代數(shù)與幾何齊飛 技能共素養(yǎng)一色*
——2019年全國Ⅰ卷22題的思考與賞析

廣東省廣州開發(fā)區(qū)外國語學(xué)校 (510700) 蔡軍喜

2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷秉承穩(wěn)定、適當(dāng)創(chuàng)新的命題風(fēng)格，呈現(xiàn)了許多立意高遠(yuǎn)、背景熟悉、設(shè)問通俗、內(nèi)涵豐富、解法多樣的好題.這些考題既考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力，又考查學(xué)生的核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能，為引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用，有著較大的研究空間和教學(xué)價(jià)值，值得我們?nèi)ヌ骄亢屯诰?下面以第22題為例，談?wù)勎业膶W(xué)習(xí)和思考.

1.問題呈現(xiàn)

本題以直線的極坐標(biāo)與橢圓的參數(shù)方程為背景，以求多變量的最值為目標(biāo)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng).學(xué)生出錯(cuò)的主要問題在于方法選擇不恰當(dāng)、運(yùn)算能力不過關(guān).面對(duì)問題表征創(chuàng)新，不能舉一反三.缺乏相應(yīng)轉(zhuǎn)化技巧，消參方法不靈.同時(shí)遇到陌生背景、繁難的運(yùn)算產(chǎn)生心理上的障礙，缺乏有效的應(yīng)變策略和必要的個(gè)性品質(zhì).

2.問題思考

思考一：從參數(shù)方程到普通方程的考查——準(zhǔn)確消參——突出數(shù)學(xué)運(yùn)算

思考二：從普通方程到參數(shù)方程的考查——靈活用參——突出邏輯推理

(1)(就題論題：用t參)很多同學(xué)在第一問不能正確消參得到橢圓的一般方程的情況下，缺乏必要的心理品質(zhì)和應(yīng)變技巧.事實(shí)上，就題論題，跳步作答，第二問完全可以直接利用已知條件中的t參，實(shí)現(xiàn)基本方法和策略的正常遷移.曲線C上任意一點(diǎn)到直線l的距離為

思考三：從代數(shù)推理到幾何本質(zhì)的考查——數(shù)形互譯——突出數(shù)學(xué)建模

思考四：從具體問題到一般化拓展——概括引申——突出數(shù)學(xué)抽象

若點(diǎn)P(x0,y0)是曲線F(x,y)=0上任意一點(diǎn)，則P點(diǎn)到直線l：Ax+By+C=0的最短(長)距離，常可數(shù)形結(jié)合，借助于平行于l的直線與曲線的切線問題來解決.

3.試題賞析

3.1 基于教材素材，立足基礎(chǔ)知識(shí)

本題的素材來源于教材參考練習(xí)，體現(xiàn)了髙考命題“源于教材，髙于教材”的指導(dǎo)思想.題面簡潔，題意新穎，在諸多基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的交匯點(diǎn)處命制，表述通俗，意圖清晰，難易適中，構(gòu)思巧妙，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有良好的區(qū)分度.試題立足教材，以教材中的例習(xí)題為源泉，既可以保證試卷的公平性，又給學(xué)生以親切感，同時(shí)對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用.

3.2 解題思路寬泛，突出通性通法

本題的解法可謂靈活多樣，第一問的消參可以分離加減，也可以降次加減，還可以平方加減；既可以直接代入消元，也可以反向代入消元.第二問既可以就題論題，從題目已知的參數(shù)形式入手，也可以選擇重構(gòu)參數(shù)切入；多元最值求解可以從函數(shù)與方程的視角人手，也可以從運(yùn)用基本不等式求最值的視角入手(或者從平面向量的視角人手)，還可以通過代數(shù)與幾何的聯(lián)系從數(shù)形結(jié)合的視角入手.從不同的視角、不同的高度都可以得到解決問題的思路，但不同的思路，運(yùn)算的繁簡程度也不盡相同.抓住數(shù)和形的有機(jī)融合，突出通性和通法的考査是一大亮點(diǎn).“形散神不散，形變法不變”，在解題教學(xué)中，要把通性通法的訓(xùn)練當(dāng)作重頭戲，要讓學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解答，通過展示和交流使學(xué)生在問題求解中掌握本質(zhì)，以求“不變應(yīng)萬變”.

3.3 著眼數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考査學(xué)習(xí)潛力

本題很好地體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛力的考査，特別是對(duì)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的考査體現(xiàn)得淋漓盡致.許多考生解題思路是清楚的，解題目標(biāo)是明確的，但卻在消參上遇到了困惑，在運(yùn)算上遇到了阻礙，陷于繁雜的運(yùn)算中不能自拔，不能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化和簡化運(yùn)算，導(dǎo)致功虧一簣，造成遺憾.提高數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)潛能尤為重要，應(yīng)該引起教師的高度重視.