數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用舉例
——觀數(shù)思形妙轉(zhuǎn)化

陜西省漢中市四〇五學(xué)校 (723312) 侯有岐

一、考點回顧

在近幾年的高考試題中，觀數(shù)思形，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是高考數(shù)學(xué)中解決部分函數(shù)選填壓軸題時常用的解題技巧之一，這也是數(shù)形結(jié)合思想的最基本應(yīng)用.對于某些函數(shù)最值問題，有時候通過求導(dǎo)數(shù)、判斷函數(shù)單調(diào)性的處理策略無力解決時，我們不妨觀數(shù)思形，從圖像的角度來思考分析，可以通過觀察函數(shù)圖像，給待求式賦予一定的幾何意義，從而尋求問題的解決.本文通過實例，展示觀數(shù)思形、巧妙轉(zhuǎn)化及利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想解決函數(shù)相關(guān)問題的常用方法.

二、典例剖析

例1 (陜西省漢中市四〇五學(xué)校2018年高三?？碱}理12)已知關(guān)于x的函數(shù)y=(x-a)2+(ex-a+1)2(a∈R)的最小值為m(a)，求m(a)的最小值.

分析：此題并非常規(guī)函數(shù)類型，初步想法是可以通過求導(dǎo)數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，以此求出函數(shù)的最小值y′=2x-2a+2e2x-2(1-a)ex，在求解y′=0時遇到非常大的困難，這樣單調(diào)性就無法判斷.那么，換個角度思考，觀察函數(shù)的表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達(dá)式是由兩個完全平方式構(gòu)成，自然聯(lián)想到平面上兩點之間的距離公式，于是可以將問題轉(zhuǎn)化成求兩點P(x,ex),Q(a,a-1)之間的最短距離的平方來處理.

圖1

解法一：設(shè)P(x,ex),Q(a,a-1)，則y=PQ2，且點P(x,ex)為函數(shù)y=ex圖像上的一個動點，點Q(a,a-1)為直線y=x-1上一動點，如圖1所示.

將直線y=x-1向y=ex方向平移，與其相切，設(shè)切點為P，過P作直線y=x-1的垂線段，垂足為Q，此時的PQ為最小值.

圖2

例3 (漢中市四〇五學(xué)校2018年高三模考題)在坐標(biāo)平面內(nèi),與點A(1,2)的距離為1,且與點B(3,1)的距離為2的直線共有( )條.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

圖3

分析：將數(shù)的問題輔以形的意義,利用圓的定義畫出分別以A(1,2)、B(3,1)為圓心，以1、2為半徑的兩個圓,然后再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,把問題轉(zhuǎn)化為研究兩圓的公切線的條數(shù).

評注：本題若直接求解比較困難，但若觀數(shù)思形，將數(shù)的問題輔以形的意義，就有事半功倍的效果，其實這樣的方法在高考題中屢見不鮮，要引起高度重視.

例4 (漢中市四〇五學(xué)校2018年高三?？碱})豎立在地面上的兩根旗桿的高分別為10米和15米，相距20米，則地面上到兩根旗桿頂點的仰角相等的點P的軌跡是( ).

(A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線

分析：由于P點在地面上,因而只要將動點P所受的空間限制條件轉(zhuǎn)化為動點P在地面上的限制條件,再由相關(guān)知識即可求出.

圖4

三、總結(jié)反思

數(shù)形結(jié)合的思想是我們平時做題時最常用的方法之一，數(shù)的抽象可以通過形的直觀來理解，數(shù)形結(jié)合就是實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，具體應(yīng)用表現(xiàn)在以下兩個方面：

1.通過坐標(biāo)系、圖像等，“形”題“數(shù)”解

借助直角坐標(biāo)系可以將圖形問題代數(shù)化，這一方法在解析幾何和立體幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分,常與以下內(nèi)容聯(lián)系：①實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如向量、三角函數(shù)等.⑤以函數(shù)圖像為載體，解決有關(guān)函數(shù)最值等問題.

2.通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造，“數(shù)”題“形”解

在解題過程中，許多代數(shù)結(jié)構(gòu)有著明顯的幾何意義，因此，可以將“數(shù)”與“形”進行巧妙地轉(zhuǎn)化靈活解題.如本文所舉的例題.另外，函數(shù)的圖像也是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有效工具之一.因此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常結(jié)合起來應(yīng)用于解題.

四、高考預(yù)測

從目前高考“注重通法，淡化特技，培養(yǎng)素養(yǎng)”的命題原則來看，高考對數(shù)形結(jié)合的考查主要體現(xiàn)在以下三個方面：一是利用數(shù)形結(jié)合直觀、簡捷地解答選擇題、填空題；二是利用數(shù)形結(jié)合求解解答題，特別是向量法、坐標(biāo)法在立體幾何、解析幾何中的應(yīng)用及函數(shù)圖像在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題中的應(yīng)用；三是以圖表為載體，考查讀圖、識圖及信息轉(zhuǎn)換能力.這種問題在選擇、填空題中有增加題量的趨勢.

總之，數(shù)形結(jié)合思想其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖像之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以是代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.