試驗得到其最大去除深度，其值隨磨削壓力和砂帶線速度增大而增大，隨砂帶進給速度增大而減小；且理論模型的理論預(yù)測值與試驗值比較，模型預(yù)測值與試驗值的最大相對誤差為17.66%，平均相對誤差為10.55%，驗證了模型的有效性。