活用解析法處理解三角形問題

浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) (310000) 王加義

眾所周知，解三角形問題的常規(guī)思路就是結(jié)合題意靈活運(yùn)用正、余弦定理及面積公式加以求解.但有些解三角形問題如此分析，往往過程較繁很難順利求解，這時我們不妨靈活運(yùn)用解析法去探求解題思路，優(yōu)化思維，簡化過程.

類型一、借助兩點(diǎn)間距離公式，巧求線段長度的取值范圍

圖1

例1 如圖1，在等腰三角形ABC中，底邊BC=1，底角B的平分線BD交AC于D，求BD的取值范圍.

圖2

評注：上述求解的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確分析BD2的函數(shù)表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.

類型二、借助阿波羅尼斯圓，巧求三角形面積的最大值

圖3

例2 (廣東省七校聯(lián)合體2019屆高三第二次聯(lián)考理數(shù)第16題)在ΔABC中，AB=AC，D為AC邊上的點(diǎn)，且AC=4CD,BD=2，則ΔABC面積的最大值為．

此外，根據(jù)本題還可以獲得如下推廣性結(jié)論：

類型三、借助三角形中的引高技巧，巧求三角形內(nèi)角的正切值

圖4

評注：該解法的關(guān)鍵是建系、設(shè)元、構(gòu)建關(guān)于x,y的方程組(即獲得由①②兩式構(gòu)成的方程組)，以便利用方程思想輕松獲解.

圖5

評注：該解法與方法二的切入點(diǎn)相同，均是建系、設(shè)元，且最終均是通過解方程獲解，區(qū)別在于兩點(diǎn)：一是具體建系的方式不同；二是后續(xù)過程不同，其中方法一側(cè)重利用了三角恒等變形，而方法二側(cè)重借助消元以及除法運(yùn)算實(shí)施適當(dāng)變形.

類型四、借助二次方程有實(shí)數(shù)根，巧求邊長的最小值

圖6

綜上，活用“解析法”可迅速求解一些看似較難的解三角形問題，其解題關(guān)鍵在于——靈活建系，利用相關(guān)解析幾何知識分析、解決問題.